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文档简介

第一章鐳射的基本原理本章概雷射器基本原理。討論的重點是光的相干性和光波模式的聯繫、光的受激輻射以及光放大和振盪的基本概念。

1.1相干性的光子描述一、光子的基本性質·

光的量子學說(光於說)認為,光是一種以光速c運動的光子流。光子(電磁場量子)和其他基本粒子一樣,具有能量、動量和品質等。它的粒子屬性(能量,動量,品質等)和波動屬性(頻率、彼矢、偏振等)密切聯繫,並可歸納如下:(1)光子的能量ε與光波頻率ν對應

ε=hv(1.1.1)式中h=6.626×10-34J.s,稱為普朗克常數。(2)光子具有運動品質m,並可表示為

光子的靜止品質為零。(1.1.2)(3)光子的動量P與單色平面光波的波矢k對應(1.1.3)

n。為光子運動方向(平面光波傳播方向)上的單位向量。

4.光於具有兩種可能的獨立偏振狀態,對應於光波場的兩個獨立偏振方向。

5.光於具有自旋,並且自旋量子數為整數。因此大量光於的集合,服從玻色—愛因斯坦統計規律。處於同一狀態的光子數目是沒有限制的,這是光子與其它服從費米統計分佈的粒子(電子、質子、中子等)的重要區別。上述基本關係式(1.1.1)相(1.1.3)後來為康普頓(ArthurCompton)散射實驗所證實(1923年),並在現代量子電動力學中得到理論解釋。量子電動力學從理論上把光的電磁(波動)理論和光子(微粒)理論在電磁場的量子化描述的基礎上統一起來,從而在理論上闡明了光的波粒二象性。在這種描述中,任意電磁場可看作是一系列單色平面電磁波(它們以波矢k為標誌)的線性疊加,

式中或一系列電磁被的本征模式(或本征狀態)的疊加。但每個本征模式所具有的能量是量子化的,即可表為基元能量hv的整數倍。本征模式的動量也可表為基元動量hk1的整數倍。這種具有基元能量hv1和基元動量hk1的物質單元就稱為屬於第L個本征模式(或狀態)的光子。具有相同能量和動量的光子彼此間不可區分,因而處於同一模式(或狀態)。每個模式內的光子數目是沒有限制的。二、光波模式和光子狀態相格從上面的敘述已經可以看出,按照量子電動力學概念,光波的模式和光子的狀態是等效的概念。下麵將對這一點進行深入一步的討論。由於光的波粒二象性,我們可以用波動和粒子兩種觀點來描述它。在鐳射理論中,光波模式是一個重要概念。按照經典電磁理論,光電磁波的運動規律由麥克斯韋(C.Maxwell)方程決定。單色平面波是麥克斯韋方程的一種特解,它表示為式中E0為光波電場的振幅向量,ν為單色平面波的頻率,r為空間位置座標向量,k為波矢。而麥克斯韋方程的通解可表為一系列單色平面波的線性疊加。在自由空間,具有任意波矢k的單色平面波都可以存在。但在一個有邊界條件限制的空間V(例如諧振腔)內,只能存在一系列獨立的具有特定波矢k的平面單色駐波。這種能夠存在於腔內的駐波(以某一波矢k為標誌)稱為電磁被的模式或光波模。一種模式是電磁波運動的一種類型,不同模式以不同的k區分。同時,考慮到電磁波的兩種獨立的偏振,同一波矢k對應著兩個具有不同偏振方向的模。(1.1.4)

下麵求解空腔v內的模式數目。設空腔為V=ΔxΔyΔz的立方體,則沿三個坐標軸方向傳播的波分別應滿足的駐波條件為

Δx=mλ/2,Δy=nλ/2,Δz=qλ/2式中mλq為正整數。而波矢k的三個分量應滿足條件

kx=лm/Δx,ky=лn/Δy,kz=лq/Δz(1.1.5)每一組正整數m,n,q對應腔內一種模式(包含兩個偏振)。如果在以kxkykz為軸的直角坐標系中,即在波矢空間中表示光波模,側每個模對應波矢空間的一點(如圖1.1.1所示)。每一模式在三個座標鈾方向與相鄰模的間隔為

Δkx=л/Δx,Δky=л/Δy,Δkz=л/Δy(1.1.6)因此,每個模式在波矢空間佔有一個體積元

ΔkxΔkyΔkz=л3/(ΔxΔyΔz)=л3/V(1.1.7)在k空間內,波矢絕對值處於|k|~|k|+d|k|區間的體積為(1/8)4л|k|2d|k|,故在此體積內的模式數為(1/8)4л|k|2d|k|V/л3。又因|k|=2л/λ=2λv/c;d|k|=2лdv/c,代入上式則得頻率在v~v+dv區間內的模式數。再考慮到對應同一k有兩種不同的偏振,上述模式效應乘2,於是,在體積為V的空腔內,處在頻率v附近頻帶dv內的模式數為

P=(8лv2/c3)Vdv(1.1.8)

現在再從粒子的觀點闡明光子狀態的概念,並且證明,光子態和光波橫是等效的概念。

在經典力學中,質點運動狀態完全由其座標(x,y,z)和動量(PxPyPz)確定。我們可以用廣義笛卡兒(Cartesian)座標x、y、z、PxPyPz所支撐的六維空間來描述質點的運動狀態。這種六維空間稱為相空間,相空間內的一點表示質點的一個運動狀態。當宏觀質點沿某一方向(例如:x軸)運動時,它的狀態變化對應於二維相空間(x,Px)的一條連續曲線,如圖1.1.2所示。但是,光子的運動狀態和經典宏觀質點有著本質的區別,它受量子力學測不准關係的制約。測不准關係表明:微觀粒子的座標和動量不能同時準確測定,位置測得越準確,動量就越測不准。對於一維運動情況.則不准關係表示為

ΔxΔPx︾h(1.1.9)上式意味著處於二維相空間面積元ΔxΔPx︾h之內的粒子運動狀態在物理上是不可區分的,因而它們應屬於同一種狀態。

在三維運動情況下,測不准關係為

ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾h3故在六維相空間中,一個光子態對應(或佔有)的相空間體積元為

ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾h3(1.1.10)上述相空間體積元稱為相格。相格是相空間中用任何實驗所能分辨的最小尺度。光子的某一運動狀態只能定域在一個相格中,但不能確定它在相格內部的對應位置。於是我們看到,微觀粒子和宏觀質點不同,它的運動狀態在相空間中不是對應一點而是對應一個相格。這表明微觀粒子運動的不連續性。僅當所考慮的運動物體的能量和動量遠遠大於由普朗克常數h所標誌的l量hv9和hk,以致量子化效應可以忽略不計時,量子力學運動才過渡到經典力學運動。從式(1.1.10)還可得出,一個相格所佔有的座標空間體積(或稱相格空間體積)為ΔxΔyΔz︾h3/(ΔPxΔPyΔPz)(1.1.11)現在證明,光波模等效於光子態。為此將光波模的波矢空間體積元表示式(1.1.7)改寫為在相空間中的形式。考慮到一個光波模是由兩列沿相反方向傳播的行波組成的駐波.因此一個光波模在相空間的Px,Py和Pz軸方向所占的線度為

ΔPx=2hΔkx,ΔPy=2hΔky,ΔPz=2hΔkz(1.1.12)於是,式(1.1.7)在相空間中可改寫為

ΔPxΔPyΔPzΔxΔyΔz=h3(1.I.13)可見,一個光波模在相空間也佔有一個相格.因此,一個光波模等效於一個光子態。一個光波模或一個光子態在座標空間都佔有由式(1.1.11)表示的空間體積。

三、光子的相干性為了把光子態和光子的相干性兩個概念聯繫起來,下麵對光源的相干性進行討論。在一般情況下,光的相干性理解為:在不同的空間點上、在不同的時刻的光波場的某些特性(例如光波場的相位)的相關性。在相干性的經典理論中引入光場的相干函數作為相干性的度量。但是,作為相干性的一種粗略描述,常常使用相干體積的概念。如果在空間體積Vc內各點的光波場都具有明顯的相干性,則Vc稱為相干體積。Vc又可表示為垂直於光傳播方向的截面上的相干面積Ac和沿傳播方向的相干長度Lc的乘積

Vc=AcLc(1.1.14)式(1.1.14)也可表示為另一形式;

Vc=Acτcc(1.1.15)式中c為光速,τc=Lc/c是光沿傳播方向通過相干長度Lc所需的時間,稱為相干時間。普通光源發光,是大量獨立振子(例如發光原子)的自發輻射。每個振子發出的光波是由持續一段時間Δt或在空間佔有長度cΔt的波列所組成.如圖l.1.3圖所示。不同振子發出的光波的相位是隨機變化的。對於原子譜線來說,Δt即為原子的激發態壽命(Δt︾10-8s秒)。對波列進行頗譜分析,就得到它的頻帶寬度

Δv︾1/ΔtΔv是光源單色性的量度。物理光學中已經闡明,光波的相干長度就是光波的波列長度

Lc=cΔt=c/Δv(1.1.16)於是,相干時間τc與光源頻帶寬度Δv的關係為

τc=Δt=1/Δv(1.1.17)上式說明,光源單色性越好,則相干時間越長。

物理光學中曾經證明:在圖圖1.1.4中,由線度為Δx的光源A照明的S1和S2兩點的光波場具有明顯空間相干性的條件為

(ΔxLx/R)≤λ(1.1.18)式中λ為光源波長。距離光源R處的相干面積Ac可表示為

λ=Lx2=(Rλ/Δx)2(1.1.19)如果用Δθ表示兩縫間距對光源的張角,則(1.1.18)式可寫為(Δx)2≤(λ/Δθ)2(1.1.20)上式的物理意義是:如果要求傳播方向(或波矢k)限於張角Δθ之內的光波是相干的,則光源的面積必須小於(λ/Δθ)2。因此,(λ/Δθ)2就是光源的相干面積,或者說,只有從面積小於(λ/Δθ)2的光源面上發出的光波才能保證張角在Δθ之內的雙縫具有相干性(見圖1.1.4)根據相干體積定義,可得光源的相干體積為

(1.1.21)此式可同樣理解為:如要求傳播方向限於Δθ之內並具有頻帶寬度Δv的光波相干,則光源應局限在空間體積Vcs之內。

現在再從光子觀點分析圖1.1.4。由面積為(Δx)2的光源發出動量P限於立體角Δθ內的光子,因此光子具有動量測不准量,在Δθ很小的情況下其各分量為

(1.1.22)以為Δθ很小,故有

Pz≈|P|ΔPz≈Δ|P|=(h/c)Δv(1.1.23)如果具有上述動量測不准量的光子處於同一相格之內,即處於一個光子態,則光子佔有的相格空間體積(即光子的座標測不准量)可根據(1.1.11)、(1.1.22)、(1.1.23)以及(1.1.21)式求得

(1.124)上式表明,相格的空間體積和相干體積相等。如果光子屬於同一光子態,則他們因該包含在相干體積之內。也就是說屬於同一光子態的光子是相干的綜上所述可得下述關於相干性的重要結論:

1.相格空間體積以及一個光波模或光子態佔有的空間體積都等於相干體積。

2.屬於同一狀態助光子或同一模式的光波是相干的。不同狀態的光子或不同模式的光波是不相干的。

四光子簡並度具有相干性的光波場的強度(相干光強)在相干光的技術應用中,也是一個重要的參量。一個好的相干光源應具有盡可能高的相干光強、足夠大的相干面積和足夠長的相干時間.對普通光源來說增大相干面積、相干時間和增大相干光強是矛盾的。由(1.1.17)和(1.1.19)式可訊知,為了增大相干面積和相干時間,可以採用光學濾波來減小Δv,縮小光源線度或加光闌以減小Δx以及遠離光源等辦法。但這一切都將導致相干光強的減少。這正是普通光源給相干光學技術的發展帶來的限制。例如光全息技術,它的原理早在1948年就被提出,但在鐳射出現之前一直沒有實際應用,其原因就在於此。而雷射器卻是一種把光強和相干性兩者統一起來的強相干光源。我們在後面將對此加以說明。相干光強是描述光的相干性的參量之一。從相干性的光子描述出發,相干光強決定於具有相干性的光子的數目或同態光子的數目。這種處於同一光子態的光子數稱為光子簡並度n。顯然,光子簡並度具有以下幾種相同的含義,同態光子數、同一模式內的光子數、處於相干體積內的光子數、處於同一相格內的光子數。1.2光的受激輻射基本概念光與物質的共振相互作用,特別是這種相互作用中的受激輻射過程是雷射器的物理基礎。我們將在第四章和第八章中較詳細地討論這種相互作用的理論處理方法。本節先給出基本物理概念。受激輻射概念是愛因斯坦首先提出的(1917年)。在普朗克(MaxPlanck)於1900年用輻射量子化假設成功地解釋了黑體輻射分佈規律,以及波爾(NieleBohr)在1913年提出原子中電子運動狀態量子化假設的基礎上,愛因斯坦從光量子概念出發,重新推導了黑體輻射的普朗克公式,並在推導中提出了兩個極為重要的概念:受激輻射和自發輻射。四十年後,受激輻射概念在鐳射技術中得到了應用。一:黑體輻射的普朗克公式我們知道,處於某一溫度T的物體能夠發出和吸收電磁輻射。如果某一物體能夠完全吸收任伺波長的電磁輻射,則稱此物體為絕對黑體簡稱黑體。如因1.2.1所示的空腔輻射體就是一個比較理想的絕對黑體,因為從外界射入小孔的任何波長的電磁輻射都將在腔內來回反射而不再逸出腔外。物體除吸收電磁輻射外,還會發出電磁輻射,這種電磁輻射稱為熱輻射或溫度輻射。1.1節中提到的普通光源就可以是一種熱輻射光源

如果圖圖I.2.所示的黑體處予某一溫度T的熱平衡情況下,則它所吸收的輻射能量應等於發出的輻射能量,即黑體與輻射場之間應處於能量(熱)平衡狀態。顯然,這種平衡必然導致空腔記憶體在完全確定的輻射場。這種輻射場稱為黑體輻射或平衡輻射。黑體輻射是黑體溫度T和輻射場頻率v的函數。並用單色能量密度ρv描述。ρv定義為:單位體積內,頻率處於v附近的單位頻率間隔中的電磁輻射能量,其綱量為J*m-3*s.

為了從理論上解釋實驗所得的黑體輻射ρv隨(T,v)的分佈規律,人們從經典物理學出發所作的一切努力都歸於失敗後來,普朗克提出了與經典概念完全不相容的輻射能量量子化假設,並在此基礎上成功地得到了與實驗相符的黑體輻射普朗克公式。這一公式可表述為:在溫度T的熱平衡情況下,黑體輻射分配到腔內每個模式上的平均能量為(1.2.1)為了求得腔內模式數目,可利用(1.1.8)。顯然,腔內單位體積中頻率處於v附近單位頻率間隔內光波模式數nv為:

於是,黑體輻射普朗克公式為

(1.2.2)式中K為玻爾茲曼常數,其數值為

K=1.38062×10-23J/oC

二受激輻射和自發輻射概念

(1.2.2)式表示的黑體輻射,實質上是輻射場ρv和構成黑體的物質原子相互作用的結果。為簡化問題,我們只考慮原子的兩個能級E2和E1並有

E2—E1=hv(1.2.3)單位體積內處於兩能級的原子數分別用n2和n1,表示,如圖(1.2.2)所示。

愛因斯坦從輻射與原於相互作用的量子論觀點出發提出,相互作用應包含原子的自發輻射躍遷、受激輻射躍遷和受激吸收躍遷三種過程。自發輻射[圖圖1.2.3(a)]。處於高能級E2的一個原子自發地向E1躍遷,併發射一個能量為hv的光子。這種過程稱為自發躍遷。由原於自發躍遷發出的光子稱為自發輻射。自發躍遷過程用自發躍遷幾率A21描述。A21定義為單位時間內n2個高能態原子中發生自發躍遷的原子數與n2的比值:

(1.2.4)式中(dn21)sp表示由於自發躍遷引起的由E2向E1躍遷的原子數。應該指出,自發躍遷是一種只與原於本身性質有關而與輻射場Pv無關的自發過程。因此A21只決定於原子本身的性質。由(1.2.4)式容易證明,A21就是原子在能級E21的平均壽命τs的倒數,因為在單位時間內能級E2所減少的粒子數為

將(1.2.4)式代入則得

由此式可得

式中

A21=1/τs(1.2.5)A21也稱為自發躍遷愛因斯坦係數。2.受激吸收[圖1.2.3(b)]。如果黑體物質原子和輻射場相互作用只包含上述自發躍遼過程,是不能維持由(1.2.2)式所表示的腔內輻射場的穩定值的。因此.愛因斯坦認為必然還存在一種原子在輻射場作用下的受激躍遷過程,從而第一次從理論上預測了受激輻射的存在。

處於低能態E1的一個原於在頻率為v的輻射場作用(激勵)下,吸收一個能量為hv的光子,並向E2能態躍遷,這種過程稱為受激吸收躍遷,並用受激躍遷幾率W12描述:(1.2.6)式中,(dn12)st表示由於受激躍遷引起的由E1向E2躍遷的原子數。

應該強調,受激躍遷和自發躍遷是本質不同的物理過程,反映在躍遷幾率上就是A21只與原子本身性質有關;而W12不僅與原子性質有關還與輻射場的ρv成正比。我們可將這種關係唯象地表示為

W12=B12ρv(1.2.7)式中,比例係數B12稱為受激吸收躍遷愛因斯坦係數,它只與原子性質有關。3.受激輻射〔圖I.2.3(c)〕。受激吸收躍遷的反過程就是受激輻射躍。處於能級E2d原子在頻率為v的輻射場作用下,躍遷至低能級E1

並輻射一個能量為hv的光子。受激輻射躍遷發出的光波稱為受激輻射。受激輻射躍遷幾率為

(1.2.8)(1.2.9)式中B21為受激輻射躍遷愛因斯坦係數。由原子受激輻射躍遷發出的光於稱為受激輻射。

三A12B21B12的相互關係現在根據上述相互作用物理模型分析空腔黑體的熱平衡過程,從而導出愛因斯坦三係數之間的關係。如前所述,正是由於腔內黑體輻射場ρv與物質原子相互作用的結果應該維持黑體處於溫度為T的熱平衡狀態。這種熱平衡狀態的標誌是:(1)腔記憶體在著由式(1.2.2)式表示的熱平衡黑體輻射。(2)腔內物質原子數按能級分佈應服從熱平衡狀態下的波爾茲曼(LudwingBoltzman)分佈(1.2.10)式中,f2和f1分別為能級E1和E2的統計權重。

(3)在熱平衡狀態下,n2(或nl)應保持不變,於是有

(1.2.11)

四受激輻射的相干性最後我們要強調指出受激輻射與自發輻射的極為重要的區別——相干性。如前所述,自發輻射是原子在不受外界輻射場控制情況下的自發過程。因此,大量原子的自發輻射場的相位是無規則分佈的,因而是不相干的。此外,自發輻射場的傳播方向和偏振方向也是無規則分佈的,或者如式(1.2.1)和(1.2.2)所表述的那樣,自發輻射平均地分配到腔內所有模式上。受激輻射是在外界輻射場的控制下的發光過程,因而容易設想各原子的受激輻射的相位不再是無規則分佈,而應具有和外界輻射場相同的相位。在量子電動力學的基礎上可以證明:受激輻射光子與入射(激勵)光子屬於同一光子態;或者說,受激輻射場與入射輻射場具有相同的頻率、相位、波矢(傳播方向)和偏振,因而,受激輻射場與入射輻射場屬於同一模式圖圖I.2.4示意地表示這一特點。特別是,大量原子在同一輻射場激發下產生的受激輻射處於同一光波模或同一光子態,因而是相干的。受激輻射的這一重要特性就是現代量子電子學(包括鐳射與微波激勵)的出發點。以後將說明,鐳射就是一種受激輻射相干光。受激輻射的這一特性在上述愛因斯坦理論中是得不到證明的,因為那裏使用的是唯象方法.沒有涉及原子發光的具體物理過程。嚴格的證明只有依靠量子電動力學。但是,原子發光的經典電子論模型可以幫助我們得到一個定性的粗略理解。按經典電子論模型,原子的自發躍遷是原子中電子的自發阻尼振盪,沒有任何外加光電場來同步各個原子的自發阻尼振盪,因而電子振盪發出的自發輻射是相位無關的。而受激輻射對應於電子在外加光電場作用下作強迫振盪時的輻射,電子強迫振盪的頻率、相位、振動方向顯然應與外加光電場一致。因而強迫振動電子發出的受激輻射應與外加光輻射場具有相同的頻率、相位、傳播方向和偏振狀態。1.3光的受激輻射放大一光放大概念的產生在鐳射出現之前,科學技術的發展對強相干光源提出了迫切的要求,例如,光全息技術和相干光學計量技術要求在盡可能大的相干體積或相干長度內有儘量強的相干光。但是.正如1.1中所指出的,對普通熱光源來說上述要求是矛盾的。又如相干電磁波源(各種無線電振盪器、微波電子管等)曾大大推動了無線電技術的發展,而無線電技術的發展又要求進一步縮短相干電磁波的波長,即要求強相干光源。但是普通熱光源的自發輻射光實質上是一種光頻“雜訊”,所以在鐳射出現以前,無線電技術很難向光頻波段發展。為進一步說明普通光源的相干性限制。我們來分析黑體輻射源的光子簡並度,它可由式(1.2.1)求出:

(1.3.1)按此式可計算與波長及溫度的關係。例如,在室溫T=300K的情況下,對λ=30cm的微波輻射,≈103,這時可以認為黑體基本上是相干光源;對λ=60um的遠紅外輻執,≈103,而對λ=0.6um的可見光,≈10-35,即在一個光波模內的光子數是10-35個,這時黑體就是完全非相干光源。即使提高黑體溫度也不可能對其相干性有根本的改善。例如為在λ=l微米處得到≈1,要求黑體溫度高達50000K。可見,普通光源在紅外和可見光波段實際上是非相干光源。為了理解構成雷射器的基本思想我們進一步分折(1.3.1)式,它可改寫為(1.3.2)上式在物理上是容易理解的,因為受激輻射產生相干光子,而自發輻射產生非相干光子。這個關係對腔內每一特定光子態或光波模均成立。從(1.3.2)式出發,如果我們能創造一種情況,使腔內某一特定模式(或少數幾個模式)的ρv大大增加,而其他所有模式的ρv

很小,就能在這一特定(或少數幾個)模式內形成很高的光子簡並度。也就是說,使相干的受激輻射光子集中在某一特定(或幾個)模式內,而不是均勻分配在所有模式內。這種情況可用下述方法實現:如圖圖l.3.1所示,將一個充滿物質原子的長方體空腔(黑體)去掉側壁,只保留兩個端面.如果端面壁。如果端面壁對光有很高的反射系係數.則沿垂直端面的腔軸方向傳播的光(相當於少數幾個模式)在腔內多次反射而不逸出腔外,而所有其他方向的光則很容易逸出腔外。此外,如果沿腔軸傳播的光在每次通過腔內物質時不是被光子吸收(受激吸收),而是由於原子的受激輻射而得到放大.那麼腔內軸向模式的ρv就能不斷增強,從而在鈾向模內獲得極高的光子簡並度。這就是構成雷射器的基本思想。

可以看出,上述思想包含兩個重要部分:第一是是光波模式的選擇,它由兩塊平行平面反射鏡完成,這實際上就是光學技術中熟知的法布裏—泊羅(Fabry—Perot)干涉儀,在鐳射技術中稱為光諧振腔。第二是受激輻射放大,鐳射的英文縮寫名稱LASER(LightAmplificationbyStimulatedEmissionofRadiation)正反映了這一物理本質。順便指出,雷射器的上述基本思想,對於產生相干電磁波的傳統電子器件(如微波電子管)來說也是一種技術思想的突破。在傳統的微波電子器件中,使用尺寸可與波長相比擬的封閉諧振腔選擇模式,利用自由電子和電磁波相互作用對單摸電磁場進行放大。但是在力圖縮短微波器件波長(例如小於1毫米)的過程中,繼續沿用傳統方法就遇到了極大的困難。首先是封閉諧振腔的尺寸必須小到不能實現的程度,其次是使用普通自由電子束對光波進行有效的放大也是極其困難的。雷射器正是在這兩方面突破了傳統方法,即用開式諧振腔代替封閉諧振腔,用原子中束縛電子的受激輻射光放大代替自由電子對電磁波的放大,從而為獲得光波段的相干電磁播源開闢了極其廣闊的道路。二實現光放大的條件——集居數反轉下麵討論在由大量原於(或分子)組成的物質中實現光的受激輻射放大的條件。在物質處於熱平衡狀態時,各能級上的原子數(或稱集居數)服從玻耳茲曼統計分佈:

為簡化起見,式中已令f2=f1。因E2>E1,所以n2<n1,即在熱平衡狀態下,高能級集居數恒小於低能級集居數,如圖圖1.3.2所示。當頻率v=(E2—E1)/h的光通過物質時,受激吸收光子數n1W12.恒大於受激輻射光子數n2W21.。因此,處於熱平衡狀態下的物質只能吸收光子。

但是,在一定的條件下物質的光吸收可以轉化為自己的對立面——光放大。顯然,這個條件就是n2>n1,稱為集居數反轉(也可稱為粒子數反轉)。一船來說當物質處於熱平衡狀態(B即它與外界處於能量平衡狀態)時,集居數反轉是不可能的,只有當外界向物質供給能量(稱為激勵或泵浦過程),從而使物質處於非熱平衡狀態時,集居數反轉才可能實現。激勵(或泵浦)過程是光放大的必要條件。典型雷射器的集體激烈過程在第九章仲介紹。三光放大物質的增益係數與增益曲線處於集居數反轉狀態的物質稱為啟動物質(或鐳射介質)。一段啟動物質就是一個光放大器。放大作用的大通小常用放大(或增益)係數g來描述。如圖圖1.3.3所示,設在光傳播方向上z處的光強I(z)(光強I正比於光的單色能量密度p).則增益係數字義為(1.3.3)所以g(z)表示光通過單位長度啟動物質後光強增長的百分數。顯然,dI(z)正比於單位體積啟動物質的淨受激發射光子數

由上式可寫為

(1.3.4)所以

(1.3.5)如果(n2一n1)不隨z而變化,則增益係數g(z)為一常數g0,(1.3.3)式為線性微分方程。積分式(1.3.3)得:

(1.3.6)式中,Is為z=0處的初始光強。造就是如圖圖1.3.3所示的線性增益或小信號增益情況。但是,實際上光強I的增加正是由於高能級原子向低能級受激躍遷的結果,或者說光放大正是以單位體積內集居數差值n2(z)一n1(z)的減小為代價的。並且,光強I越大.n2(z)一n1(z)減少得越多,所以實際上n2(z)一n1(z)隨z的增加而減少。因而增益係數g(z)也隨z的增加而減小,這稱為增益飽和效應。與此相應,我們可將單位體積內集居數差值表示為光強I的函數(詳見4.5):

(1.3.7)式中,Is為飽和光強。在這裏,可暫暫時Is理解為為描述增益飽和效應而唯象引入的參量。n20一n10為光強I=0時單位體積內的初始集居數差值。從(1.3.7)式出發,我們可將式(1.3.5)改寫為(1.3.8)或

(1.3.9)式中,g0=g(I=0)即為小信號增益係數。如果在放大器中光強始終滿足條件I《Is。則增益係數g(I)=g0.常級且不隨z變化.這就是(1.3.6)式表示的小信號情況。反之,在條件I《Is不能滿足時,(1.3.9)式表示的g(I)稱為大信號增益係數(或飽和增益係數)。

最後指出,增益係數也是光波頻率v的函數,表示為g(v,I)。這是因為能級E1和E2由於各種原因(見第四章)總有一定的寬度,所以在中心頻率v=(E2—E1)/h附近一個小範圍(±½Δv)內都有受激躍遷發生。g(v,I)隨頻率v的變化曲線稱為增益曲線,Δv稱為增益曲線寬度.如圖圖1.3.4所示。關於增益係數的詳細討論見第四章。1.4光的自激振盪上節所述的鐳射放大器在許多大功率裝置中廣泛地用來把弱的雷射光束逐級放大。但是在更多的場合下須要使用鐳射自激振盪器,通常所說的雷射器就是指鐳射自激振盪器。一自激振盪概念在光放大的同時,總是還存在著光的損耗,我們可以引入損耗係數α來描述。α定義為光通過單位距離後光強衰減的百分比,它表示為

(1.4.1)同時考慮增益和損耗,則有(1.4.2)

假設有微弱光(光強為I0)進入一無限長放大器。起初,光強I(z)將按小信號放大規律增長,但是隨I(z)的增加.g(I)將由於飽和效應而按(1.3.9)式減小,因而I(z)的增長將逐漸變緩。最後,當g(I)=α時,I(z)不再增加並達到一個穩定的極限值Im(見圖1.4.1).根據條件g(I)=α可求得Im

即(1.4.3)可見,Im只與放大器本身的參數有關而與初始光強I。無關,特別是,不管初始I。多麼微弱.只要放大器足夠長,就總是形成確定大小的光強Im,這實際上就是自激振盪的概念。這就表明,當鐳射放大器的長度足夠大時,它可能成為一個自激振盪器。實際上,我們並不須要真正把啟動物質的長度無限增加,而只要在具有大就有可能在軸向光波模上產生光的自激振盪,這就是雷射器。一定長度的光放大器兩端放置如1.3節所述的光諧振腔。這樣,軸向光波模就能在反射鏡間往返傳播,就等效於增加放大器長度。光諧振腔的這種作用也稱為光的回饋。由於在腔內總是存在頻率在v。附近的微弱的自發輻射光(相當於初始光強I。),它經過多次受激輻射放

綜上所述,一個雷射器應包括光放大器和光諧振腔兩部分,這和1.3節所述構成雷射器的基本思想是一致的。但對光腔的作用則應歸結為兩點:

1.模式選擇,保證雷射器單模(或少數鈾向模)震盪,從而提高雷射器的相干性。

2.提供軸向光波模的回饋。應該指出,光腔的上述作用雖然是重要的,但並不是原則上不可缺少的。對於某些增益係數很高的啟動物質,不需要很長的放大器就可以達到(1.4.3)式所示的穩定飽和狀態,因而往往不用光諧振腔(當然在相干性上有所損失)。關於這一問題將在6.5節詳細討論。

二振盪條件。一個雷射器能夠產生自激振盪的條件,即任意小的初始光強

I。都能形成確定大小的腔內光強I。的條件可從(1.4.3)式求得:這就是雷射器的振盪條件。式中g0為小信號增益係數;α為包括放大器損耗和諧振腔損耗在內的平均損耗係數。

當g0=α時,稱為閾值振盪情況,這時腔內光強維持在初始光強I。的極其微弱的水準上。當g0>α時,腔內光強Im就增加,並且Im正比於(g0—α)。可見增益和損耗這對矛盾就成為雷射器是否振盪的決定因素。特別應該指出,雷射器的幾乎一切特性(例如輸出功率、單色性、方向性等)以及對雷射器採取的技術措施(例如穩頻、選模、鎖模等)都與增益和損耗特性有關。因此工作曲物質的增益特性和光腔的損耗特性是掌握鐳射基本原理的線索。振盪條件式(1.4.4)有時也表示為另一種形式。設工作物質長度為l,光腔長度為L,令αL=δ稱為光腔的單程損耗..振盪條件可寫為

g0l≥δ(1.4.5)g0l稱為單程小信號增益。1.5鐳射的特性從前幾節所述的概念中可以預見到.雷射器一定具有和普通光源根不相同的特性。第一臺紅寶石雷射器從實驗上很典型地顯示了這一點。圖圖1.5.1給出第一臺紅寶石鐳射器在疝燈光強低於振盪閾值和高於振盪閾值時的不同光束特性。顯然,前者是普通光,死後者是鐳射。這免冠燈光強的量壹在一定的關節點(閡值)上引起光束特性的質變。圖1.5.1(a)表示光譜儀觀察到的鐳射譜線變窄,或光的頻帶寬度Δv的減小,這就是鐳射的單色性。圖圖1.5.1(b)表示在雷射器輸出反射鏡面上放置雙縫光闌時,鐳射可以形成清晰的干涉圖象,而自發輻射光卻不能形成干涉,這就是鐳射的空間相干性。圖圖1.5.1(c)表示鐳射沿光腔軸向傳播,並具有很好的方向性,而普通光向各個方向傳播。固1.5.1(d)表示從螢光(自發輻射)向鐳射轉變時,光強急劇增加,這就是鐳射的高強度。所有這些現象都可以在本章前幾節所述概念的基礎上得到定性的解釋。

以上所述,一般通稱為鐳射的四性:單色性、相干性、方向性和高亮度。實際上,這四性本質上可歸結為一性,即鐳射具有很高的光子簡並度。也就是說,鐳射可以在很大的相干體積內有很高的相干光強。鐳射的這一特性正是由於受激輻射的本性和光腔的選模作用才得以實現的。以下我們將鐳射的相干性分為空間相干性、時間相干性和相干光強3方面討論。一,鐳射的空間相干性和方向性光束的空間相干性和它的方向性(用光束發散角描述)是緊密聯繫的。對於普通光源,從(1.1.20)式可以看出,只有當光束發散角小於某一限度,即Δθ≤λ/Δx時.光束才具有明顯的空間相干性。例如,一個理想的平面光波是完全空間相干光,同時它的發散角為零。

對於雷射器也有類似的關係。通常把光波場的空間分佈分解為沿傳播方向(腔軸方向)的分佈E(z)和在垂直於傳播方向的橫截面上的分佈E(x,y)。因而光腔模式可以分解為縱模和橫模。它們分別代表光腔模式的縱向(腔鈾方向)光場分佈和橫向光場分佈,用符號TEMmn標誌不同橫摸的光場分佈。TEM代表光波是橫電磁,m、n分別表示在x和y方向(軸對稱情況)光場通過零值的次數。TEM。。模稱為基模,其他稱為高次模。雷射光束的空間相干性和方向性都與鐳射的橫模結構相聯系。如果鐳射是TEM。。單橫模結構,則如1.1所述,同一模式內的光波場是空間相干的,而另一方面.單橫模結構又具有最好的方向性。反之,如果鐳射是多橫模結構,由於不同模式的光波場是非相干的,所以鐳射的空間相干性程度減小,而另一方面多橫模就意味著方向性變差(高次模發散角加大)。這表明,鐳射的方向性越好,它的空間相干性程度就越高。鐳射的高度空間相干性在物理上是容易理解的。以平行平面腔TEM。。單橫模鐳射器為例,工作物質內所有激發態原於在同一TEM。。模光波場激發(控制)下受激輻射,並且受激輻射光與激發光波場同相位、同頻率、同偏振和同方向.即所有原子的受激輻射都在TEM。。模內,因而雷射器發出的TEM。。模雷射光束接近於沿腔鈾傳播的平面波即接近於完全空間相干光並具有很小的光束發散角。 由此可見,為了提高雷射器的空間相干性,首先應限制雷射器工作在TEM。。單橫模;其次,合理選擇光腔的類型以及增加腔長以利於提高光束的方向性。另外,許多實際因素,如工作物質的不均勻姓、光腔的加工和調整誤差等都會導致方向性變差。鐳射所能達到的最小光束發散角還要受到衍射效應的限制,它不能小於鐳射通過輸出孔徑時的衍射角θm。θm稱為衍射極限。設光腔輸出孔徑為2α,則衍射極限θm為θm≈λ/2α[rad](1.5.1)例如對氨氖氣體雷射器,λ=0.63微米,取2α=3毫米,則θm≈2*10-4弧度。

不同類型雷射器的方向性差別很大,它與工作物質的類型和均勻性、光腔類型和腔長、激勵方式以及雷射器的工作狀態有關,氣體雷射器由於工作物質有良好的均勻性.並且腔長一般較大,所以有最好的方向性,可達到θm≈10-3弧度,He—Ne雷射器甚至可達3x10-4

弧度,這已十分接近其衍射極限θm。固體雷射器方向性較差.一般在10-2弧度量級。其主要原因是,有許多因素造成固體材料的光學非均勻性,以及一般固體雷射器使用的腔長較短和激勵的非均勻性等,半導體雷射器的方向性最差,一般在(5~10)xI0-2。弧度量級。雷射光束的空間相干性和方向性對它的聚焦性能有重要影響。可以證明,當一束發散角為θ的單色光被焦距為F的透鏡聚焦時,焦面光斑直徑D為

D=Fθ(1.5.2)在θ等於衍射極限θm。的情況下,則有

Dm≈Fλ/2α(1.5.3)這表示在理想情況下,有可能將鐳射的巨大能量聚焦到直徑為光波波長量級的光斑上,形成極高的能量密度。三時間相干性和單色性鐳射的相干時間τc和單色性Δv存在簡單的關係:

τc=1/Δv即單色性越高,相干時間越長。對於單橫模(TEM。。)雷射器,其單色性取決於它的縱模結構和模式的頻帶寬度。如果鐳射在多個縱模上振盪,則由第二章可知,鐳射由多個相隔Δvq(縱模間隔)的不同頻率的光所組成,故單色性較差,如圖圖l.5.2所示。

理論分析證明,單程雷射器的譜線寬度Δvs極窄(見第五章)。例如。對單模輸出功率P。=1mM的He—Ne雷射器.取δ=0.01,L=1m,則Δvs≈5Xl0-4Hz,這顯然是極高的單色性。但實際上很難達到達一理論極限。在實際的雷射器中,有一系列不穩定因素(如溫度、振動、氣流、激勵等)導致光腔諧振頻率的不穩定,因此單縱模雷射器的單色性主要由其頻率穩定性決定。

單模穩頻氣體雷射器的單色性最好,一般可達106一103

,在採用最嚴格穩頻措施的條件下,曾在He—Ne雷射器中觀察到約2Hz的帶寬。固體雷射器的單色性較差,主要是因為工作物質的增益曲線很寬,故很難保證單縱模工作。半導體雷射器的單色性最差。練上所述,雷射器的單模工作(選模技術)和穩頻對於提高相干性十分重要,一個穩頻的TEM。。單縱模雷射器發出的鐳射接近於理想的單色平面光波,即完全相干光。

三鐳射的高亮度(強相干光)提高輸出功率和效率是發展雷射器的重要課題。目前,氣體雷射器(如CO2)能產生最大的連續功率,固體雷射器能產生最高的脈衝功率,尤其是採用光腔Q調製技術和鐳射放大器後,可使鐳射振盪時間壓縮到極小的數值(例如10-9s量級),從而獲得極高的脈衝功率。進一步壓縮鐳射脈寬,還可採用鎖模技術,可使脈寬達到10-15秒。尤其重要的是鐳射功率(能量)可以集中在單一(或少數)模式中,因而具有極高的光子簡並度。這是區別普通光的重要特徵。

充分利用本節所描述雷射器的所有特性,即高單模功率,高單色性和方向性,可獲得極高的功率密度。例如,將一個千兆瓦級(109W)的調Q鐳射脈衝聚焦到直徑為5um的光斑上,則所獲得的功率密度可達1015W/cm2。這是普通光源根本無法達到的

第二章開放式光腔與高斯光束本章將討論光腔模式問題。模式問題在鐳射技術中具有重要的理論和實踐意義。它是理解鐳射的相干性、方向性、單色性等一系列重要特性,進行雷射器件的設計和裝調的基礎,也是研究和掌握鐳射本技術和應用的基礎。‘根據幾何偏折損耗的高低.開放式光腔可以分為穩定腔和非穩腔。穩定腔的幾何偏折損耗很低,絕大多數中、小功率器件都採用穩定腔。穩定腔的模式理論是腔模理論中比較成熟的部分。由於穩定腔應用廣泛,其模式理論具有最廣泛、最重要的實踐意義穩定腔模式理論是以共焦腔模的解析理論為基礎的。由解析理論得出,對方形鏡共焦腔,鏡面上的場分佈可用厄米—高斯函數表示.而對圓形鏡共焦腔,鏡面上的場由拉蓋爾—高斯函數描述。並且整個腔內(以及腔外)空間中的場都可以表示為厄米—高斯光束或拉蓋子爾---高斯光束的形式。據此,共焦腔振盪模的一系列基本持征都可以解析地表示出來。在高斯光束傳輸規律的基礎上,可以建立一般(非共焦的)穩定球面腔與共焦腔之間的等價性從而進一步將共焦腔模式解析理論的結果推廣到一般穩定球面腔,解決應用最廣的這一大類諧振腔的模式問題。

採用穩定腔的雷射器所發出的鐳射,將以高斯光束的形式在空間傳輸。因此,研究高斯光束在空間的傳輸規律.以及光學系統對高斯光束的變換規律,就成為鐳射的理論和實際應用中的重要問題。本章將討論最簡單和最基本的情形,即高斯光束在自由空間(以及均勻各向同性介質)中的傳輸和簡單透鏡(或球面反射鏡)系統對高斯光束的變換。

穩定腔雖有損耗低的優點,但它不適用於某些高功率雷射器。這些雷射器要實現高功率基橫模運轉,以便有盡可能高的輸出功率和盡可能好的光束品質。穩定腔內基橫模的模體積太小,且與反射鏡鏡面尺寸無關。這意味著增大啟動介質的橫向尺寸無助於雷射器輸出功率的提高.反而容易導致雷射器的多橫模運轉,降低輸出光束的品質。所以穩定腔無法運用於上述情形。非穩腔卻能同時滿足這兩個要求——高輸出功率和良好光束品質。非穩腔的損耗主要是傍軸光線的發散損耗,單程損耗很高,可達百分之幾十。為獲得高功率輸出,工作物質的橫向尺寸拄往較大,因此衍射損耗可以忽略,可以採用幾何光學的分析方法。幾何光學分析方法表明非穩腔曲線上僅存在一對共扼象點,非穩腔中的基模就是從這一對共扼象點發出的自再現球面被。運用幾何光學分析方法還可給非穩腔的損耗特徵及輸出光束特徵。2.1光腔理論的一般問題一光腔的構成和分類在啟動物質的兩端恰當地放置兩個反射鏡片,就構成一個最簡單的光學諧振腔。

在鐳射技術發展歷史上最早提出的是所謂平行平面腔,它由兩塊平行平面反射鏡組成。這種裝置在光學上稱為法布裏—珀羅干涉儀,簡記為F—P腔。隨著鐳射技術的發展,以後又廣泛採用由兩塊具有公共軸線的球面鏡構成的諧振腔,稱為共鈾球面腔,其中有一個反射鏡為(或兩個都為)平面的腔是這類腔的特例。從理論上分析這類腔時,通常認為其側面沒有光學邊界(這是一種理想化的處理方法).因此將這類諧振腔稱為開放式光學諧振腔,或簡稱開腔。根據光學幾何逸出損耗的高低,開腔通常又可分為穩定腔、非穩腔和臨界腔三類。氣體雷射器是採用開腔的典型例子。

固體雷射器的情形與此有所不同。由於固體鐳射材料通常都具有比較高的折射率(例如,紅寶石的折射率為1.76),在側壁磨光的情況下.那些與軸線交角不太大的光線將在側壁上發生全內反射。因此,如果腔的反射鏡緊貼著鐳射棒的兩端,則將形成類似於微波技術中所採用的“封閉腔。從理論上分析這類腔時,應將它們作為介質腔來處理。但是,通常的固體雷射器的鐳射棒與腔反射鏡往往是分離的,這時,如果棒的直徑遠比激射波長大,而棒的長度又遠比兩腔鏡之間的距離短,則這種腔的特性基本上與開腔類似。半導體雷射器是使用介質腔的典型例子,而且腔的橫向尺寸往往與波長可以比較,因此.這是一種真正的介質波導腔。

另一種光腔是所謂氣體波導鐳射諧振腔,其典型結構是在一段空心介質波導管兩端適當位置處放置兩塊適當曲率的反射鏡片。這樣,在空心介質波導管內,場服從波導管中的傳輸規律,而在波導管與腔境之間的空間中,場按與開腔中類似的規律傳播。這種腔與開腔的差別在於:波導管的孔徑往往較小(雖然通常仍遠比波長為大),以致不能忽略側面邊界的影響。幾種類型的光腔的典型結構如圖圖2.1.1所示,腔的大致分類如表表2.1。

由兩個以上的反射鏡構成諧振腔的情況也是常見的,折疊勝和環形腔就是這類諧振腔的例子。光學諧振腔的構成方式還很多,在由兩個或多個反射鏡構成的開腔內插入透鏡一類光學元件而構成複合腔就是一例。除了前面講過的端面回饋的諧振腔外,近年來又發展了分佈回饋式諧振腔,在半導體雷射器及集成光學中已採用這類諧振腔。諧振腔可以按不同的方法分類,如分為端面回饋腔與分佈回饋腔,球面腔與非球面腔.高損耗腔與低損耗強,駐波腔與行波腔,兩鏡腔與多鏡腔,簡單腔與複合腔等。在本書中,我們只討論由兩個球面鏡構成的開放式光學諧振降,因為它們是最簡單相最常用的。同時,折疊腔、環形腔、複合腔等比較複雜的開腔往往可以化為等效的兩鏡腔來處理。近年來,由於半導體雷射器及氣體波導雷射器的迅速進展與走向實用,介質波導腔與氣體空心波導腔在理論上以及實踐上都變得日益重要。二模的概念腔與模的一般聯繫無論是閉腔或是開腔,都將對腔內的電磁場施以一定的約束。一切被約束在空間有限範圍內的電磁場都將只能存在於一系列分立的本征狀態之中,場的每一個本征態將具有一定的振盪頻率和一定的空間分佈。在鐳射技術的術語中,通常將光學諧振腔內可能存在的電磁場的本征態稱為腔的模式。從光子的觀點來看,鐳射模式也就是腔內可能區分的光子的狀態。

腔內電磁場的本征態應由麥克斯韋方程組及腔的邊界條件決定。由於不同類型和結構的諧振腔邊界條件各不相同,因此諧振腔的模式也將各不相同。對閉腔一般可以通過直接求解麥克斯韋方程組來決定其模式,而尋求開膠模式的問題通常歸結為求解一定類型的積分方程。但不管是閉腔還是開腔.一旦給定了降的具體結構,則其中振盪模的特徵也就隨之確定下來,這就是腔與模的一般聯繫。實際上,光學諧振腔理論也就是鐳射模式理論。我們的目的是弄清楚鐳射模式的基本特徵及其與腔的結構之間的具體依賴關係。所謂模的基本特徵,主要指的是:每一個摸的電磁場分佈,特別是在腔的橫截面內的場分佈;模的諧振頻率;每一個模在腔內往返一次經受的相對功率損耗;與每一個模相對應的雷射光束的發散角。只要知道了腔的參數,就可以唯一地確定模的上述特徵。

在進入嚴格的模式理論以前,本節利用均勻平面波模型討論開腔中傍軸傳播模式的諧振條件,建立關於縱模頻率間隔的普遍表示式。這一表示式對各種類型的開腔甚至閉腔都基本上是正確的。

考察均勻平面波在F—P腔中沿軸線方向往返傳播的情形。當波在腔鏡上反射時,入射波和反射波將會發生干涉,多次往復反射時就會發生多光束干涉。為了能在腔內形成穩定振盪,要求波能因干涉而得到加強。發生相長干涉的條件是:波從某一點出發,經腔內往返一周再回到原來位置時,應與初始出發波同相(即相差為2л的整數倍)。如果以ΔΦ表示均勻平面波在腔內往返一周時的相位滯後,則相長干涉條件可以表為(2.1.1)式中λ0為光在真空中的波長,L’為腔的光學長度,q為整數。將滿足上式的波長以λ0q來標記,則有

(2.1.2)上式也可以用頻率vq=c/λ0q來表示:

(2.1.3)

上述討論表明:L’一定的諧振腔只對頻率滿足式(2.1.3)的光波才能提供正反蝕,使之諧振。式(2.1.2)、式(2.1.3)就是F—P腔中沿抽向傳播的平面波的諧振條件。滿足(2.1.2)式的λ0q稱為腔的諧振波長,而滿足式(2—1—3)的vq稱為腔的諧振頻率。該式表明.F—P腔中的諧振頻率是分立的。式(2—1—1)通常又稱為光腔的駐波條件,因為當光的波長和腔的光學長度滿足該關式時,將在腔內形成駐被。式(2—1—2)表明,達到諧振時,腔的光學長度應為半波長的整數倍。這正是腔內駐波的特徵。當整個光腔內充滿折射率為η的均勻物質時,有

(2.1.4)式中L為腔的幾何長度(簡稱腔長)。此時,式(2—1—2)可以寫成

L=qλq/2(2.1.5)式中/λq=λ0q/η為物質中的諧振波長(見圖圖2—1—2)。

可以將F—P腔中滿足式(2—1—3)的平面駐波場稱為腔的本征模式。其特點是:在腔的橫截面內場分佈是均勻的,而沿腔的軸線方向(縱向)形成駐波,駐波的波節數由q決定。通常將由整數q所表徵的腔內縱向場分佈稱為強的縱模。不同的q值相應於不同的縱摸。在這裏所討論的簡化模型中,縱摸q單值地決定摸的諧振頻率。

腔的相鄰兩個縱模的頻率之差Δvq稱為縱摸間隔。由式(2—1—3)得出

(2.1.16)可以看出,Δvq與q無關,對一定的光腔為一常數,因而腔的縱摸在頻率尺度上是等距離排列的,如圖圖2—1—3所示。其形狀象一把梳子,常常稱為“頗率梳”.圖中每一個縱模均以具有一定寬度Δvc的譜線表示。

對L=10cm的氣體雷射器(設η=1),由式(2—1—6)得出

Δvq=1.5×109Hz對L=100cm的氣體雷射器

Δvq=1.5×108Hz對L=10cm、η=1.76的紅寶石雷射器

Δvq=8.5×108Hz上述例子給出了縱模間隔的數量概念。腔長L越小,縱模間隔越大。

應該指出,微波諧振腔的尺寸通常與工作波長具有相同的數量級,在腔中往往只激發最低階的本征模式(在微波技術中又稱為波形);而光頻諧振腔的尺寸一般遠遠大於波長,因而總是工作在極高次的諧波上,即式(2—1—2)和式(2—1—3)中的整數q通常為一個大的整數,一般具有104~105的數量級。

三,光腔的損耗損耗的大小是評價諧振腔的一個重要指標,也是腔模理論的重要研究課題。光學的損耗大致包括如下幾個方面:

(1)幾何偏拆損耗。光線在腔內往返傳播時,可能從腔的側面偏折出去,這種損耗為幾何偏折損耗。其大小首先取決於腔的類型和幾何尺寸。例如,穩定腔內傍抽光線的幾何損托應為各零,非穩腔則有較高的幾何損耗。以非穩腔而論,不同幾何尺寸的非穩腔其損耗大小亦各不相同。其次,幾何損耗的高低依模式的不同而異。比如同一平行平面腔內的高階橫模由於其傳播方向與鈾的夾角較大,因而其幾何損耗也比低階橫模為大。

(2)衍射損耗。由於腔的反射鏡片通常具有有限大小的孔徑,因而當光在鏡面上發生衍射時,必將造成一部分能量損失。本節以及本書後面幾章的分析表明,

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