数字电子技术课件新章逻辑代数基础

函数的简化依据

逻辑电路所用门的数量少

每个门的输入端个数少

逻辑电路构成级数少

逻辑电路保证能可靠地工作降低成本提高电路的工作速度和可靠性2.5逻辑函数的化简最简式的标准

首先是式中乘积项最少

乘积项中含的变量少

与或表达式的简化与门的输入端个数少方法：

并项：利用将两项并为一项，且消去一个变量B

消项：利用A+AB=A消去多余的项AB

配项：利用和互补律、

重叠律先增添项，再消去多余项BC

消元：利用消去多余变量A2.5.1代数化简法

实现电路的与门少例用并项法化简

下列逻辑函数

F1=ABCD+ABCDF2=AB+ACD+AB+ACD

解：F1=A(BCD+BCD)=AF2=A(B+CD)+A(B+CD)=（B+CD

）（A+A）

=（B+CD）2.吸收法

利用定理：A+AB=A可将AB项消去。A和B同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。例:用吸收法化简下列逻辑函数F1=(AB+C)ABD+ADF2=AB+ABC+ABD+AB(C+D)解：F1=［(AB+C)B］AD+AD=ADF2=AB+AB[C+D+（C+D)］=AB

3.消项法

利用定理5：AB+AC+BC=AB+AC及

AB+AC+BCD=AB+AC将BC或BCD消去。其中A、B、C、D都可以是任何复杂的逻辑式。例用消项法化简下列逻辑函数

F1=AC+AB+B+C=AC+BCF2=ABCD+ABE+ACDE=(AB)CD+(AB)E+(CD)EA=ABCD+ABE4.消因子法

利用定理2：A+AB=A+B可将AB中的A消去。A、B均可以是任何复杂的逻辑式。例利用消因子法化简下列逻辑函数

F1=B+ABCF2=AB+B+AB解：F1=B+ABC=B+ACF2=AB+B+AB=A+B+AB=A+B

5.配项法

(1)根据基本公式中的A+A=A可以在逻辑函数式中重复写入某一项，有时能获得更加简单的化简结果。例化简逻辑函数F=ABC+ABC+ABC。解：若在式中重复写入ABC，则可得到

F=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB(C+C)+BC(A+A)=AB+BC代数法化简函数例：简化函数解：利用反演律配项加AB消因律消项AB

或与表达式的简化F（或与式）求对偶式F

（与或式）简化F

（最简与或式）求对偶式F（最简或与式）化简利用逻辑代数的基本公式和常用公式对逻辑代数式进行运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。例：Y=A+A’B(A’+C’D)+A’B’CD’代数法化简函数例：试简化函数解：消项DEF消因律

或与表达式的简化F（或与式）求对偶式F

（与或式）简化F

（最简与或式）求对偶式F（最简或与式）

卡诺图（K图）AB00011011m0m1m2m3BBAAABABBA1010m0m2m1m3miCAB01000111100001111000011110m0m2m4m6m1m3m5m7m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14CDAB二变量K图三变量K图四变量K图2.5.2卡诺图化简法图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项，又称真值图。ABABK图的特点图形法化简函数

k图为方形图。n个变量的函数k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；

k图中行、列两组变量取值按格雷码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同。

有三种相邻：几何、相对（行列两端）和对称相邻（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻。P350001111000011110m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14CDAB四变量K图图形法化简函数0001111000011110m0m4m8m12m1m5m9m13m3m7m11m15m2m6m10m14CDAB四变量K图两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量CBDCBC1四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量。八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量。十六个相邻格圈在一起，结果

mi=1

卡诺图化简函数规则

几何相邻的2i（i=1、2、3…n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n-i）个变量的积项标注该圈。图形法化简函数

与或表达式的简化步骤

先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填1，其它填0或不填。

合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围，但每个圈内必须有新的最小项。

每个圈写出一个乘积项，按取同去异原则

最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式。

根据函数填写卡诺图1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填

1，其余格均填0或不填；2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0；例子3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。例子

作圈的步骤1、孤立的单格单独画圈；2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项；3、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。图形法化简函数例：将F(A、B、C、D)化为最简与非—与非式。解：0100011110001110CDABAB111111BCD11ACDABC11AC1111m14,m15两次填10000图形法化简函数例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图ABCF00000101001110010111011100111000ABC0100011110

1

1100000010111001110图形法化简函数例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000ABABCF=ABC+AB得：图形法化简函数为了更有规律的化简逻辑函数，先来看几个概念

蕴涵项在函数的与或表达式中，每一个与项称为该函数的~。对应在卡诺图中它就是一个卡诺圈。

质蕴涵函数中的蕴涵项不是该函数的其它蕴涵项的子集，则此蕴涵项称为~，在卡诺图中称之为极大圈。

实质最小项只被一个质蕴涵所覆盖的最小项称为~，又称实质1单元。

必要质蕴涵包含实质最小项的质蕴涵，称为~，在卡诺图上称为必要极大圈。

卡诺图上的最小覆盖挑选数目最少的质蕴涵（极大圈），即覆盖了卡诺图上所有标1的小方格，这就是~。例：将F(A、B、C、D)化为最简与非—与非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化简得：最简与非—与非式为：图形法化简函数用卡诺图化简1.F=∑m4（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）2.F（ABCD）=AD+ABD+ABCD+ABCD3.F（ABC）=AB+BC+BC+AB卡诺图化简的另一种方法—圈0法

如果一个逻辑函数用卡诺图表示后，里面的0很少且相邻性很强，这时用圈0法更简单。但要注意，圈0后，应写出反函数F，再取反，得原函数卡诺图化简的另一种方法—圈0法F=∑m4（0,1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15）

2.5.3利用无关项输入简化函数表达式一、约束项、任意项和无关项1、约束项：在具体逻辑电路中，某些逻辑变量的取值不是任意的，对输入变量取值所加的限制称为约束，同时，把这一组变量称为具有约束的一组变量。若有三个逻辑变量ABC分别表示一台电动机的正转、反转和停止，即A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止，则ABC取值只能是001、010、100，而不能是其它5种组合2.5.3利用无关项输入简化函数表达式1、约束项：即具有约束A•B•C=A•B•C=A•B•C=A•B•C=A•B•C=0A•B•C+A•B•C+A•B•C+A•B•C+A•B•C=0这些恒等于0的最小项称为约束项2.5.3利用无关项输入简化函数表达式2、任意项：任意项指输入在某些取值下函数取值01均可，并不影响电路功能。例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系2.5.3利用无关项输入简化函数表达式红灯绿灯黄灯车ABCF000×00100101011×000101×10×111×2.5.3利用无关项输入简化函数表达式

在这个函数中，有5个最小项是不会出现的，如三个灯都亮，都不亮，因为一个正常的系统不可能出现这样的情况，如果出现了，车也可以停也可以行，即逻辑任意值，对应的5个最小项称为任意项2.5.3利用无关项输入简化函数表达式3、无关项：存在约束的情况下，由于约束项恒为0，所以既可以把约束项放到逻辑函数中，也可以在逻辑函数中删除某些约束项，同样，任意项也可以写入或不写入，因而把任意项和约束项统称这无关项。无关项在卡诺图中用d或×

表示。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为F=∑m3（）+∑d3（）2.5.3利用无关项输入简化函数表达式定义：当函数输出与某些输入组合无关时，这些输入组合称为无关项。产生原因：①这些输入组合在正常操作中不会出现(即输入具有约束条件)；②即使这些输入可能出现(即输入不具有约束条件)，但实际上输出与它们无关。2.5.3利用无关项输入简化函数表达式

化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽可能扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。只包含一个最小项F=A•B•C如果把它相邻的三个d当作1，则卡诺圈包含四个最小项，F=B，其含义为，只要绿灯亮，车就行ddd00d1dAB0001111001C2.5.3利用无关项输入简化函数表达式

某逻辑函数输入是8421BCD码（即不可能出现1010～1111这6种输入组合），其逻辑表达式为F=∑m4（1,4,5,6,7,9）+∑d4（10,11,12,13,14,15）用卡诺图法化简该逻辑函数。不考虑无关项F=AB+BCD111111AB000111100001CD11102.5.3利用无关项输入简化函数表达式

某逻辑函数输入是8421BCD码（即不可能出现1010～1111这6种输入组合），其逻辑表达式为F=∑