第一章 集合、逻辑用语、不等式 第4节 等式性质与不等式的性质

第4节等式性质与不等式的性质考试要求梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.1.两个实数比较大小的方法知

识

梳

理>＝<>＝<2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c____b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c____b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac____bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac____bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an____bn(n∈N，n≥1)；＞＞＞＞＞＞诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)√解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒ac2＞bc2.(2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc⇒a＝b.2.(老教材必修5P74例1改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(

)答案B答案＞4.(2020·厦门期末)实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是(

)解析由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B.答案B5.(2020·广东执信中学月考)若a，b∈R，且a＞|b|，则(

)解析由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B.答案B6.(多选题)(2020·商丘九校联考)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(

) A.xy＞yz B.xy＞xz C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z

解析因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，对于A，因为x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不正确；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正确；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确.

答案ACD考点一比较两个数(式)的大小当q>0且q≠1时，由f′(x)>0，得0<x<e；由f′(x)<0，得x>e.∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.规律方法1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.解析(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a>0，b>0且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，∴(a3＋b3)－(a2b－ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.答案(1)＞(2)A考点二不等式的性质【例2】(1)(多选题)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(

)显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.答案(1)ABC

(2)C②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；规律方法解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证；(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.【训练2】(1)(2020·绵阳诊断改编)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是(

) A.ab＞ac B.c(b－a)＜0 C.cb4＜ab4 D.ac(a－c)＞0 (2)(2019·武汉联考)下列命题中正确的是(

)答案(1)A

(2)D解析(1)因为a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0＜a.对于A，因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，故A正确；对于B，因为b＜a，c＜0，所以b－a＜0，c＜0，所以c(b－a)＞0，故B不正确；对于C，因为c＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正确；对于D，因为ac＜0，a－c＞0，所以ac(a－c)＜0，故D不正确，故选A.角度1不等式在实际问题中的应用【例3－1】

(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________.考点三不等式及其性质的应用多维探究解析令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且2z>x>y>z，①若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.②当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件.所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案①6

②12【例3－2】

(经典母题)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.

解析因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.

答案(－4，2)

(1，18)角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移【迁移1】

将本例条件改为“－1<x<y<3”，求x－y的取值范围.解因为－1<x<3，－1<y<3，所以－3<－y<1，－4<x－y<4.①又因为x<y，所以x－y<0，②由①②得－4<x－y<0，故x－y的取值范围是(－4，0).【迁移2】

将本例条件改为“已知－1<x－y<4，2<x＋y<3”，求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，∵－1<x－y<4，2<x＋y<3，规律方法1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不