对策矩阵解法

第十三讲矩阵对策解法初步讲授：白丹宇1矩阵对策的数学模型在矩阵对策中，一般用Ⅰ、Ⅱ分别表示两个局中人，并设局中人Ⅰ有m个纯策略(以与后面的混合策略区别)局中人Ⅱ有n个纯策略那么局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为当局中人Ⅰ选定纯策略和局中人Ⅱ选定纯策略后，就形成了一个纯局势2矩阵对策的数学模型对任一纯局势记局中人Ⅰ的赢得值为称为局中人Ⅰ的赢得矩阵(或为局中人Ⅱ的支付矩阵)。由于假定对策为零和的，故局中人Ⅱ的赢得矩阵就是-A3矩阵对策的数学模型当局中人Ⅰ、Ⅱ和策略集、及局中人Ⅰ的赢得矩阵A确定后，一个矩阵对策也就给定了。通常，将一个矩阵对策记成或4矩阵对策解法矩阵对策模型给定后，各局中人面临的问题：如何选取对自己最为有利的纯对策略，以谋取最大的赢得？5矩阵对策的纯策略例1：设有一矩阵对策G={S1,S2;A}，其中求最优纯策略？6矩阵对策的纯策略Ⅰ：采取

1至少得益-8

22

3-10

4-3Ⅱ：采取1最多损失9

22

36取大那么取2maxminaij=2ij取小那么取2minmaxaij=2ji平衡局势(α2,β2)，这个局势就是双方均可接受的，且对双方来说都是一个最稳妥的结果。因此，α2和β2应分别是局中人Ⅰ和Ⅱ的最优纯策略。7矩阵对策的纯策略设G={S1,S2;A}为一矩阵对策，其中S1={α1,…,αm}，S2={β1,…,βn}，A=(aij)m×n。假设成立，记其值为VG，那么称VG为对策的值，称使其成立的纯局势(αi*,βj*)为G在纯策略意义下的解(或平衡局势)，称αi*和βj*分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优纯策略。定义1※矩阵对策中两个局中人都采取最优纯策略〔如果最优纯策略存在〕才是理智行动8课堂练习例2：求解矩阵对策，其中

9答案α1-71-8-8α23242*α316-1-3-3α4-305-3162*5对策的解为,两个局中人的最优存策略分别为和10矩阵对策解的充分必要条件从例2可以看出，矩阵A的元素既是其所在行的最小元素，又是其所在列的最大元素，即将这一事实推广到一般矩阵对策，可得如下定理。

定理1矩阵对策在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势使得对一切，均有

11矩阵对策解的充分必要条件定理1中式子的对策意义是：一个平衡局势(αi*,βj*)应具有这样的性质：当局中人Ⅰ选择了纯策略αi*后，局中人Ⅱ为了使其所失最少，只能选择纯策略βj*，否那么就可能失的更多；反之，当局中人Ⅱ选择了纯策略βj*后，局中人Ⅰ为了得到最大的赢得也只能选择纯策略αi*，否那么就会赢的更少，双方的竞争在局势(αi*,βj*)下到达了一个平衡状态。12课堂练习例3：求解矩阵对策G={S1,S2;A}，其中13答案解：i*=1,3j*=2,4故(α1,β2)，(α1,β4)，(α3,β2)，(α3,β4)都是对策的解，且VG=814矩阵对策解的性质性质1无差异性。即假设和是对策G的两个解，那么性质2可交换性。即假设和是对策G的两个解，那么和也是解。矩阵对策的解的两个重要性质15矩阵对策实例例4：某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为100元，150元和200元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关于当年冬季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多少吨能使单位的支出最少?16矩阵对策实例这一储量问题可以看成是一个对策问题，把采购员当作局中人Ⅰ，他有三个策略：在秋天时买10吨、15吨与20吨，分别记为把大自然看作局中人Ⅱ(可以当作理智的局中人来处理)，大自然(冬季气温)有三种策略：出现较暖的、正常的与较冷的冬季，分别记为把该单位冬季取暖用煤实际费用(即秋季购煤时的用费与冬季不够时再补购的费用总和)作为局中人Ⅰ的赢得，得矩阵如下：，即秋季储煤20吨合理。

故对策的解为17作业三河城由集合的三条河分割为三个区，如下图。城市居民40%住在A区，30%住在B区，30%住在C区。目前，三个区没有溜冰场，两家公司甲和乙都方案要在城中修建溜冰场。公司甲打算修建两个，公司乙只打算修建一个。每个公司都知道如果在城市的某一个区内设有两个溜冰场，那么这两个溜冰场将把该区内的业务平分，如果某区只有一个溜