数学建模综合评价类问题

姓名：常志勇办公地点：数学与统计学院统计学系子邮箱：zhychang68@hotmail0.评价问题“评价〞为衡量评定人或事物的价值。[新华字典]如：咱们班谁最高？谁家最有钱？谁是高富帅？一个树的价值是？第一节综合评价方法的根本概念综合评价的问题:对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是有假设干个同类的被评价对象(或系统)，每个被评价对象往往都涉及到多个属性〔或指标〕。综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些系统的运行〔或开展〕状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称为多属性〔或多指标〕的综合评价问题。如：教师绩效测评。综合评价的应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。1.被评价对象被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有个被评价对象〔或系统〕，分别记为。2.评价指标评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或开展)状况的根本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。

3权重系数

每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用来表示评价指标的权重系数，则应有且。

评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有个评价指标（或属性），分别记为，即评价指标向量为。注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。4.综合评价模型对于多指标〔或多因素〕的综合评价问题,就是要通过建立适宜的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为指标权重向量为，由此构造综合评价函数为。

如果各评价指标的个观测值为5，其中，那么可以计算出各系统的综合评价值，。根据值的大小将这个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。5.评价者评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数确实定都与评价者有关。

综合评价的一般步骤：明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系〔包括评价指标的原始值、评价指标的假设干预处理等〕；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。构造权重的方法多元统计方法，如多元回归、主成分分析、因子分析等。模糊数学方法：由模糊数学开展而来，包括模糊聚类、模糊判别、模糊综合评价等方法。简易方法：主要包括头脑风暴法、层次分析法、Topsis法、秩和比法等其他，如：数据包络分析法，熵值法等

第二节

模糊综合评判综合评判是综合决策的内容。模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策下面以电脑评判为例来说明如何评价。某同学想购置一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运算功能〔数值、图形等〕〞；“存储容量〔内、外存〕〞；“运行速度〔CPU、主板等〕〞；“外设配置〔网卡、多媒体部件等〕〞；〞价格〞。于是请同宿舍几个同学一起去买电脑。=“运算功能〔数值、图形等〕〞；=“存储容量〔内、外存〕〞；=“运行速度〔CPU、主板等〕〞；=“外设配置〔网卡、调制调解器、多媒体部件等〕〞；=“价格〞。称因素集。为了数学处理简单，先令评语集其中=“很受欢送〞；=“较受欢送〞；=“不太受欢送〞；=“不受欢送〞；任选几台电脑，请同学和购置者对各因素进行评价。假设一个给定的电脑，对于运算功能有20%的人认为是“很受欢送〞，50%的人认为“较受欢送〞，30%的人认为“不太受欢送〞，没有人认为“不受欢送〞，那么的单因素评价向量为同理，对存储容量，运行速度，外设配置和价格分别作出单因素评价，得组合成评判矩阵对微机的要求是：工作速度快，外设配置较齐全，价格廉价，而对运算和存储量那么要求不高。于是得各因素的权重分配向量：作模糊变换：存储容量运行速度外设配置价格运算功能假设进一步将结果归一化得：结果说明，该用户对这种微机表现为“最受欢送〞的程度为0.32，“较受欢送〞和“不太受欢送〞的程度为0.27，“不受欢迎〞的程度为0.14。按最大隶属原那么，结论是：该电脑“很受欢送〞。模糊数学知识简介设U是论域，映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子〞(A)的隶属函数A(x)可定义为

也可用Zadeh表示法：隶属函数确实定1.模糊统计方法2.指派方法3.借用已有的“客观〞尺度(A)

=A

={x|A(x)≥

}

-截集：模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生〞的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，那么A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.常用的综合评判模型

1、主因素决定型2、主因素突出型3、加权平均型第三节层次分析模型背景

日常工作、生活中的决策问题

涉及经济、社会等方面的因素作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准那么层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一.层次分析法的根本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地〞思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准那么层C，方案层P；每层有假设干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准那么对目标的权重，及各方案对每一准那么的权重。

将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。层次分析法的根本步骤成比照较阵和权向量元素之间两两比照，比照采用相对尺度设要比较各准那么C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成比照较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地成比照较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成比照较阵和权向量成比照较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成比照较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成比照较阵和权向量2468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反心理学家认为成比照较的因素不宜超过9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对假设干实例构造成比照较阵，算出权向量，与实际比照发现，1~9尺度较优。

便于定性到定量的转化：成比照较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n

阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI

当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地〞中准那么层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根

=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准那么)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵那么第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的根本步骤1〕建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层〔目标—准那么或指标—方案或对象〕，上层受下层影响，而层内各因素根本上相对独立。2〕构造成比照较阵用成比照较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成比照较阵。3〕计算权向量并作一致性检验对每一成比照较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，假设通过，那么特征向量为权向量。4〕计算组合权向量〔作组合一致性检验*〕组合权向量可作为决策的定量依据。二.层次分析法的广泛应用应用领域：经济方案和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。构造成比照较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1

国家实力分析例2

工作选择过河的效益

A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择(2002年赛)过河的代价

A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益

C11间接经济效益

C12社会效益

C13学识水平

C21学术创新

C22技术水平

C23技术创新

C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价三.层次分析法的假设干问题

正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？

怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？

为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成比照较阵有空缺时怎样用层次分析法？1.

正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1

正矩阵A的最大特征根

是正单根，对应正特征向量w，且定理2n阶正互反阵A的最大特征根

n,

=n是A为一致阵的充要条件。正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理2.

正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算

精确计算的复杂和不必要

简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。〔1〕和法——取列向量的算术平均列向量归一化算术平均精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010(2)根法——取列向量的几何平均(3)幂法——迭代算法1〕任取初始向量w(0),k:=0，设置精度2)计算3）归一化5)计算简化计算4）若，停止；否则，k:=k+1,转23.特征向量作为权向量——成比照较的多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与aij相差尽量小〔对所有i,j)。用拟合方法确定w非线性最小二乘线性化——对数最小二乘结果与根法相同按不同准那么确定的权向量不同，特征向量有什么优点。成比照较Ci:Cj(直接比较〕aij~1步强度aisasj~Ci通过Cs与Cj的比较aij(2)

~2步强度更能反映Ci对Cj的强度多步累积效应表达多步累积效应定理1特征向量表达多步累积效应当k足够大,Ak第i行元素反映Ci的权重求Ak的行和4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上