第12章 全等三角形【培优卷】（解析版）

全等三角形培优一、单选题1.(3分)如图，若BC=EC，∠BCE=∠ACD，则添加不能使△ABC≌△DBC的条件是（

）A.

AB=DE

B.

∠B=∠E

C.

AC=DC

D.

∠A=∠D【答案】A【考点】三角形全等的判定【解析】【解答】解：∵∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠ACB=∠DCE，A、根据BC=CE，AB=DE，∠ACB=∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本选项正确；B、因为∠ACB=∠DCE，∠B=∠E，BC=CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；C、因为BC=CE，∠ACB=∠DCE，AC=CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；D、因为∠A=∠D，∠ACB=∠DCE，BC=CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；故答案为：A．【分析】已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，再可以添加角，也可以添加边，边的话只能添加AC=DC，角的话另两组角随便添加即可。2.(3分)如图,某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块,现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃,最省事的方法是()A.

带①和②去

B.

只带②去

C.

只带③去

D.

都带去【答案】C【考点】三角形全等的判定（ASA）【解析】【解答】解：①仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形；

②仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形；

③不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定.故C选项正确.

故答案为：C.

【分析】首先确定①②③的玻璃片中含有原三角形的哪些条件，然后根据这三小块玻璃中的条件，利用全等三角形的判定方法进行解答即可.3.(3分)如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AE＝AF；④∠ADE＝∠ADF，其中正确结论的个数有（

）A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质【解析】【解答】∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵AD=AD∴Rt△ADE≌Rt△ADF，（HL）∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF.故①③④正确;∵只有等腰三角形顶角的平分线才是底边的中线，∴②错误.故答案为：C.【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，用HL定理可证△ADF≌△ADE，由全等三角形的性质可得AE=AF，∠ADE=∠ADF.4.(3分)下列说法正确的是（

）A.

五边形的内角和是720°

B.

有两边相等的两个直角三角形全等

C.

若关于x的方程mx−2=1−xx−2有增根，则m=1

D.

若关于x的不等式x+5<2a【答案】D【考点】分式方程的增根，一元一次不等式的特殊解，直角三角形全等的判定，多边形内角与外角【解析】【解答】五边形的内角和=(5−2)⋅180°=540，所以，A错误；B选项所述相等的两边中，可能出现一个直角三角形的直角边和另一个三角形的斜边相等的情形，这种情况下两三角形不全等，所以，B错误；选项C中的方程mx−2=1−xx−2的增根只能是x=2，且x=2应是整式方程m=1−x故答案为：D.

【分析】A、根据多边形的内角和（n-2）·180°进行计算，然后判断即可.

B、斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，据此判断即可.

C、根据分式方程的增根定义，求出m的值，然后判断即可.

D、先求出不等式的解集，根据恰有2个正整数解，求出a的范围，从而求出a的最大值.5.(3分)如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（

）A.

∠ADB＝∠ADC

B.

∠B＝∠C

C.

AB＝AC

D.

DB＝DC【答案】D【考点】三角形全等的判定【解析】【解答】A符合题意；理由：在△ABD和△ACD中，∵∠1=∠2，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA）；B符合题意；理由：在△ABD和△ACD中，∵∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD∴△ABD≌△ACD（AAS）；C符合题意；理由：在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）；D不符合题意，由这些条件不能判定三角形全等；故答案为：D．【分析】由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD≌△ACD，得出A符合题意；由全等三角形的判定方法AAS证出△ABD≌△ACD，得出B符合题意；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD≌△ACD，得出C符合题意．由全等三角形的判定方法得出D不符合题意；6.(3分)如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=10，AC=8，则S△ABD：S△ADC=（）A.

1：1

B.

4：5

C.

5：4

D.

16：25【答案】C【考点】角平分线的性质【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF，∴S△ABD：S△ADC=12AB•DE：12∵AB=10，AC=8，∴S△ABD：S△ADC=10：8=5：4．故选C．【分析】过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再根据等高的三角形的面积等于底边的比解答．7.(3分)已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（

）A.

∠1=∠2

B.

∠A=∠2

C.

△ABC≌△CED

D.

∠A与∠D互为余角【答案】A【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=∠E=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，∵AC=CD，∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确，∴∠A=∠2，故B正确，∴∠A+∠D=90°，故D正确，∴A选项错误；故答案为：A.【分析】根据垂直的定义可得∠1+∠2=90°，∠2+∠D=90°，据此判断A；根据同角的余角相等，可得∠1=∠D，根据AAS可证△ABC≌△CED，可得∠A=∠2，从而可得∠A+∠D=90°据此判断B，C，D；8.(3分)已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为（）秒时．△ABP和△DCE全等．A.

1

B.

1或3

C.

1或7

D.

3或7【答案】C【考点】三角形全等的判定【解析】【解答】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16﹣2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16﹣2t=2即可求得．9.(3分)如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别是AB，AC上的点，且DF=DG，△ADG与△DEF的面积分别是10和3，则△ADF的面积是（

）A.

4

B.

5

C.

6

D.

7【答案】A【考点】三角形的面积，直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，{DE＝DGDF＝DH∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH=3，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH=S△ADG∴S△AED=S△ADF−故答案为：A.【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.10.(3分)如图，已知直线AB：y＝553x+A.

(0,552)

B.

（0，5）

C.

（0，4）

D.

(0,55【答案】C【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定【解析】【解答】解：由题意A（0，55），B（0﹣3，0），C（3，0），∴AB＝AC＝8，取点F（3，8），连接CF，EF，BF．∵C（3，0），∴CF∥OA，∴∠ECF＝∠CAO，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠CAO＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ECF，∵CF＝AB＝8，AD＝EC，∴△ECF≌△DAB（SAS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF，∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值为线段BF的长，∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，∵直线BF的解析式为：y＝43x+4，∴H（0，4），∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），故答案为：C．

【分析】根据题意，首先证明AB=AC=8，取点F（3,8），证明得到△ECF≌△DAB，即可得到BD=EF，即BD+BE的最小值为BF的长度，得到答案即可。二、填空题11.(4分)如图，∠1+∠2+∠3+∠4=________度．【答案】360【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：如图：连接AC

∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，

∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，

即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．

故答案为:360.

【分析】连接∠2和∠4的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．12.(4分)已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠C=75°则∠E=________°【答案】25°【考点】三角形内角和定理，三角形全等及其性质【解析】【解答】∵△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠C=75°，∴∠D=∠A=80°，∠F=∠C=75°，∴∠E=180°-∠D-∠F=25°．【分析】根据△ABC≌△DEF，可得∠D=∠A，∠F=∠C，则∠E=180°-∠D-∠F可求解。13.(4分)如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E.若AB=10cm，则ΔADE的周长为________cm.【答案】10【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定【解析】【解答】∵BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，∴∠DBE=∠DBC，∠BED=∠C=90°，BD=BD，∴△BDE≌△BDC（AAS），∴DE=DC，BE=BC，∴△ADE的周长=DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB=10cm．故答案为：10.【分析】依题意可证△BDE≌△BDC，则有DE=DC，BE=BC，故DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB，再根据AB长即可得出结论．14.(4分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=3，则BC=________．【答案】33【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=3，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=23，∴BC=CD+BD=3+23=33．故答案为：33．【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．15.(4分)如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=35°，则∠BAD=________°．【答案】35【考点】三角形全等及其性质【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD=∠EAC，∵∠EAC=35°，∴∠BAD=35°，故答案为：35．【分析】根据全等三角形性质得出∠BAC=∠DAE，求出∠BAD=∠EAC，代入求出即可．16.(4分)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=________．【答案】120°【考点】三角形全等及其性质【解析】【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=120°，故答案为：120°．【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．17.(4分)如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．若∠En＝1度，那∠BEC等于________度。【答案】2n【考点】角平分线的性质，探索数与式的规律，探索图形规律【解析】【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝12∠ABE+12∠DCE＝1∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝12∠ABE1+12∠DCE1＝12∠CE1B＝如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝12∠ABE2+12∠DCE2＝12∠CE2B＝…以此类推，∠En＝12n∴当∠En＝1度时，∠BEC等于2n度．故答案为：2n．

【分析】根据平行线的性质结合角平分线的性质，计算得到规律，利用规律求出答案即可。18.(4分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．【答案】4或6【考点】三角形全等及其性质【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16

∴BP=4t，PPC=（16-4t）

又∵AB=AC=24，点D为AB的中点

∴BD=12AB=12

∵∠B=∠C

∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况

①当△BPD≌△CQP时，

则有BD=CP，BP=CQ

即12=16-4t，4t=xt

即t=1

∴由4t=xt可知，x=4

②当△BPD≌△CPQ时，

则有BD=CQ，BP=CP

即12=xt，4t=16-4t

∴t=2，x=6

【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。三、解答题19.(7分)已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D在∠BAC的平分线上．【答案】证明：在△BDE和△CDF中，∵{∠BED=∠CFD=90∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE=DF，又∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴D在∠BAC的平分线上【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质【解析】【分析】首先根据已知条件易证△BDE≌△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上．20.(7分)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．【答案】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°，∵AE=BF，∴AF=BE，在△DEB和△CFA中，{DE=CF∠DEB=∠AFC△DEB≌△CFA，∴∠A=∠B，∴AC∥DB．【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．21.(8分)如图1，已知点D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为BC的中点

（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．

（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．

（3）将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立？说明理由．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，

∵点M为BC的中点，

∴BM=12EC，DM=12EC，

∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，

∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，

∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，

同理∠DME=2∠ACM，

∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°

∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）解：如图2，△BDM是等腰直角三角形，

理由是：延长ED交AC于F，

∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠EAD=45°，

∵AD⊥ED，

∴ED=DF，

∵M为EC中点，

∴EM=MC，

∴DM=12FC，DM∥FC，

∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，

∵ED⊥AB，BC⊥AB，

∴ED∥BC，

∴∠DEM=NCM，

在△EDM和△CNM中

∠DEM=∠NCMEM=CM∠EMD=∠CMN

∴△EDM≌△CNM（ASA），

∴DM=MN，

∴BM⊥DN，

∴△BMD是等腰直角三角形．

（3）解：△BDM是等腰直角三角形，

理由是：如图：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，

可证得△MDE≌△MFC，

∴DM=FM，DE=FC，

∴AD=ED=FC，

作AN⊥EC于点N，

由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，

可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，

∵CF∥ED，

∴∠DEN=∠FCM，

∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，

∴△BCF≌△BAD，

∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，

∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∵点M是DF的中点，【考点】全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可．

（2）延长ED交AC于F，求出DM=12FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根据ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可．

（3）过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于点N，证△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案．22.(9分)如图，已知在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连结BD、CE相交于点O，连结AO，∠1=∠2，求证：∠B=∠C.【答案】证明：在△AEO与△ADO中，AE=AD，∠BAO=∠CAO，OA=OA，∴△AEO≌△ADO（SAS）；∴OE=OD，∠AEO=∠ADO，∴∠BEO=∠CDO，在△BEO与△CDO中，∠BEO=∠CDO，OE=OD，∠BOE=∠COD，∴△BEO≌△CDO（ASA），∴∠B=∠C.【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】先根据“SAS”可证△AE