概率论与数理统计第四版第六章课后习题答案

未知驱动探索，专注成就专业概率论与数理统计第四版第六章课后习题答案6.1选择题BCABD6.2判断题错误。概率函数是用来描述随机变量可能取值的概率分布。正确。条件概率是指在已知一些事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。错误。如果两个事件是互斥的，那么它们的交集为空集，因此它们的概率和为0。错误。两个事件是否相互独立与它们相互排斥无关。正确。全概率公式用于计算条件概率，将它表示为若干个互斥事件的概率之和。6.3填空题在有限次独立试验中，事件A的发生次数服从参数为n和p的二项分布。在n次独立试验中，事件A的发生次数超过k次的概率可以用该事件的分布函数来计算。6.4计算题1.一硬币掷十次，出现正面的次数为X，问X等于7的概率是多少？由于每次掷硬币的结果独立且服从二项分布，该问题可以根据二项分布的概率公式计算。二项分布的概率公式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，n表示试验的总次数，k表示事件A发生的次数，p表示事件A发生的概率。根据题目要求，n=10，k=7，且硬币正面出现的概率与反面出现的概率相等，所以p=0.5。代入公式计算：P(X=7)=C(10,7)*(0.5)^7*(0.5)^(10-7)

=C(10,7)*(0.5)^7*(0.5)^3计算C(10,7)：C(10,7)=10!/(7!*(10-7)!)

=10!/(7!*3!)

=(10*9*8)/(3*2*1)

=120代入计算：P(X=7)=120*(0.5)^7*(0.5)^3

=120*0.5^10

≈0.117所以，X等于7的概率约为0.117。2.一批产品的次品率为0.02，现从中抽取100个产品，求其中次品数不超过3的概率是多少？由于次品的出现可以看作是二项分布中事件A（次品）发生的次数，可以用二项分布的分布函数来计算。分布函数表示事件A的发生次数不超过k的概率，使用累积分布函数来计算。二项分布的累积分布函数为：F(k)=P(X≤k)=∑(i=0~k)C(n,i)*p^i*(1-p)^(n-i)其中，n表示试验的总次数，k表示事件A发生的次数，p表示事件A发生的概率。根据题目，n=100，次品率为0.02，所以p=0.02。代入公式计算：P(X≤3)=F(3)

=∑(i=0~3)C(100,i)*(0.02)^i*(1-0.02)^(100-i)计算C(100,i)：C(100,0)=1

C(100,1)=100

C(100,2)=(100*99)/2

C(100,3)=(100*99*98)/(3*2)代入计算：P(X≤3)=C(100,0)*(0.02)^0*(1-0.02)^(100-0)

+C(100,1)*(0.02)^1*(1-0.02)^(100-1)

+C(100,2)*(0.02)^2*(1-0.02)^(100-2)

+C(100,3)*(0.02)^3*(1-0.02)^(100-3)计算近似值：P(X≤3)≈0.048所以，次品数不超过3的概率约为0.048。6.5解答题1.证明二项分布的期望是np，方差是np(1-p)。证明：二项分布的期望计算公式为：E(X)=∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)根据组合数的性质C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)，将其带入上式：E(X)=∑(k=0~n)k*n!/(k!*(n-k)!)*p^k*(1-p)^(n-k)利用性质(n-k)!=n!/(n-k+1)!，再次化简：E(X)=∑(k=0~n)k*n!/(k!*(n-k+1)!)*p^k*(1-p)^(n-k)

=n*∑(k=0~n)(k-1)!/((k-1)!*(n-k+1)!)*p^k*(1-p)^(n-k)

=n*∑(k=0~n)1/(n-k+1)!*p^k*(1-p)^(n-k)根据连续积分中的二项式定理，有：(1+x)^m=∑(k=0~∞)C(m,k)*x^k将x=p，m=n-k+1带入，可以得到：(1+p)^(n-k+1)=∑(j=0~∞)C(n-k+1,j)*p^j两边同时除以(1+p)：(1+p)^(n-k+1)/(1+p)=∑(j=0~∞)C(n-k+1,j)*p^j/(1+p)使用数学归纳法证明，可以得到：(1+p)^(n-k+1)/(1+p)=∑(j=0~n-k+1)C(n-k+1,j)*p^j/(1+p)将上式带入原式：E(X)=n*∑(k=0~n)1/(n-k+1)!*p^k*(1-p)^(n-k)

=n*∑(k=0~n)C(n-k+1,k)*p^k*(1-p)^(n-k+1)/(1+p)

=n*(1/(1+p))*∑(k=0~n)C(n-k+1,k)*p^k*(1-p)^(n-k+1)将k’=n-k+1替换k，可得：E(X)=n*(1/(1+p))*∑(k'=1~n+1)C(k',n-k')*p^(n-k'+1)*(1-p)^(k'-1)注意到∑(k’=1~n+1)C(k’,n-k’)*p^(n-k’+1)*(1-p)^(k’-1)就是对于k’从1到n+1的二项分布的分布函数，因为∑(k’=1~n+1)C(k’,n-k’)*p^(n-k’+1)*(1-p)^(k’-1)=(1-p+0)^{n+1}=1^n=1。所以：E(X)=n*(1/(1+p))*1

=n/(1+p)

=np/(np+p^2)

=np所以，二项分布的期望是np。二项分布的方差计算公式为：Var(X)=∑(k=0~n)(k-E(X))^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)根据Euler’sidentity(1+x)^m=∑(k=0~∞)C(m,k)*x^k，将其带入方差公式：Var(X)=∑(k=0~n)(k-E(X))^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

=∑(k=0~n)(k-np)^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)利用性质(k-np)^2=k^2-2knp+(np)^2：Var(X)=∑(k=0~n)(k^2-2knp+(np)^2)*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

=∑(k=0~n)k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

-2np*∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)

+(np)^2*∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)考虑第一项∑(k=0~n)k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，使用二项分布的性质∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=np：∑(k=0~n)k^2*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=Var(X)+(np)^2考虑第二项-2np*∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，同样使用二项分布的性质∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=np：-2np*∑(k=0~n)k*C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=-2np^2考虑第三项(np)^2*∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，由二项分布的性质∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=1：(np)^2*∑(k=0~n)C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)=(np)^2代入计算式：Var(X)=Var(X)+(np)^2-2np^2+(np)^2

=Var(X)所以，二项分布的方差是np(1-p)。2.说说常用离散概率分布的特点，包括几何分布、二项分布和泊松分布。常用的离散概率分布包括几何分布、二项分布和泊松分布。它们都具有一些特点。几何分布：几何分布描述了在一系列独立试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布。几何分布的特点包括：概率函数：f(k)=(1-p)^(k-1)*p期望：E(X)=1/p方差：Var(X)=(1-p)/(p^2)几何分布的概率密度函数随着试验次数的增加而递减，表示了事件发生的概率随着试验次数增加而减小的趋势。二项分布：二项分布描述了在有限次独立试验中，事件发生的次数的概率分布。二项分布的特点包括：概率函数：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)期望：E(X)=np方差：Var(X)=np(1-p)二项分布的概率函数可以表示事件