线性代数23逆矩阵

第3节逆矩阵(inversematrix)3.1逆矩阵的定义3.2方矩阵可逆的充分必要条件3.3可逆矩阵的性质3.4用逆矩阵求解线性方程组下页3.6伴随矩阵的常用性质3.5用逆矩阵求解矩阵方程3.1逆矩阵的概念解方程组解：将其写成矩阵方程两边都左乘矩阵F得从而得方程组的解:下页那么,F矩阵是怎么得到的呢？第3节逆矩阵1.逆矩阵概念的引入

定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB

BA

E，那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.2.可逆矩阵的定义这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，那么有

AB=BA=E，AB1=B1A=E

于是B=B1.=EB1=(BA)B1=B(AB1)=BE如果矩阵A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性下页

A的逆矩阵记为A

1.即假设ABBAE，那么BA1.定义1对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB

BA

E，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.2.可逆矩阵的定义定理1如果矩阵A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的.由于A，B位置对称，故A，B互逆，即B

A

1，A

B

1.如可以验证，

下页则矩阵即为的可逆矩阵或逆阵.在数的运算中，当数时，有其中为a的倒数，

（或称a的逆）；

在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A,

如果存在一个矩阵A-1,使得比较—逆矩阵与倒数例1设解设是的逆矩阵,那么利用待定系数法所以例1设又因为3.2方阵可逆的充分必要条件A11A21

An1A12A22

An2A1nA2n

Ann

定义2由矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*.即a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A=的代数余子式构成的矩阵

A11A21

An1A12A22

An2A1nA2n

Ann

A*

=下页3.伴随矩阵特别注意A*的元素排列顺序例1.

求

的伴随矩阵A*.

解:同理A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴随矩阵

A11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为

，下页

定理2

n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|

0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.所以|A|

0，即A为非奇异.设A可逆，故|A|·|A

1|

|E|

1，使AA

1

E

,即有A

1，

证：必要性.=—A*，1|A|A-1定义3对于n阶矩阵A，假设行列式|A|=0，那么称A是奇异的(或降秩的或退化的)，否那么称A为非奇异的(或满秩的或非退化的).下页5.方阵可逆的充分必要条件4.(非)奇异矩阵a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A11A21

An1A12A22

An2A1nA2n

Ann

AA*==|A|E|A|000|A|0

00|A|

=充分性.

定理2

n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|

0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.

证：=—A*，1|A|A-1设A非奇异，B=—A*1|A|取=A(—A*)1|A|那么有AB=—AA*1|A|注意：=

—

|A|E1|A|=E.同理可证BA=E.因此A可逆，=—A*.1|A|且A-1(即AB=E.)下页

=—A*.1|A|A-1

矩阵A可逆

|A|

0；

例2．求矩阵A=的逆矩阵.2-311200-512-311200-51解:

因为=2

0，

所以A可逆.

又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*=107-5-2-2221-1=，所以=—A*1|A|=—12A-1107-5-2-2221-157/2-5/2-1-1111/2-1/2=

.|A|=下页讨论：

(1)如何求二阶矩阵A=的逆矩阵。a11a21a12a22提示：A*=A11A12A21A22a22-a21-a12a11=，=a11a22-a12a21，a11a21a12a22|A|==—A*1|A|A-1a22-a21-a12a11=—————.1a11a22-a12a21下页(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。

(1)

(2)推论设A，B都是n阶矩阵，假设AB=E，那么必有BA=E；

这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要验证一个等式AB=E或BA=E即可.假设BA=E，那么必有AB=E.例3．设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵，并求A-1(a,b,c为常数，且c

0)

.又因c

0，故有

aA2+bA=-cE，

解:由aA2+bA+cE=O，有

-c-1(aA2+bA)=E，即-c-1(aA+bE)A=E，因此A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE.下页思考思考例4.

设三阶矩阵A,B满足关系式，且求矩阵

B.解:

由于A可逆，

将等式

两端右乘

有

，整理得

,于是

故

，下页练习解:1.由A2-A-2E=O，得所以A-E可逆，正确选项为③．

2.由ABC＝E,可得BC为A的逆阵，所以BCA＝E,正确选项为④．1、设n阶矩阵A满足A2-A-2E＝O，那么必有()．①A=2E；②A=-E；③A-E可逆；④A不可逆．2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，那么()．①ACB=E；②CBA=E；③BAC=E；④BCA=E．下页3.3可逆矩阵的性质(3)假设A、B为同阶可逆矩阵，那么AB亦可逆，且(AB)1B1A1.证明:因为

(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E所以(AB)

1

B

1A

1.(2)假设A可逆，数l0，那么lA可逆，且(lA)

1

l

1A

1.(1)假设A可逆，那么A1也可逆，且(A

1)

1

A.(4)假设A可逆，那么AT也可逆，且(AT

)

1

(A

1)T

.证明:因为

AT(A-1)T

=(A-1A)T=ET=E，所以(AT

)

1

(A

1)T

.(5)|A

1|=|A|

1.下页特别注意:A，B可逆，A+B未必可逆.

即使A+B可逆，但一般地

例如显然A、B可逆，

但因为|A+B|=0,故A+B不可逆.当A=B时，，而不是

下页线性方程组

的矩阵形式为

其中

当|A|≠0时，A-1存在，AX=b两边左乘A-1，得X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式.

下页3.4用逆矩阵求解线性方程组例5.

利用逆矩阵求解方程组

解:

将方程组写成矩阵形式

计算得

，故A可逆.

因而有

，即

下页A-1=，31-3-2-15/211-3/2132242331

例6．设A=，B=，C=.5231132310

求矩阵X使AXB

C.

-532-1B-1=，解:X=31-3-2-15/211-3/2132310-532-1-2-101014-4=.下页X

A-1CB-1

为什么？3.5用逆矩阵求解矩阵方程132242331例6．设A=，B=，C=。5231132310求矩阵X使AXB

C。

解：

X

A-1CB-1

-2-101014-4=。注：求解矩阵方程下页

1.AA＊＝A＊A＝|A|E;3.假设|A|≠0,那么|A*|=|