高中专题复习及考试要求 第九章 统计与统计案例 第3节 变量间的相关关系与统计案例

第3节变量间的相关关系与统计案例考试要求1.了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据变量间的关系，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性；2.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘法估计方法，会使用相关的统计软件，会用一元线性回归模型进行预测；3.理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用.1.相关关系与回归分析知

识

梳

理回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：_______；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从________到_______的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从________到________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.散点图左下角右上角左上角右下角2.线性回归方程(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在__________附近，称两个变量具有线性相关关系.一条直线(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的________________最小的方法叫做最小二乘法.距离的平方和斜率3.回归分析(1)定义：对具有___________的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中_______称为样本点的中心.(3)相关系数当r>0时，表明两个变量_______；当r<0时，表明两个变量_______.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性_____.相关关系正相关负相关越强0.754.独立性检验(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量________”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为有关系

y1y2总计x1ab_______x2cdc＋d总计a＋c______a＋b＋c＋da＋bb＋da＋b＋c＋d诊

断

自

测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)答案(1)√

(2)√

(3)√

(4)√2.(老教材选修2－3P91探究改编)为调查中学生近视情况，测得某校在150名男生中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(

) A.回归分析 B.均值与方差 C.独立性检验 D.概率

解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.

答案C3.(老教材选修2－3P85讲解改编)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(

) A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.80 C.模型3的相关指数R2为0.50 D.模型4的相关指数R2为0.25

解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.

答案

AA.2 B.1 C.0 D.－1x45678y54321答案D5.(2020·临沂月考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.

非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.823正确的结论是(

)A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析∵K2≈9.616＞6.635.∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.答案C考点一相关关系的判断【例1】(1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(

)解析(1)观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D.(2)完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为－1，故选A.答案(1)D

(2)A规律方法判断相关关系的两种方法：(1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1，相关性越强.【训练1】

在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图，下列结论中正确的是________(填序号).①人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%；②人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%；③人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%；④人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%.解析观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%.答案②角度1线性回归方程及应用【例2－1】

(2020·长沙统考)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：考点二回归分析多维探究月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？解(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高.(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得故预报值为62.04万元.角度2非线性回归方程及应用【例2－2】

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值②根据(2)的结果知，年利润z的预报值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.规律方法1.对于非线性回归分析问题，应先进行变量代换，

求出代换后的回归直线方程，再求非线性回归方程.2.回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.【训练2】

(2020·广州模拟)某班的健康调查小组从所在学校共选取15名男同学，其年龄、身高和体重数据如表所示(本题中身高单位：cm，体重单位：kg).年龄(身高，体重)

年龄(身高，体重)15(154，48)，(161，65)，(168，64)

18(166，64)，(168，72)，(182，74)16(158，50)，(162，59)，(175，80)

19(160，51)，(172，68)，(178，90)17(161，60)，(167，62)，(173，68)

根据表中数据，设计了两种方案预测学生身高.方案①：建立平均体重与年龄的线性回归模型，表中各年龄的体重按三名同学的平均体重计算，数据整理如下表：i12345年龄ti1516171819平均体重si596363.37069.7方案②：建立平均体重与平均身高的线性回归模型，将所有数据按身高重新分成6组：[153，158)，[158，163)，[163，168)，[168，173)，[173，178)，[178，183]，并将每组的平均身高依次折算为155，160，165，170，175，180，各组的体重按平均体重计算，数据整理如下表.i123456平均身高xi155160165170175180平均体重yi485763687482故平均体重y与平均身高x的线性回归方程为解(1)对比两种方案，用方案②预测身高168cm的男同学的平均体重更合理.因为身高和体重的相关关系强于年龄与体重的相关关系.考点三独立性检验【例3】

(2020·日照模拟)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195，210]内，则为合格品，否则为不合格品.甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频数分布直方图如下：甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数(190，195]9(195，200]10(200，205]17(205，210]8(210，215]6乙流水线样本频率分布直方图(1)根据乙流水线样本频率分布直方图，估计乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数；(2)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？

甲生产线乙生产线合计合格品

不合格品

合计

附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010