巧用“等时圆”解物理问题(龚)

龙文教育学科导学案教师:肖武培学生:年级:日期:2023.星期:时段:::00—:00学情分析课题巧用“等时圆〞解物理问题学习目标与考点分析学习目标：考点分析：学习重点学习方法讲练说相结合学习内容与过程[知识提要]“等时圆〞模型的根本规律及应用图2图1如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环〔图中未画出〕，三个滑环分别从a、b、c处释放〔初速为0〕，用t1、t2、t3图2图1A.t1<t2<t3B.t1>t2>t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如下图，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，①再由几何关系，细杆长度②设下滑时间为，那么③由以上三式得，可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：假设将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t＝2eq\r(\f(R,g))(如图甲所示)．(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t＝2eq\r(\f(R,g))(如图乙所示)．象这样的竖直圆我们简称为“等时圆〞。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：图a图b等时圆模型〔如下图〕图a图b二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。〔如图a〕2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。〔如图b〕3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径〔〕自由落体的时间，即〔式中R为圆的半径。〕三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为〔如右图〕。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律：AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，A点为圆周的最高点，D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环〔图中未画出〕，三个滑环分别从A处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关.推导：设圆环沿细杆AB滑下，过B点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为θ，如图2所示，连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsinθ，由几何关系有AB=x=2Rsinθ，由运动学公式有x=12at2，解得：环的运动时间t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的.说明1如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，由运动学公式有2Rsinθ=12〔gsinθ—μgcosθ〕t2，解得t=2Rsinθgsinθ—μgcosθ=2Rg—μgcotθ，θ增大，时间t减小，规律不成立.二、“等时圆〞的应用,巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比拟、计算等问题可考虑用等时圆模型求解．图图3A可直接观察出的“等时圆〞例1：如图3，通过空间任一点A可作无限多个斜面，假设将假设干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是〔〕A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【变式训练1】如下图，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于t1和t2，那么t1和t2之比为()A．2∶1

B．1∶1C.3∶1

D．1∶2例4：圆O1和圆O2相切于点P，O1、O2的连线为一竖直线，如图8所示。过点P有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，那么t1、t2的关系是〔〕A.t1>t2B.t1=t2C.t1<t2D.无法判断ABCDM图4图8例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点〔DM远小于CM〕。在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从DABCDM图4图8A、a球最先到达M点B、b球最先到达M点C、c球最先到达M点D、d球最先到达M点例题：三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点？图5例2：两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两局部组成，如图5所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？图5图11图12变式训练2：在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高OA也是10cm。杆的上端A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体〔如图11〕从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间〔g=10m/s2图11图12AOBC30°图1【例1】倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在C点竖直地固定一长10m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球〔视为质点〕，将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，那么小球在钢绳上滑行的时间tAC和AOBC30°图1A．2s和2sB．和2sC．和4sD．4s和ABPHhOABPHhO图5例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离。例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。例2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆AB，如下图，BD为水平地面，ABD三点在同一竖直平面内，且连线AC=BC=0.1m一小球套在杆上自A端滑到B端的时间为：〔〕OABLLD图2OABLLD图24、如图4所示，在离坡底15m的山坡上竖直固定一长15m的直杆AO，A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间t。.图4例5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线局部AE滑行的时间．技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有AD＝DE＝10m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10m/s2，那么滑行者在滑道AE上滑行的时间为()A.sB．2sC.s D．2s例4、如下图，圆弧AB是半径为R的eq\f(1,4)圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下．不计小物体在B点的能量损失，小物体与水平面BC间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率．图7例3：如图7，一质点自倾角为的斜面上方的定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，为使质点从O点滑到斜面的时间最短，那么斜槽与竖直方向的夹角应为多大？图7例4：如图7，AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为防止粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道〔假使光滑〕，使原料从P处以最短的时间到达输送带上，那么管道与竖直方向的夹角应为多大？M•Pθα图7【例4】如图7所示，在同一竖直平面内，从定点P到固定斜面(倾角为θ)搭建一条光滑轨道PMM•Pθα图7图1“形似质异〞问题的区分图1【例1】还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放〔初速为0〕到达圆环底部的时间还等不等？AθB图7PcbadOefg图4aObcd图3【例2】如图3所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，cAθB图7PcbadOefg图4aObcd图3A．B．C．D.C图5D例3：如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成的光滑杆、、，每根杆上套着一个小球〔图中未画出〕。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为、、，那么〔〕C图5DABCD无法确定四、比拟应用等时圆模型解典型例题图9例题1：如图9，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？图92.有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是600，450和300，这些轨道交于O点．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是〔〕A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达C.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后θaObc3、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端那么搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。假设有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑〔忽略阻力〕，那么θaObcA、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点图3例3：如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度〔2l〕一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？图3OOPMdαθ图13【例6】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图13所示，=d＜R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置〔用OM与水平面的夹角α的三角函数表达〕。。【例5】如图10所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点P，到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。••PHL图10本次课后作业学生对