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线性代数第四章

向量组的线性相关性１．解向量的概念设有齐次线性方程组假设记〔1〕一、齐次线性方程组解的性质那么上述方程组〔1〕可写成向量方程假设为方程的解，则

称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．证毕.１．根底解系的定义二、根底解系及其求法２．线性方程组根底解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.

所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的根底解系．３．若是的基础解系，则其通解为

定理1例1求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其根底解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个根底解系为故原方程组的通解为例3证证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法〔1〕应用克莱姆法那么〔2〕利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵〔数表〕中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例4求解方程组解解例5求下述方程组的解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组求根底解系令依次得求特解所以方程组的通解为故得根底解系另一种解法那么原方程组等价于方程组所以方程组的通解为１．齐次线性方程组根底解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．故

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