新高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时作业41 空间几何体的表面积与体积（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业41空间几何体的表面积与体积一、选择题1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(B)A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．24π解析：设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.2．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(B)A．1cm B．2cmC．3cm D.eq\f(3,2)cm解析：由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．3．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为(B)A.eq\r(6) B.eq\r(7)C．2eq\r(2) D．3解析：设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).4．已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球OA．6eq\r(3) B．12C．12eq\r(3) D．18解析：设球O的半径为R，则由4πR2＝20π得R2＝5，由题意知，此三棱柱为正三棱柱，且底面三角形的外接圆与侧面的外接圆大小相同，故设三棱柱的底面边长为a，高为h，如图，取三角形ABC的中心O1，四边形BCC1B1的中心O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在Rt△AOO1中，OOeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)＝AO2＝R2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝R2＝5①，又AO1＝BO2，所以AOeq\o\al(2,1)＝BOeq\o\al(2,2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2②，由①②可得a2＝12，h＝2，所以三棱柱的体积V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a2))h＝6eq\r(3).故选A.5．已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为(B)A．18 B．12C．6eq\r(3) D．4eq\r(3)解析：如图，由题意知，球心在三棱锥的高PE上，设内切球的半径为R，则S球＝4πR2＝16π，所以R＝2，所以OE＝OF＝2，OP＝4.在Rt△OPF中，PF＝eq\r(OP2－OF2)＝2eq\r(3).因为△OPF∽△DPE，所以eq\f(OF,DE)＝eq\f(PF,PE)，得DE＝2eq\r(3)，AD＝3DE＝6eq\r(3)，AB＝eq\f(2,\r(3))AD＝12.故选B.6．(多选题)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的eq\f(1,3)，则下列结论正确的是(AD)A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为eq\f(4,3)D．球O的内接正四面体的棱长为2解析：设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R.易得R＝eq\f(2\r(3),3).因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，选项A正确；球O的内接正方体的棱长a满足eq\r(3)a＝2r，显然选项B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然选项C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，选项D正确．二、填空题7．(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是10解析：因为长方体ABCD­A1B1C1D1所以CC1·S四边形ABCD＝120，又E是CC1的中点，所以三棱锥E­BCD的体积VE­BCD＝eq\f(1,3)EC·S△BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CC1×eq\f(1,2)S四边形ABCD＝eq\f(1,12)×120＝10.8．如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).解析：由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有eq\f(4,3)πr3＝πR2r.故eq\f(R,r)＝eq\f(2\r(3),3).9．一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.解析：设六棱锥的高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×6h＝2eq\r(3)，解得h＝1.设六棱锥的斜高为h′，则h2＋(eq\r(3))2＝h′2，故h′＝2.所以该六棱锥的侧面积为eq\f(1,2)×2×2×6＝12.10．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝eq\f(π,3)，则三棱锥P­AOB的外接球的体积是eq\f(4π,3).解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即OA⊥OB.∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥AO，又OB∩PB＝B，∴AO⊥平面PBO，∴AO⊥PO，即△PAO是以PA为斜边的直角三角形．∵PB⊥AB，∴△PAB是以PA为斜边的直角三角形，∴三棱锥P­AOB的外接球的直径为PA.∵PB＝1，∠APB＝eq\f(π,3)，∴PA＝2，∴三棱锥P­AOB的外接球的半径为1，∴三棱锥P­AOB的外接球的体积为eq\f(4π,3).三、解答题11．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P­A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝解：由PO1＝2m知，O1O＝4PO1＝8m．因为A1B1＝AB＝6m，所以正四棱锥P­A1B1C1D1V锥＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD­A1B1C1D1V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．故仓库的容积是312m312．如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD＝2AB＝2EF＝4，M为DF的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，(1)证明：EF⊥MC；(2)求三棱锥M­ABD的体积．解：(1)证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF⊥CD.折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF.∵DF∩CF＝F，∴EF⊥平面DCF.又MC⊂平面DCF，∴EF⊥MC.(2)易知AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，DM＝1，∴MF＝1＝AE.又AE∥MF，∴四边形AEFM为平行四边形．∴AM∥EF，故AM⊥DF.∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且BE⊥EF，∴BE⊥平面AEFD.∴VM­ABD＝VB­AMD＝eq\f(1,3)×S△AMD×BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3).即三棱锥M­ABD的体积为eq\f(1,3).13．已知在四面体ABCD中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，则该四面体的体积的最大值为eq\f(2\r(3),27).解析：如图，设AB的中点为P，连接PC，PD，因为AD＝DB，AC＝CB，所以AB⊥PD，AB⊥PC，又PC∩PD＝P，所以AB⊥平面PCD.设AB＝2x(0<x<1)，则PC＝PD＝eq\r(1－x2).于是，V三棱锥A­BCD＝V三棱锥A­PCD＋V三棱锥B­PCD＝eq\f(1,3)·S△PCD·AP＋eq\f(1,3)·S△PCD·BP＝eq\f(1,3)·S△PCD·AB＝eq\f(1,3)·2x·eq\f(1,2)(eq\r(1－x2))2sin∠CPD≤eq\f(1,3)x·(eq\r(1－x2))2.设函数f(x)＝eq\f(1,3)x·(eq\r(1－x2))2＝eq\f(1,3)(x－x3)，0<x<1，则f′(x)＝eq\f(1,3)－x2，所以当0<x<eq\f(\r(3),3)时，f′(x)>0；当eq\f(\r(3),3)<x<1时，f′(x)<0.所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上单调递减，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),27).从而V三棱锥A­BCD≤eq\f(2\r(3),27)，当且仅当sin∠CPD＝1且x＝eq\f(\r(3),3)，即平面ABD⊥平面ABC且AB＝eq\f(2\r(3),3)时，不等式取等号．故所求四面体的体积的最大值为eq\f(2\r(3),27).14．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O.∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝eq\f(π,3)，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\f(\r(6),2)，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(