能力提升精练课件：3 时 正方形的定义及性质

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质能力提升精练

3.[2020江苏南通崇川区一模]如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是(

)A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【解析】

连接AE.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°.∵△ABG沿AG对折至△AFG,G是BC的中点,∴AB=AF,GB=GF=3,∠B=∠AFG=90°,∴∠AFE=∠D=90°,AF=AD,又∵AE=AE,∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL),∴DE=EF.设DE=x,则EF=DE=x,GE=x+3,CE=6-x.在Rt△CGE中,由勾股定理得CG2+CE2=GE2,∴32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2.故选C.

归纳总结利用正方形的性质求解线段的长的思路

利用正方形的性质求解线段长度时,通常将涉及的线段转化到直角三角形(特别是等腰直角三角形)中,结合勾股定理或三角形全等求解.

5.易错题

若以正方形ABCD的边CD为边作等边三角形CDE,则∠AED的度数是

.

6.如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,分别过点A,C作l的垂线,垂足分别为E,F.若AE=1,CF=3,则AB的长度为

.

7.如图,正方形ABCD中,AB=4cm,点E,F分别在边AD和边BC上,且BF=ED=3cm,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,点P沿A→F→B方向运动,点Q沿C→D→E→C方向运动,点P,Q的运动速度分别为1cm/s,3cm/s.设运动时间为t(0<t<8)s,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=

.

【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC,AD∥BC,∵BF=ED,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF∥EC,AF=EC.在Rt△ABF中,AB=4cm,BF=3cm,∴AF=5cm.由P,Q的运动速度和运动方向可知,当Q

在EC上运动,P在AF上运动时,若EQ=FP,则以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,∴3t-7=5-t,∴t=3.当P,Q分别在BC,AD上运动时,若QD=BP,则以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,此时Q点已经运动一周,∴3t-12-4=8-t,∴t=6.综上所述,t的值为3或6.

9.[2021北京海淀区月考]如图,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形.求证:(1)△BCG≌△DCE;(2)BG⊥DE.【解析】

(1)∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,∴BC=DC,CE=CG,∠BCD=∠GCE=90°,∴∠BCG=∠DCE.在△BCG和△DCE中,BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE,∴△BCG≌△DCE.(2)设BG分别与DC,DE交于点H,O.∵△BCG≌△DCE,∴∠HBC=∠ODH,∵∠BHC=∠DHO,∠HBC+∠BHC=90°,∴∠ODH+∠DHO=90°,∴∠DOH=90°,∴BG⊥DE.10.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上移动,且A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等,则在点E,F移动的过程中:(1)∠EAF的大小是否有变化?请说明理由.(2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.

【解析】(2)△ECF的周长没有变化.理由如下:由(1)得Rt△BAE≌Rt△HAE,Rt△HAF≌Rt△DAF,∴BE=EH,HF=DF,∴△ECF的周长为EF+EC+FC=BE+DF+EC+FC=2BC,∴△ECF的周长没有变化.10.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,