6误差基本知识

项目六误差基本知识任务一观测误差概述任务二衡量观测值精度的标准任务三等精度直接观测平差任务四误差传播定律23一月20241任务一观测误差概述测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：系统误差和偶然误差。一．系统误差(systemerror)1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。23一月202422．特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。

例如：钢尺尺长误差、钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、经纬仪视准轴误差。23一月20243二．偶然误差

(accidenterror)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。23一月202442、特点：（1）具有一定的范围。（2）绝对值小的误差出现概率大。（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，数学期限望等于零。即：

此外，在测量工作中还要注意避免粗差(grosserror)（即：错误）的出现。

23一月20245图形：偶然误差分布频率直方图正态分布曲线四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性。

-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24x=

y误差分布频率直方图23一月20246任务二衡量观测值精度的标准一、中误差(meansquareerror)

1.用真误差（trueerror）计算中误差的公式真误差：标准差公式：中误差公式为：23一月202472.用改正数计算中误差的公式当观测值的真值未知时：设某未知量的观测值为：则该量的算术平均值为：

则该量的改正数：计算得：观测值的中误差23一月20248二、相对误差(relativeerror)

1、相对中误差=2、往返测较差率K=三、极限误差(limiterror)或容许误差(tolerance）

常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。23一月2024923一月2024

10

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)证明算术平均值为最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值

1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==上式等号两边分别相加得和：任务三等精度直接观测平差23一月2024

11当观测无限多次时：

得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X23一月2024

12精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：23一月2024

13证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:

任务四误差传播定律

一、误差传播定律

设函数为独立观测值，则有全微分转换成中误差关系式即误差传播定律：（误差传播定律应用举例）23一月202414二、权(weight)的概念

2、规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。

权P=1的中误差称为“单位权中误差”，通常用或表示，所以权也表示为：式中：C为任意正数，mi为中误差。1、定义：权用P表示，即：

23一月20241523一月2024

16

用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m

15

。例1：要求三角形最大闭合差m

15

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ

=(1+2+3)-180解：由题意：2m=

15

,则m=

7.5

每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：23一月2024

17例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度

基本公式：

求全微分：

水平距离中误差：

其中：

23一月2024

18例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中误差：

其中：

23一月2024

19例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

面积,

周长的中误差为全微分:面积的中误差为全微分:23一月2024

20解:(1)周长和面积的中误差分别为例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

(2)周长;周长的中误差为

面积

得周长的中误差为全微分:

但由于23一月2024

21▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差

(即:白塞尔公式)同（等）精度直接观测平差23一月2024

22

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值

1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==

1+2+···+n

nn上式等号两边分别相加得和：L=23一月2024

23当观测无限多次时：

得两边除以n：由

当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均

值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X23一月2024

24观测值改正数特点二.观测值的改正数v

：

以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)

特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：

通常用于计算检核L=

nv=nL-

nv

=n-

=0v

=0

特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-

=0

x=

n23一月2024

25精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：23一月2024

26证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:23一月2024

27证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:23一月2024

28解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VVV备注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076

42

45

±1.74

23一月2024

29距离丈量精度计算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：

凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。23一月2024

30不同精度直接观测平差一、权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1权的定义：设一组不同精度的观测值为li,其中误差为mi(I=1,2…n)，选定任一大于零的常数λ，则定义权为：

称Pi为观测值li

的权。23一月2024

311权的定义：对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数λ值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的λ值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个λ值。23一月2024

32二、测量中常用的定权方法1同精度观测值的权对于一组同精度观测值li

，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定λ=m2，则一次观测值的权为：n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：同精度观测值算术平均值的权为：23一月2024

33二、测量中常用的定权方法2单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值li

，一次观测的中误差为mi

，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定λ=m2，则有：数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用μ