高考数学二轮专题复习 周周练 第四周 三角与立体几何 理-人教版高三数学试题

星期一(三角与立体几何)2016年____月____日1．三角知识(命题意图：考查解三角形的知识与数列知识的交汇问题，主要涉及正弦定理、余弦定理以及等差中项的应用．) 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列． (1)若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，b＝eq\r(3)，求a＋c的值； (2)求2sinA－sinC的取值范围． 解(1)因为A，B，C成等差数列，所以B＝eq\f(π,3). 因为eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)， 即accosB＝eq\f(3,2)， 所以eq\f(1,2)ac＝eq\f(3,2)，即ac＝3， 因为b＝eq\r(3)，b2＝a2＋c2－2accosB， 所以a2＋c2－ac＝3， 即(a＋c)2－3ac 所以(a＋c)2＝12， 所以a＋c＝2eq\r(3). (2)由(1)知2sinA－sinC＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－C))－sinC ＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosC＋\f(1,2)sinC))－sinC＝eq\r(3)cosC. 因为0＜C＜eq\f(2π,3)，所以eq\r(3)cosC∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\r(3)))， 所以2sinA－sinC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\r(3))).2．立体几何知识(命题意图：以平面图形翻折成空间几何体为载体，考查线线、线面垂直关系的转化，考查用空间向量法求二面角的大小等．) 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图1)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连接A1B，A1P(如图2) (1)求证：A1E⊥平面BEP； (2)求二面角B－A1P－F的余弦值的大小． (1)证明：不妨设正三角形ABC的边长为3.在图1中，取BE的中点D，连接DF. ∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2， ∴AF＝AD＝2.而∠A＝60°， ∴△ADF是正三角形． 又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD. 在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF， ∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴A1E⊥BE. 又BE∩EF＝E， ∴A1E⊥平面BEF， 即A1E⊥平面BEP. (2)解由(1)知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF. 以E为原点，分别以EB，EF，EA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立 如图3所示的空间直角坐标系．图3 则A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0，eq\r(3)，0)，P(1，eq\r(3)，0)． ∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(2，0，－1)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，－1)， eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，－1)． 设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面A1BP和平面A1PF的法向量， 由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1B,\s\up6(→))＝0，,m·\o(A1P,\s\up6(→))＝0.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x1－z1＝0，,x1＋\r(3)y1－z1＝0.)) 取y1＝1，得m＝(eq\r(3)，1，2eq\r(3))． 由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1F,\s\up6(→))＝0，,n·\o(A1P,\s\up6(→))＝0.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)y2－z2＝0，,x2＋\r(3)y2－z2＝0.)) 取y2＝1，得n＝(0，1，eq\