北师大版七年级下册数学培优题

精品文档精品文档北师大版七年级下册数学培优压轴题一•解答题(共8小题)1已知四边形ABCC中，AB=BC∠ABC=120，∠MBN=60，∠MBh绕B点旋转，它的两边分别交ADDC(或它们的延长线)于E，F.当∠MBN绕B点旋转到AE=CF寸(如图1),易证AE+CF=E；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2.(1)如图，在四边形ABCDhAB=AD∠B=∠D=90，E、F分别是边BCCD上的点,且∠EAF=γ∠BAD求证：EF=BE+FD且∠且∠EAF号∠BAD(1)(2)如图，在四边形ABCDhAB=AD∠B+∠D=180，E、F分别是边BCCD上的点,中的结论是否仍然成立?(3)如图，在四边形ABCD中,AB=AD∠B+∠ADC=180，E、F分别是边BCCD延长线上的点,且∠EAFi∠BAD（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数3.如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90，∠B=∠E=30°（1）操作发现：如图2,固定△ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是 ;②设△BDC的面积为S，△AEC的面积为S,则Si与S的数量关系是 .團1（2） 猜想论证：当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDCffiAAEC中BCCE边上的高，请你证明小明的猜想.（3） 拓展探究：已知∠ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=QE//AB交BC于点E（如图4）•若在射线BA上存在点F,使S△DCF=SXBD，请直接写出相应的BF的长.園3 J 團44.如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以ARPB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正厶PBD

（1） 当厶APC与^PBD勺面积之和取最小值时，AP ;（直接写结果）（2）连接ADBC相交于点Q,设∠AQCa,那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2,若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°）,此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5.如图1,Rt△ABC中AB=AC点DE是线段AC上两动点，且AD=ECAM垂直BD垂足为MAM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNc为等腰梯形（AC//KN如图2）.附加题：如图3,若点DE是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断厶DEF的形状，并说明理由.6.如图，已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,ACBC的中点，M为直线BC上一动点,△DMNfe等边三角形（点M的位置改变时，△DMNfc随之整体移动）.（1）如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？

都请直接写出结论，不必证明或说明理由；如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.7.已知：等边三角形ABC7.已知：等边三角形ABC(1)如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120•试猜想线段BRPCAP之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120.求证：PA+PD+PSBD图丄图丄1(a+b)=a+b,1(a+b)=a+b,我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如:(a+b)2=a2+2ab+6，(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3，…F面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当 n取正整数时可以单独列成表中的形式：TOC\o"1-5"\h\z(日也1 1 1(a+b>? 1 2 1{a+b)⅛ 1 3 3 1(a+b>t 1 4641(□+b)ι≡ 1 51010 5 1(a+b>s. 1 6 1520156 1上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式 ?并预测第三项的系数； （2） 请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和. （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）.北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】VAB±AD,BC⊥CDAB=BCAE=CF

在△ABE在△ABE和△CBF中，r^AB=BCZA=ZC=90*,「•△ABE^△CBF(SAS;∕∙∠ABE=∠CBFBE=BFv∠ABC=120,∠MBN=60,IAE=CF∙∙∙∠ABE=/CBF=30,AAE丄BE,CF丄BF;：/MBN=60,BE=BF：■△BEF为等边三角形；22aAE+CF二BE丄BF=BE=EjF22图2成立，图3不成立•证明图2.延长DC至点K,使CK=AE连接BK在厶BAE和厶BCK中,rAB=CBZA=ZBCK=90"贝9厶BAE^△BCKABE=BK∠ABE∠KBCv∠FBE=60,∠ABC=120,IAE=CKa∠FBC+∠ABE=60,a∠FBC+∠KBC=60,a∠KBF∠FBE=60,在厶KBF和厶EBF中，CBK=BEZkbf=Zebka^KBF^△EBFAKF=EFAkc+cf=ef即ae+cf=efIBF=BF图3不成立，AECF、EF的关系是AE-CF=EF∙∙∙∠ABG∠ABC∠∙∙∙∠ABG∠ABC∠D=90°,AB=ADA△ABWAADFAAG=AF∠1=∠2.∠BADa∠GAE∠EAF又VAE=AEAEG^AEFAEG=EFVEG=BE+BGAEF=BE+FD(1)中的结论EF=BE+F仍然成立.(3)结论EF=BE+F不成立，应当是EF=BE-FD证明：在BE上截取Bq使BG=DF连接AGv∠B+∠ADC=180,∠ADF+∠ADC=180,a∠B=∠ADFVAB=AD ABG^ADFa∠BAG∠DAFAG=AFa∠BAG∠EAD∠DAF∠EAD∠EAF二∠BAD∙∙∙∠GAE∠EAFVAE=AE^△AEG^△AEF二EG=EF'EG=BEBG-EF=BE-FD3•【解答】(1)①UDEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，二AC=CPv∠BAC=90-∠B=90o-30°=60°,二厶ACD是等边三角形，∙'∙∠ACD=60,又v∠CDE∠BAC=60,∙∠ACD∠CDE∙DE//Aq②v∠B=30o,∠C=90o,∙∙∙CD=AC二AB∙BD=AD=AC根据等边三角形的性质，△ACD的边AGAD上的高相等，•△BDC的面积和△AEq勺面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;故答案为：DE//AqS=S；如图，•••△DEC是由厶ABC绕点C旋转得到，∙∙∙BC=CEAC=CDv∠ACN∠BCN=90,∠DCM∠BCN=180-90°=90°,∙∠ACN∠DCMV在厶ACN^n△DCM中,fZACN=ZDCnlZCfflD=ZN=90：,•••△ACN^△DCM(AAS,∙AN=DM[AC=CD•△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S=S;如图，过点D作DF//BE,易求四边形BEDF是菱形，所以BE=DF,且BE、DF上的高相等，此时&DCF=S^bde;过点D作DF丄BDv∠ABC=60,FiD//BE,∙∠F2F1D=∠ABC=60,VBF=DF,∠FiBD=-∠ABC=30,∠HDB=90,∙∠FIDF=∠ABC=60,•△DFF2是等边三角形，•DF=DF,VBD=CD∠ABC=60,点D是角平分线上一点，∙∠DBC∠DCB=×60°=30o,∙∠CDF=180°-∠BCD=180-30°=150°,∠CDF=360o-150o-60°=150°,∙∠CDF=∠CDF,v在厶CDF和厶CDF中,rDFl=DF2'ZCD?I=ZCEFz,Λ^CDF^△CDF(SAS,•点F2也是所求的点,LCD=CDv∠ABC=60,点D是角平分线上一点，DE//AB∙∠DBC∠BDE∠ABD=×60°=30°,又VBD=4∙BE⅛-×4÷cos30°=2÷亜=恥,∙BF^^,BF2=BF+F1F2^∣,2 2 3 3 3 3 3故BF的长为土二或二二.3 3

(2a—X)=.∙χ2— :ax+"a2,当2L=—75吉ΞaX=—=a时厶APC与(2a—X)=.∙χ2— :ax+"a2,当2L=—75吉ΞaX=—=a时厶APC与△PBD勺面积之和取最小值，故答案为：a；(2)α的大小不会随点P的移动而变化，理由：•••△APC是等边三角形，∙∙∙PA=PC∠APC=60,•••△BDP是等边三角形，∙∙∙PB=PD∠BPD=60,λ∠APC∠BPD∕∙∠APD∠CPB•••△APD^△CPB∙∙∙∠PAD∠PCBv∠QAP∠QAC∠ACP=120,∙∙∙∠QCP∠QAC∠ACP=120,∙°∙∠AQC=180—120°=60°;此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.理由：•••△APC是等边三角形，∙∙∙PA=PC∠APC=60 BDP是等边三角形，二PB=PD∠BPD=60,λ∠APC∠BPD∙∙∙∠APD∠CPBAPD^CPB∙'∙∠PAD∠PCBv∠QAP∠QAC∠ACP=120,∙∙∙∠QCP∠QAC∠ACP=120,∙∠AQC=180—120°=60°.5•【解答】△DEF是等腰三角形；证明：如图，过点C作CP⊥AC交AN延长线于点PRt△ABC中AB=AC∙∠BAC=90,∠ACB=45∙∠PCN∠ACB∠BAD∠ACPAM⊥BD∙∠ABD∠BAM∠BAM∠CAP=90;•••/ABD∠CAP•△BAD^△ACP∙AD=CP∠ADB∠P;VAD=CE∙CE=CPVCN=CN•△CPN^CEN∙∠P=∠CEN∙∠CEN∠ADB∙∠FDE∠FED•△DEF是等腰三角形.附加题：△DEF为等腰三角形;证明：过点C作CP⊥AC交AM的延长线于点PRt△ABe中AB=AC∙∠BAC=90,∠ACB=45;∙∠PCN∠ACB∠ECNVAMLBD∙∠ABD∠BAM∠BAM∠CAP=90 ABD∠CAP•△BAD≤^ACP∙AD=CP∠D=∠P;AD=ECCE=CP又VCN=CN•△CPN^△CEN∙∠P=∠E;∙∠D=∠E;A^DEF为等腰三角形.

6•【解答】(1)判断：EN与MF相等(或EN=MF,点F在直线NE上，(2)成立.连接DF,NF,证明△DBMFn△DFN全等(AAS，ABC是等边三角形，二AB=AC=BC又VD,E,F是三边的中点，∙∙∙EF=DF=BFv∠BDM∠MDF=60,∠FDN∠MDF=60,∙∙∙∠BDM∠FDNrZBM=ZFBN在厶DBMfyDFN中,上収二DFN,「•△DBM^△DFN二BM=FN∠DFN∠FDB=60,:DM=EN∙∙∙NF//BDVE,F分别为边ACBC的中点，∙∙∙EF是厶ABC的中位线，二EF//BD∙∙∙F在直线NE上,VBF=EF二MF=EN(3)如图③，MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立)•连接DFDE由(2)知DE=DF∠NDE∠FDMDN=DM7.【解答】AP=BP+PC(1)证明：延长BP至E,使PE=PC连接CEv∠BPC=120,∙∙∙∠CPE=60,又PE=PC^△CPE为等边三角形，二CP=PE=CE∠PCE=60,•••△ABC为等边三角形，∙∙∙AC=BC∠BCA=60,λ∠ACB∠PCE∙'∙∠ACB∠BCP∠PCE∠BCP即：∠ACP∠BCE•△ACP^BCE(SAS,∙AP=BEVBE=BP+PE∙AP=BP+PC(2)证明：在AD外侧作等边△ABD,则点