第三章 时间序列平滑预测法xin

3.1时间序列的构成3.2移动平均法3.3指数平滑法3.4自适应过滤法3时间序列平滑预测法回总目录本章主要介绍的预测方法有移动平均法、指数平滑法及自适应过滤法。这些方法既可用于宏观预测,也可用于微观预测,预测期限主要为短、中期,不适于有拐点的长期预测。利用时间序列平滑预测法进行经济预测所依据的根本假定是:经济变量过去的开展变化规律,在未发生质变的情况下,可以被延伸到未来时期。当预测期与观测期的经济环境根本相同时,这一假定可以被接受。时间序列的一般表达式：时间序列的概念和变化规律

一、时间序列的概念定义

时间序列是一组由社会经济、自然现象的数量指标按一定时间间隔依次排列的统计数据。

时序分析——就是研究分析这些统计数据随时间变化的规律时间序列的理论根底时间序列平滑预测的理论根底是预测的“连贯性〞原理，假定预测对象变化开展遵从过去的变化规律，据此而推断未来开展趋势或者结果。时间序列平滑与时序曲线〔规律〕1) 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2) 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两局部组成3) 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式时间序列含义：时间序列及其分解1.时间序列的分解及其假定模型2.时间序列的分类1〕时间序列的构成要素时间序列的分解及其假定模型时间序列的变动规律构成特定的时间序列变化规律由四局部构成趋势变动〔Xt〕在长时间范围内，时序序列稳定变化局部，表现为稳定上升〔单调增〕，稳定下降〔单调降〕或平稳为一水平线。周期变动〔St〕有一定规律的振荡〔波动〕局部，即振荡〔波动〕周期是恒定的，记为T＝T0循环变动〔Ct〕性质上属于振荡局部，但与上者区别在于波动不规那么，即周期是变化的:T=T(t)随机变动〔〕除上述三种变动外，还存在突发的，难以控制的原因引发的变动趋势、季节、周期、随机性趋势(trend)呈现出某种持续向上或持续下降的状态或规律季节性(seasonality)也称季节变动(Seasonalfluctuation)时间序列在一年内重复出现的周期性波动周期性(cyclity)也称循环波动(Cyclicalfluctuation)围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动随机性(random)也称不规那么波动(Irregularvariations)除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动变动图形与模型

Xtt趋势变动Stt季节变动TCtt循环变动t随机变动时间序列的构成因素影响经济变量的时间序列变动的因素很多,有些因素属于根本性因素,它对时间序列的变动起决定性作用,会使时间序列变动呈现出一定的规律性;有些因素属于偶然因素,对时间序列变动只起局部的非决定性作用,使时间序列呈现出不规那么波动。为了研究经济变量的开展变化规律,并据此预测未来,需要将这些影响因素加以分解,分别进行测定。在具体分析中,通常按影响因素的性质不同,将影响时间序列总变动的因素分解为长期趋势、季节变动、循环变动和随机变动四种主要类型。1)长期趋势长期趋势是指时问序列在较长时期内,受某种根本性因素影响所呈现出的总趋势,是经济现象的本质在数量方面的反映,也是我们对时间序列进行分析和预测的重点。如图3.l所示,长期趋势可以是上升的,也可以是下降的,或者是平稳的(或称水平的)。2)季节变动季节变动是指时间序列受季节更替规律或节假日的影响而呈现的周期性变动。——例如,农作物的生长受季节影响,从而导致农产品加工业的季节性变化,并且涉及运输、仓储、价格等方面的季节性变动；——再如空调、燃料、冷饮等商品的销售量受天气冷暖的影响,出现销售旺季及销售淡季；——另外,当春节、中秋节、国庆节等节假日来临时,某些食品的需求量剧增,也会出现购置顶峰。季节变动的周期比较稳定,一般是以一年为一个周期反复波动,当然也有不到一年的周期变动。如,银行的活期储蓄额以月为周期,每天早晨乘公共汽车上班的客流量一般以七天为一周期。季节变动有固定规律可循,周期效应可以预见。Stt季节变动T3)循环变动循环变动是一种变化非常缓慢、需要经过数年或数十年才能显现出来的循环现象。它虽类似于周期变动，但其规律性不明显,没有固定周期，出现一次循环变动之后，下一次何时出现，周期有多长难以预见，因而周期效应难以预测。为了掌握时间序列受循环变动因素的影响情况,需要取得很长时期的样本数据加以分析,以获得循环变动的信息。在短期内,循环变动是显现不出来的,因而在短期预测中,可以不考虑循环变动的影响。Ctt循环变动4)随机变动(或称随机干扰)随机变动是指时间序列由于突发事件或各种偶然因素引起的无规律可循的变动。如：自然灾害、意外事故、战争和政策改变等原因对时间序列的影响。这种随机变动有时对经济开展影响较大,但却不能以趋势、季节或循环变动加以解释,也难以预测。t随机变动————了解构成时间序列的四种因素后，我们就能有的放矢地加以处理。在预测时，需要从时间序列中别离出长期趋势，并找到循环、季节变化的规律，排除随机干扰。3〕时间序列的构成模型时间序列的构成要素分为四种，即趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规那么波动(I)〔非平稳序列〕时间序列的分解模型乘法模型Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型Yi=Ti+Si+Ci+Ii一般而言，假设时间序列的季节变动、循环变动和随机变动的幅度随着长期趋势的增长(或衰减)而加剧(或减弱)，应采用乘法模式;假设季节变动、循环变动和随机变动的幅度不随长期趋势的增衰而变化，应采用加法模式。时间序列数据的类型在下面的讨论中,我们假定经济变量的时间序列无循环变动的影响。在时间序列预测中,常遇到的数据类型有以下几种:1)水平趋势型这时时间序列表现为既无上升或下降趋势,也无季节影响,只是沿着水平方向发生变动,可表示为:2)线性趋势型这时时间序列的长期趋势值是时间t的线性函数,无季节影响,可表示为:3)曲线趋势型这时时间序列的长期趋势值是时间t的非线性函数,无季节影响。以二次曲线为例,可表示为:4)水平趋势季节型这时时间序列无上升或下降趋势,但受季节影响,可表示为:5)线性趋势季节型这时时间序列的长期趋势值是时间t的线性函数,且受季节影响,可表示为:6)曲线趋势季节型这时时间序列的长期趋势值是时间t的非线性函数,且受季节影响。以指数函数为例,可表示为:时间序列的描述性分析1.图形描述2.增长率分析1.图形描述——例题分析question:该用那种图?)例题分析〔图形〕2.增长率(growthrate)也称增长速度报告期观察值与基期观察值之比减1，用百分比表示由于比照的基期不同，增长率可以分为环比增长率和定基增长率由于计算方法的不同，有一般增长率、平均增长率、年度化增长率1〕概念2〕增长率的分类——环比增长率与定基增长率环比增长率报告期水平与前一期水平之比减1定基增长率报告期水平与某一固定时期水平之比减13〕平均增长率(averagerateofincrease)序列中各逐期环比值(也称环比开展速度)的几何平均数减1后的结果描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度通常用几何平均法求得。计算公式为平均增长率例题分析

【例】见人均GDP数据(第29张片子〕年平均增长率为：

2001年和2002年人均GDP的预测值分别为：4〕年度化增长率(annualizedrate)增长率以年来表示时，称为年度化增长率或年率可将月度增长率或季度增长率转换为年度增长率计算公式为m为一年中的时期个数；n为所跨的时期总数季度增长率被年度化时，m＝4月增长率被年度化时，m＝12当m＝

n时，上述公式就是年增长率年度化增长率例题分析【例】某地区如下数据，计算年度化增化增长率1〕1999年1月份的社会商品零售总额为25亿元，2000年1月份的社会商品零售总额为30亿元2〕1998年3月份财政收入总额为240亿元，2000年6月份的财政收入总额为为300亿元3〕2000年1季度完成的国内生产总值为500亿元，2季度完成的国内生产总值为510亿元4〕1997年4季度完成的工业增加值为280亿元，2000年4季度完成的工业增加值为350亿元解：由于是月份数据，所以

m=12；从1999年一月到2000年一月所跨的月份总数为12，所以

n=12

即年度化增长率为20%，这实际上就是年增长率，因为所跨的时期总数为一年。也就是该地区社会商品零售总额的年增长率为20%

1〕1999年1月份的社会商品零售总额为25亿元，2000年1月份的社会商品零售总额为30亿元m=12，n=27

年度化增长率为该地区财政收入的年增长率为10.43%2〕1998年3月份财政收入总额为240亿元，2000年6月份的财政收入总额为为300亿元由于是季度数据，所以

m=4，从第1季度到第2季度所跨的时期总数为1，所以

n=1

年度化增长率为

即根据第1季度和第2季度数据计算的国内生产总值年增长率为8.24%

3〕2000年1季度完成的国内生产总值为500亿元，2季度完成的国内生产总值为510亿元

m=4，从1997年第4季度到2000年第4季度所跨的季度总数为12，所以

n=12

年度化增长率为即根据1998年第4季度到2000年第4季度的数据计算，工业增加值的年增长率为7.72%，这实际上就是工业增加值的年平均增长速度4〕1997年4季度完成的工业增加值为280亿元，2000年4季度完成的工业增加值为350亿元5〕增长率分析中应注意的问题当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5，2，0，-3，2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析例题分析甲、乙两个企业的有关资料年

份甲

企

业乙

企

业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)1996500—60—1997600208440【例】假定有两个生产条件根本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表6〕增长率分析中应注意的问题(增长1%绝对值)增长率每增长一个百分点而增加的绝对量用于弥补增长率分析中的局限性计算公式为甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元平稳序列的平滑和预测1

简单平均法2移动平均法3指数平滑法时间序列的分类〔图示〕时间序列的分类平稳序列(stationaryseries)根本上不存在趋势的序列，各观察值根本上在某个固定的水平上波动或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的2.非平稳序列(non-stationaryseries)有趋势的序列线性的，非线性的有趋势、季节性和周期性的复合型序列只考虑时间序列的趋势变动，求出时间序列的平均值序列，以此表示时间序列的趋势变动，即所谓的平均数预测。平均数预测是最简单的定量预测方法。平均数预测法的运算过程简单，常在市场的近期、短期预测中使用。现在的焦点在于如何求平均值。求平均方法有代数平均、几何平均、滑动平均。简单平均数法是用一定观察期内预测目标的时间序列的各期数据的简单平均数作为预测期的预测值的预测方法。在简单平均数法中，极差越小、方差越小，简单平均数作为预测值的代表性越好。简单平均数法的预测模型是：根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值设时间序列已有的其观察值为Y1，Y2，…，Yt，那么第t+1期的预测值Ft+1为有了第t+1的实际值，便可计算出的预测误差为第t+2期的预测值为1〕含义例观察期123456预测值观察值10501080103010701050106010572〕简单平均法特点适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好如果时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要，从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对为来有更大的作用。因此简单平均法预测的结果不够准确

移动平均法对简单平均法的一种改进方法通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为趋势值或预测值有简单移动平均法和加权移动平均法两种1〕含义2〕简单移动平均法定义(simplemovingaverage)将最近k期数据加以平均作为下一期的预测值设移动间隔为k(1<k<t)，那么t期的移动平均值为t+1期的简单移动平均预测值为预测误差用均方误差(MSE)来衡量3〕简单移动平均法特点将每个观察值都给予相同的权数只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k主要适合对较为平稳的时间序列进行预测应用时，关键是确定合理的移动间隔长对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的选择移动步长时，可通过试验的方法，选择一个使均方误差到达最小的移动步长。简单移动平均法例题分析

【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值)，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较

用Excel进行移动平均预测例题分析

平滑目的：修匀数据，突出趋势，消除干扰，使时间序列趋势变动凸现出来。注记移动平均值构成新的时间序列，说明趋势变动规律，其图形为一次平滑曲线。

N取值影响。N越大，曲线平坦，但滞后严重。

N越小，变动灵敏度高，曲线波动大，滞后小。

求

的递推公式

月度123456789101112销售额333437344144504647524555例——某企业2001年1-12月的产品销售额如下表，用一次平滑法预测2002年一月份该企业的销售额〔N＝5〕加权平滑预测法观察期123456预测值观察值1050108010301070105010601056权重(w)0.10.10.150.150.20.3其中，

满足两个条件

①

②归一：加权移动平均法含义对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数所选择的各期的权数之和必须等于1。对移动间隔(步长)和权数的选择，也应以预测精度来评定，即用均方误差来测度预测精度，选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合

移动平均数预测移动平均法根据时间序列逐项移动，依次计算包含一定项数的平均数，形成平均数时间序列，并据此对预测对象进行预测。移动平均可以消除或减少时间序列数据受偶然性因素干扰而产生的随机变动影响。移动平均法在短期预测中较准确，长期预测中效果较差。移动平均法可以分为：

一次移动平均法

二次移动平均法一次移动平均法〔1〕一次移动平均法适用于具有明显线性趋势的时间序列数据的预测。一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不能用于长期预测。必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平滑影响也越大，移动平均数滞后于实际数据的偏差也越大。跨期太小那么又不能有效消除偶然因素的影响。跨期取值可在3~20间选取。一次移动平均法〔2〕一次移动平均数的计算公式如下：一次移动平均法例观察年份时序实际观察值Mt(1)(n=4)199113819922451993335199444941.75199557049.75199664349.25199774652.00199885553.50199994547.252000106552.752001116457.252002124354.25二次移动平均法〔1〕二次移动平均法是对一次移动平均数再次进行移动平均，并在两次移动平均的根底上建立预测模型对预测对象进行预测。二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点是大大减少了滞后偏差，使预测准确性提高。二次移动平均只适用于短期预测。而且只用于的情形。二次移动平均法〔2〕二次移动平均法的预测模型如下：二次移动平均法〔3〕例观察年份时序实际观察值Mt(1)(n=4)Mt(2)(n=4)199113819922451993335199444941.75199557049.75199664349.25199774652.0048.19199885553.50512550.502000106552.7551.382001116457.2552.692002124354.2552.88二次移动平均法〔4〕根据模型计算得到二次平滑预测法

平滑滞后偏差估计滞后现象

简单加权平滑预测法有一个特别明显的弱点，这就是平滑预测值总是滞后于实际观测值。设N=5,滞后图形如下:

滞后于{yt}两个单位值尤其对特征对有线性增长〔减少〕变动趋势序列〔实际值序列yt〕1234512345tyt=t滞后偏差估计现求出线性变动趋势序列平滑滞后偏差估计公式在t时刻，设趋势曲线方程yt＝a＋bt在t＋N时刻，

yt+N＝a＋bt＋bN

而滑动平均值序列＝[yt+1＋……yt+N]/N＝[（a+bt+b）＋（a+bt+2b）＋……＋（a+bt+Nb）]/N＝[（a+bt）N＋（1+2+……+N）b]/N＝a＋bt＋N（N+1）b/2N＝a＋bt＋（N+1）b/2在t＋N时刻，比yt+N滞后偏差为yt+N－＝（a＋bt＋Nb）－[a＋bt＋（N+1）b/2]

＝（N－1）b/2所以滞后偏差yt+N－＝（N－1）b/2（式子中，N为滑动时段长）

二次平滑预测原理二次滑动的本质为了消除这种滞后偏差，可以进行“二次滑动平均预测法〞

前述简单和加权滑动平均法，可以说都是直接把平滑值序列当作第t+1期预测结果处理。而二次滑动平均预测法，不是以二次平滑

序列作为预测结果，而是先给定目标线性预测方程，后利用去求趋势方程的系数at和bt。从而修正预测值，消除滞后偏差。故一次平滑是二次平滑的基础，逻辑是

。

系数at、bt的估计设{yt}为具有线性变动的实际值序列，为预测值，为{yt}的一次滑动平均值，为二次滑动平均值。滑动时段长N。则t+T时刻预测方程为说明：为什么是at，bt？说明已经考虑t以前的yt观察值，并求出at，bt，故方程中只考虑预测期的T。根据滞后偏差估计有故有又由

，令T＝0,求得t后，在任意一时刻T的系数预测值故有T（t）123tt－1t－3t－2ytT＝0yt=a+bt利用公式，计算at，bt系数三、预测步骤计算和确定滑动时段长N，以原始观察值序列为基础分别列表计算序列和序列。其方法相同。构造预测方程构造预测方程，确定未来期限T值，代入方程进行预测：计算公式为，T的取值取决于它的零点定位。

年份19787980818283848586yt265.08304.27332.37366.78409.58452.84536.29620.01675.67解：表上作业法

年份19787980818283848586yt265.08304.27332.37366.78409.58452.84536.29620.01675.67

300.5733334.4733369.5767409.7333466.2367536.38610.6567

334.8744371.2611415.1822470.7833537.7578at404.2789448.2056517.2911601.9767683.5556bt34.7022238.4722251.0544465.5966772.89889例：某省78-86年农业总产值有线性趋势，如下表。现预测87年和94年总产值，和。答：该省工农业总产值预测结果1987年为756.45亿元，1994年为1266.75亿元。

以N＝3进行滑动，求,

利用公式，求{at}、{bt}=at+bt*T

86年T＝0＝683.5687年T＝1＝683.56+72.90*1＝756.4594年

T＝8＝683.56+72.90*8＝1266.753指数平滑法是加权平均的一种特殊形式对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等

一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势

1〕含义2〕一次指数平滑singleexponentialsmoothing只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远，权数变得越小

以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为

Yt为第t期的实际观察值

Ft

为第t期的预测值

为平滑系数

(0<

<1)3〕一次指数平滑的预测在开始计算时，没有第1期的预测值F1，通常可以设F1等于第1期的实际观察值，即F1=Y1第2期的预测值为第3期的预测值为4〕一次指数平滑的预测误差预测精度，用均方误差来衡量

Ft+1是第t期的预测值Ft加上用

调整的第t期的预测误差(Yt-Ft)5〕一次指数平滑确实定不同的会对预测结果产生不同的影响一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化〔0.3－0.6〕当时间序列比较平稳时，宜选较小的〔0.05－0.2〕选择时，还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误差的大小确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值一次指数平滑法的例题分析用Excel进行指数平滑预测第1步：选择“工具〞下拉菜单第2步：选择“数据分析〞选项，并选择“指数平滑〞，然后确定第3步：当对话框出现时在“输入区域〞中输入数据区域在“阻尼系数〞(注意：阻尼系数=1-)输入的值选择“确定〞【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数，采用Excel进行指数平滑预测，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较一次指数平滑例题分析一次指数平滑例题分析一次指数平滑法〔1〕公式：根本计算公式一次指数平滑预测模型

当时间序列数据大于20时，初始值S0(1)对St(1)计算结果影响极小，可以设定为x1；当时间序列数据小于20时，初始值S0(1)对St(1)计算结果影响较大，应取前几项的平均值。一次指数平滑法〔2〕例〔,S0(1)取为前三项的平均值〕时序12345678910111213销售量10158201016182022242026St(1)1110.512.810.415.212.614.316.218.120.122.021.023.5二次指数平滑法〔1〕二次指数平滑的计算公式预测的数学模型二次指数平滑法〔2〕例：有关数据的计算见下表(

)。根据例中数据，有观察年份时序观察值St(1)St(2)199614041.53442.655199724745.90645.256199835653.98152.236199946562.79660.684200057068.55966.984200167573.71272.366200278280.34278.747三次指数平滑法〔1〕当时间序列为非线性增长时，一次指数平滑与二次指数平滑都将失去有效性；此时需要使用三次指数平滑法。三次指数平滑法建立