新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业7 二次函数与幂函数（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业7二次函数与幂函数一、选择题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是(D)A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，所以y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2)).故选D.2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)(A)A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B．在(－∞，3)上递增C．在[1,3]上递增D．单调性不能确定解析：由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(D)解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f(0)＝c<0，所以排除B，故选D.4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(A)A．1 B．0C．－1 D．2解析：f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.5．(多选题)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，则m的值可能是(ABC)A．2B．3C．4D．5解析：函数y＝x2－4x－4的部分图象如图，f(0)＝f(4)＝－4，f(2)＝－8.因为函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，所以m的取值范围是[2,4]，故选ABC.6．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－eq\r(2))，f(eq\r(3))的大小关系为(B)A．f(eq\r(3))>f(－eq\r(2))>f(－1)B．f(eq\r(3))<f(－eq\r(2))<f(－1)C．f(－eq\r(2))<f(eq\r(3))<f(－1)D．f(－1)<f(eq\r(3))<f(－eq\r(2))解析：因为f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，所以m＝0，即f(x)＝－x2＋3，f(x)在[0，＋∞)上为减函数，又f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))，f(－1)＝f(1)且1<eq\r(2)<eq\r(3)，所以f(1)>f(eq\r(2))>f(eq\r(3))，即f(eq\r(3))<f(－eq\r(2))<f(－1)．故选B.7．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(A)A．{0，－3}B．[－3,0]C．(－∞，－3]∪[0，＋∞)D．{0,3}解析：由题意知，对于方程f(x)＝0，Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3×(m＋3)＝0，解得m＝－3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，－3}，故选A.二、填空题8．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝eq\r(2)－1.解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\r(x)，所以f(2)－f(1)＝eq\r(2)－1.9．设α∈{eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，－1，－2,3}，若f(x)＝xα为偶函数，则α＝－2.解析：由题可知，当α＝－2时，f(x)＝x－2，满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数；当α＝eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，－1,3时，不满足f(－x)＝f(x)，故α＝－2.10．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，49))，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是f(x)＝－4x2－12x＋40.解析：设f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49(a≠0)，方程aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－3，x1x2＝eq\f(9,4)＋eq\f(49,a)，则|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(－\f(49,a))＝7，得a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.11．设函数f(x)＝mx2－x－eq\f(3,2)，若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，则m的取值范围是m<－eq\f(1,6).解析：若m＝0，则显然不成立；若m≠0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,1－4m×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<0，))解得m<－eq\f(1,6).三、解答题12．已知奇函数y＝f(x)的定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x)．(1)求出函数y＝f(x)的解析式；(2)写出函数y＝f(x)的单调递增区间．(不用证明，只需直接写出递增区间即可)解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－x(1＋x)．又因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．综上f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，x≥0，,x1＋x，x<0.))(2)函数y＝f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).13．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数k的取值范围．解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，a>0，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋eq\f(h,a)，∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(－\f(4h,a))＝2，解得a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.∴g(x)图象的对称轴方程为x＝eq\f(k－2,2)，则eq\f(k－2,2)≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．14．若0<b<a<1，则在ab，ba，aa，bb中最大值是(C)A．ba B．aaC．ab D．bb解析：∵0<b<a<1，∴y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab>aa，ba<bb，又∵y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb.故在ab，ba，aa，bb中最大值是ab，故选C.15．(多选题)设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出如下命题，其中正确的是(ABC)A．c＝0时，y＝f(x)是奇函数B．b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根C．y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称D．方程f(x)＝0最多有两个实根解析：由题意，当c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，此时f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，A正确；当b＝0，c>0时，f(x)＝x|x|＋c，若x≥0，f(x)＝0无解，若x<0，f(x)＝0有一解x＝－eq\r(c)，所以B正确；∵g(x)＝x|x|＋bx为奇函数，图象关于(0,0)对称，∴f(x)＝x|x|＋bx＋c图象可能情况如图：关于(0，c)对称，可得C正确，D不正确．故选ABC.16．对于函数f(x)＝ax2＋(1＋b)x＋b－1(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)＝mx0成立，则称x0为f(x)关于参数m的不动点．(1)若a＝1，b＝－2时，求f(x)关于参数1的不动点；(2)若对于任意实数b，函数f(x)恒有关于参数1的两个不动点，求a的取值范围；(3)当a＝1，b＝2时，函数f(x)在(0,2]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意得x2－x－3＝x，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，故当a＝1，b＝－2时，f(x)关于参数1的两个不动点为－1和3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有关于参数1的两个不动点，∴ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个不等实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立，于是Δ′＝(－4a)2－16a<0，解得0<a<1，故当b∈R且f(x)恒有关于参数1的两个不动点时，0<a<1.(3)由已知得x2＋3x＋1＝mx在x∈(0,