无刻度直尺网格作图的基本模型及应用

无刻度直尺网格作图的基本模型及应用《义务教育数学课程标准（2022年版）》对尺规作图的内容及要求有所加强，其地位又得到了一定提升。尺规作图蕴含丰富的推理，是发展学生推理能力的良好载体，而“无刻度直尺网格作图”是尺规作图的基础。本文将在9×9的网格下讨论三种基本模型和四种复合模型。在网格作图中，我们把两条相交直线叫做格点的“母线”。若两条母线都是网格线，则交点叫格点；若两条母线中只有一条网格线，则交点叫次格点；若两条母线都不是网格线，则交点叫一般点。我们要过一个点作一条线的平行线或垂线，当点是格点时，我们很轻松的通过平移完成，当点不是格点时，我们通常通过平移“生成”点的母线来完成。一、基本作图1、过点作平行线①如图1，过C点作CD平行且等于AB解答：C是格点，只需要找到C的对应点D，因A到B的平移方式是横左2纵下3，则A到B的平移方式也是横左2纵下3。总结：若点是格点，直接通过平移到对应点，并且平移横纵不变（下文中平移方式不变就不再强调）。②如图2，过E点作EF平行且等于AB解答：E是次格点，先找到母线AC的对应母线BD，再找到E的对应点F。总结：若点是次格点，先通过平移非网格线的那条母线到对应母线，再找到对应点。③如图3，过E点作EF平行且等于AB解答：E是一般点，先找到两条母线的对应母线，再找到E的对应点F。总结：若点是一般点，先通过平移两条母线到对应母线，再找到对应点。变式：如图4，过E点作AB的平行线交BC于点F解答：我们除了用平移的方法作平行线，还可以利用X、A型相似作平行。因为E是AC的一个三等分点，可以先连接BC，再利用相似找BC对应的三等分点F。2、过点作垂线①如图5，过C点作CD垂直且等于AB解答：C是格点，只需要找到C的对应点D，因A到B的平移方式是横左2纵下3，则C到D的平移方式是横左3纵上2。总结：若点是格点，直接通过旋转得到对应点，并且旋转横纵交换。②如图6，过E点作EF垂直且等于AB解答：E是次格点，先过A点作AB的垂线AC（横纵交换），再过次格点E点作AC的平行线EF。总结：若点是次格点，先过任意一个格点（通常选择直线的一个端点）作已知线的垂线，再过次格点作垂线的平行线，就转化为基本模型一。③如图7，过E点作EF垂直且等于AB解答：E是一般点，先过A点作AB的垂线AC（横纵交换），再过一般点E点作AC的平行线EF。总结：若点是一般点，先过任意一个格点（通常选择直线的一个端点）作已知线的垂线，再过一般点作垂线的平行线，就转化为基本模型一。3、作线段的分点对于作线段分点问题我们通常是构造相似，若构造X型相似三角形，则两格点方向相反；若构造A型相似三角形，则两格点方向相同。下面我们都以X型相似为例。如图8，在线段AB上找一点P,使AP:BP=4:3；解答：点A下4格记为点C，点B上3格记作点D,连接CD与AB的交点便是分点P。如图9，在线段AB上找一点P,使AP:AB=4:9；解答：由AP:AB=4:9得上：全=4:9，所以上：下=4:5。点A下4格记为点C，点B上5格记作点D,连接CD与AB的交点便是分点P。如图10，在线段AB上找一点P,使AP:BP=11:6。解答：同图8在点A下6格找出点C，点B上11格找出点D,连接CD与AB的交点便是分点P，但事实上是点B上11格已超出网格，所以把比的前项和后项都缩小3倍，变为AP:BP=:2。现在将点A下2格记为点C，点B上格记作点D，连接CD与AB的交点便是分点P。这里用到了A型相似作长度为的线段。二、复合作图4、作线段的中垂线如图11，作线段AB的中垂线方法一：⑴过线段AB的其中一个端点A作AB的垂线AC；⑵找出线段AB的中点M；⑶过点M作AC的平行线。（转化为基本模型一）方法二：⑴以AB为边构造正方形；⑵连接两条对角线,交点记作N；⑶找出线段AB的中点M；⑷MN便是线段AB的中垂线。（利用正方形的性质）5、作角平分线如图12，作∠ABC的角平分线方法一：⑴构造等腰三角形ABD；⑵找出底边AD的中点E；⑶连接BE便平分∠ABC。（利用等腰三角形三线合一）方法二：⑴以AB为边构造菱形ABDE；⑵连接BE便平分∠ABC。（利用菱形对角线平分对角的性质）6、作对称点如图13，作点M关于直线AB的对称点N解答：⑴过M点作AB的垂线；⑵若垂足是格点则直接倍长至N点；若垂足不是格点，则在对称轴上任取一格点，通常取端点A，连接MA并倍长至C点；⑶过C点作对称轴AB的平行线交对称轴的垂线于N点。7、三角函数问题如图14，在BC上作点E使得tan∠EAB=。解答：⑴将线段AB绕着B点旋转90°到BD；⑵作BD的分点F使得BF:DF=3:4（转化为的基本模型三），此时BF:BD=3:7