第3章 时域分析法(2)

第3章时域分析法(续)3．5．2稳态误差的计算

对于图3.14所示的反馈控制系统，其误差传递函数根据式（3.26）可计算如下：将式（3.30）代入式（3.29）得该反馈控制系统的稳态误差为由此式可见，控制系统的稳态误差取决于系统的结构参数G（s)和H(s)以及输入信号的性质。♀对于单位反馈系统，因为H(S)=1，所以其稳态误差ess为：

3．5．3稳态误差系数

1．稳态误差系数的定义

♀对于图3．14所示的反馈控制系统，当不同类型的典型信号输入时，其稳态误差不同。因此，应该根据不同的输入信号来定义不同的稳态误差系数，进而用稳态误差系数来表示稳态误差。

(1)单位阶跃输入

根据式（3.31)，反馈控制系统在单位阶跃输入信号作用下的稳态误差为：

定义为稳态位置误差系数，于是可用来表示反馈控制系统在单位阶跃输入时的稳态误差，即

（3.33）♀对于单位反馈控制系统，有

(2)单位速度输入

根据式（3.31)，反馈控制系统在单位速度输入信号作用下的稳态误差为(3)单位加速度输入

以上说明了反馈控制系统在三种不同的典型输入信号的作用下，其稳态误差可以分别用稳态误差系数、和来表示。这三个稳态误差系数只与控制系统的开环传递函数G(s)H(s)有关，而与输入信号无关，即只取决于系统的结构和参数。2．系统的类型

♀当

=0，即没有积分环节时，称系统为0型系统，其开环传递函数可以表示为♀当

=1，即有一个积分环节时，称系统为Ⅰ型系统，其开环传递函数可以表示为式（3.36）中的V即表示“系统的类型”，或系统的“型”。♀当

=2，即没有积分环节时，称系统为Ⅱ型系统，其开环传递函数可以表示为3．不同类型反馈控制系统的稳态误差系数

(1)0型系统(2)I型系统

(3)Ⅱ型系统

4．不同类型反馈控制系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差

(1)单位阶跃输入(2)单位速度输入

(3)单位加速度输入

♀表3.4概括了0型、I型和Ⅱ型单位反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差。♀在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为0♀由表3.4可得如下结论：(1)同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。

(2)同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。

(3)系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。

实例分析例3．4已知两个系统如图3.19所示，当系统输入的控制信号为时，试分别求出两个系统的稳态误差。3．5．4扰动引起的稳态误差和系统总误差

♀在计算系统总误差时必须考虑扰动n(t)所引起的误差。根据线性系统的叠加原理。系统总误差等于输入信号和扰动单独作用于系统时所分别引起的系统稳态误差的代数和(见图2．49所示)1．输入信号Xi(t)单独作用下的系统稳态误差essi2．扰动n(t)单独作用下的系统稳态误差essn

实例分析3．6稳定性分析

3．6．1稳定的概念

1．稳定现象举例

2.稳定的定义

☞系统的稳定性定义：系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其时间响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋向于零，则该系统是稳定的；否则，该系统是不稳定的。

☞稳定性是控制系统自身的固有特性．它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。

3．稳定程度

☞如果系统的时间响应逐渐衰减并趋于零，则系统稳定。☞如果系统的时间响应是发散的，则系统不稳定。☞如果系统的时间响应趋于某一恒定值或成为等幅振荡，则系统处于稳定的边缘，即临界稳定状态。

◆显然，对于实际的系统，临界稳定状态一般是不能正常工作的。◆而且即使没有在临界稳定状态，只要与临界稳定状态接近到某一程度，系统在实际工作中就可能变成不稳定。以下几点来说明：

(1)建立系统的数学模型时，忽略了一些次要因素，用简化的数学模型近似地代表实际系统。

(2)用一些物理学基本定律来推导元件的运动方程时，运用了线性化的方法，而某些元件的实际运动方程可能是非线性的。

(3)元件的运动方程中包含的参数都不可能精确求得，例如质量、转动惯量、阻尼、放大系数、时间常数等等。

(4)如果系统的数学模型是用实验方法求得的，那么，由于实验仪器精度、实验技术水平和数据处理误差等，都会使求出的系统特性与实际的系统特性有差别。

(5)控制系统中各元件的参数在系统工作过程中可能产生变化。

3．6．2稳定的条件

☞根据上述稳定性的定义，可用以下方法得出线性定常系统稳定的条件。

综上所述

☞系统稳定的充分必要条件是系统的全部特征根都必须具有负实部；反之，如果系统的特征根中只要有一个或多个根具有正实部，则系统就是不稳定的。

☞系统稳定的充分必要条件也可以表述为：如果系统闭环传递函数的全部极点均位于[S]平面的左半平面，则系统稳定；反之，如果系统有一个或多个极点位于[S]平面的右半平面，则系统不稳定。

☞如果有一对共轭复数极点位于虚轴上，而其余极点均位于[S]平面的左半平面。或者有一个极点位于原点，而其余极点均位于[S]平面的左半平面，这就是前述的临界稳定状态。工程控制的实际来看，一般认为临界稳定往往会导致不稳定。

[实例1]:某系统的闭环传递函数为：[答]:特征方程:

(S+8)(S+9)(S+4-j5)(S+4+j5)=0特征根：S1=-8;S2=-9;S3=-4+j5;S4=-4-j5系统稳定3．6．3劳思稳定判据

♨♨♨线性定常系统稳定的条件是其特征根全部具有负实部。因此，判别系统的稳定性，就要解出系统特征方程的根，并检验这些特征根是否都具有负实部。但是，当系统的阶数高于4阶时，在一般情况下，求解其特征方程的根将会遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程，并根据其特征根来分析系统稳定性的方法是不方便的。♨♨♨于是，就提出了这样的问题，是否可以不用直接求解特征方程的根，而是根据特征方程的根与系数的关系去判别系统的特征根是否全部具有负实部，并以此来分析系统的稳定性。这就是“劳思稳定判据”的思路！☞设系统的特征方程(

)为：

☻劳思稳定判据的必要条件：所有系数均为正值(实际上就是：ai>0)。

☻劳思稳定判据的充分条件：劳思阵列中第一列所有元素的符号均为正号。★★★劳思判据的内容：劳思阵列（将系统特征方程的n+1个系数排列成下面形式的行和列称之）

各系数计算如下：☞每一行的各个元素均计算到等于零为止。

☞劳思稳定判据还指出：在系统的特征方程中，其实部为正的特征根的个数，等于劳思阵列中第一列元素的符号改变的次数。

3．低阶系统的劳思稳定判据

☞对于二阶和三阶等低阶系统，可以简化劳思稳定判据，以便直接进行稳定性判别o

(1)二阶系统(n＝2)

二阶系统的特征方程为

(2)三阶系统（n=3）可得可得三阶系统稳定的充分必要条件是：a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2>a0a3。即对于三阶系统，如果各项系数均为正值，而且中间两项系数之积大于首尾两项之积，则系统稳定。实例4．特殊情况的处理

☞在应用劳思稳定判据中，有时会遇到一些特殊的情况，使判别无法进行下去。一般有以下两种情况

(1)劳思阵列中某一行的第一列元素为零，而该行其余元素至少有一个不为零。

◘在这种情况下，因为这一行的第一列元素为零，则在计算下一行时，就会使下一行的各个元素变为无穷大，从而使劳思阵列无法计算下去。◘为了克服这一困难，可以用一个很小的正数

来代替第一列等于零的元素，然后继续计算劳思阵列中其余各个元素，最后令正数

趋于零，然后再按照前述方法进行判别。(2)劳思阵列中某一行的元素全为零，即出现了零行。

◘在这种情况下，可以用该零行的上面一行的元素构成一个辅助多项式，取此辅助多项式的一阶导数所得到的一组系数来代替该零行，然后继续计算劳思阵列中其余各个元素。◘最后再按照前述方法进行判别。令辅助多项式等于零可得辅助方程，解此辅助方程可以得到一些成对的特征根，因为这些特征根的总数是偶数，所以辅助