高考数学一轮复习 考点规范练21 三角恒等变换（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

考点规范练21三角恒等变换一、基础巩固1.已知sin2α=13,则cos2α-π4A.-13 B.13 C.-23 2.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=()A.43 B.-C.43或0 D.-43.已知f(x)=sin2x+sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.π,[0,π] B.2π,-C.π,-π8,3π8 4.(2018全国Ⅱ,理10)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()A.π4 B.π2 C.3π5.已知α为锐角,若cosα+π6=4A.17250 B.17350 C.136.为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,可以将函数y=cos2x-sin2x的图象()A.向右平移π4B.向左平移π4C.向右平移π2D.向左平移π27.已知函数f(x)=cos4x-π3+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=gA.-π3,πC.π6,2π8.已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.

9.设f(x)=1+cos2x2sinπ2-x+sinx+a2sinx+π10.已知点π4,1在函数f(x)=2asinxcosx+cos2(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间(0,π)内的单调递减区间.11.已知函数f(x)=32−3sin2ωx-sinωxcosωx(ω>0),且y=f(x(1)求ω的值;(2)求f(x)在区间π,3二、能力提升12.已知函数f(x)=cosωx(sinωx+3cosωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2016π)成立,则ω的最小值为()A.12016π B.14032π C.113.已知cosα=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈0,π2,则cos(αA.-12 B.12 C.-13 14.已知函数f(x)=2sinx+5π24cosx+5π24-2cos2x+5π24+1,则f15.(2018北京,文16)已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-π3,m上的最大值为3三、高考预测16.已知f(x)=1+1tanxsin2x-2sinx+(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈π12,π2,求f

考点规范练21三角恒等变换1.D解析由题意得cos2α-π4=12(cosα+sinα)2=12(12.C解析因为2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12若cosα=0,则α=kπ+π2,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z所以tan2α=0.若tanα=12,则tan2α=2tan综上所述,故选C.3.C解析由f(x)=sin2x+sinxcosx=1-cos2=1=12+2则T=2π2=又2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k∴kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈Z)为函数的单调递增区间4.A解析由题意知f(x)=2cosx+π4,f(x)的部分图象如图所示.要使f(x)在[-a,a]上是减函数,则a5.A解析因为α为锐角,cosα+所以sinα+π6cos2α所以sin2α+π=2425×6.A解析∵y=sin2x+cos2x=2=2cos2xy=cos2x-sin2x=2=2cos2=2cos2x∴只需将函数y=cos2x-sin2x的图象向右平移π4个单位长度可得函数y=sin2x+cos2x的图象7.B解析∵函数f(x)=cos4x-π3+2cos22x=cos4x-π3+1+cos4x=12cos4x+32sin4x+1+cos4x=32cos4∴y=g(x)=3sin2x+1.由2kπ-π2≤2x≤2kπ+π2,k∈得kπ-π4≤x≤kπ+π4,k∈当k=0时,得-π4≤x≤π48.21解析因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2x+π4+1,所以A=29.±3解析f(x)=1+2cos2x-12cos=cosx+sinx+a2sinx=2sinx+π4+a=(2+a2)sinx+依题意有2+a2=2+3,则a=±3.10.解(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.∵f(x)的图象过点π4∴1=asinπ2+cosπ2,可得a=∴f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x∴函数的最小正周期T=2π2=(2)由2kπ+π2≤2x+π4≤3π2+2k可得kπ+π8≤x≤5π8+kπ,k∴函数f(x)的单调递减区间为kπ+π8,∵x∈(0,π),当k=0时,可得f(x)的单调递减区间为π811.解(1)f(x)=32−3sin2ωx-sinωx=32−3=32cos2ωx-12sin2=-sin2ωx因为f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4即T=4×π4=π又ω>0,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=-sin2x因为π≤x≤3π所以5π3≤2x-所以-32≤sin2x因此-1≤f(x)≤32故f(x)在区间π,3π2上的最大值和最小值分别为312.C解析由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2016π)是函数f(x)的最大值.又f(x)=cosωx(sinωx+3cosωx)=12sin2ωx+=sin2ωx所以要使ω取最小值,只需保证在区间[x0,x0+2016π]上为一个完整的单调递增区间即可.故2016π=12·2πωmin,求得ωmin=113.D解析∵α∈0,π2,∴2α∈(0,∵cosα=13∴cos2α=2cos2α-1=-79∴sin2α=1-又α,β∈0,π2,∴α+β∈∴sin(α+β)=1-∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-79×14.πkπ-π3,kπ+π6(k∈Z)解析f(x)==sin2x+5=2=2sin2=2sin2x∴f(x)的最小正周期T=2π2=因此f(x)=2sin2x当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈∴函数f(x)的单调递增区间是k(k∈Z).15.解(1)因为f(x)=1-cos2x2+32sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin2(2)由(1)知f(x)=sin2x因为x∈-π所以2x-π6要使f(x)在-π3,即sin2x-所以2m-π6≥π2,即所以m的最小值为π316.解(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sinx+π4=1-cos2x2=12+12(sin2x-cos2x=12(