Ch7个体风险态度及度量

个体的风险态度及其度量本章教学目的和要求

1.了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济行为主体风险态度的类型；

2.掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用函数的性质；

3.掌握确定性等价和风险溢价的含义及其计算方法；

4.从定义和性质等各方面区分绝对风险厌恶度量和相对风险厌恶度量；

5.掌握具有线性风险容忍系数的几个效用函数的形式及其性质；

6.了解不同随机占优的假设及其充分必要条件。一、风险态度

1.问题的提出

现实观察：

经济行为主体对待风险的态度是存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？

通常可以从两个方面来刻画：（1）观察经济行为主体面对公平博彩时的行为选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性的结果。（2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。

2.公平博彩（FairGame）公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为，其期望收益为，我们就称其为公平博彩。当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大于零，即其收益不会是确定值零。或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当和入局费相等的博彩。

我们将满足下式的博彩，称为一个公平博彩：

3.风险态度的描述公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它提供了个体增加或减少原来收入的机会。风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。

定义：u是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始禀赋，如果对于任何足的随机变量，有

则称个体是（严格）风险厌恶（riskaversion）；如果上述不等号方向相反，则称个体是风险偏好（riskloving）；如果两边相等，则称个体是风险中性（neutral）。

对于一个具有效用函数为U和初始禀赋为W的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为U（W）。如果他愿意参加博彩，则他有p的概率消费，1-p的概率获得，因此，他的期望效用为根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌恶的经济主体而言，我们有：

由于所以，上述不等式可改写为：即：

这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的期望值。基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为凹函数。

U(x)xABC风险厌恶者的效用函数

同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性者的效用函数的特征。对于风险偏好者而言，我们有：且其效用函数为凸函数。

x风险偏好者的效用函数BACU(x)

对于风险中性者而言，我们有其效用函数为线性效用函数。xU(x)4.效用函数的凸凹性的局部性质经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财富较少时，部分投资者是风险厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。二、风险厌恶的度量1.确定性等价值与风险溢价确定性等价值（certaintyequivalence）是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学期望值（财富价值）。风险溢价（riskpremium）是指风险厌恶者为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。

即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益为ρ，则我们有：这里，ε为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），W为初始禀赋，ρ被称之为马科维兹风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而W-ρ为确定性等价收益。某甲拥有财富100万元，明年他有25％的可能性会丢失一辆价值20万元的小汽车，假设的效用函数为V(w)=lnw,w为他的财富总量，请解答以下问题：

(1)不参加明年的保险时，他的期望效用为多少?(2)如果保险公司的管理费用为零，则他为参加全额公平保险应该支付多少保险费？此时期望效用是多少?境况改善了吗?(3)如果参加保险，他最愿意支付多少保险费？（1）EU=25%·ln（100-20）+75%·ln100=ln（×）=ln94.57（2）公平保险指的是使保险公司的期望利润为零，此时的保费率为25%。h=pl=25%×20=5即某甲应支付的保险费为5万元。此时的期望效用为E(U)=ln(100-5)=ln95＞ln94.57参加保险后其境况改善了。（3）设保险费为R，则ln(100-R)=ln94.57得R=5.43即最多愿意支付5.43万元的保险费。某某作东北亚旅行，在旅途中其所获得的效用决定于其所花费的大小，其效用函数U（M）=log10M，今某某有10000元，则：

（1）某某在旅途中遗失1000元的概率为25%，求其旅途的效用期望值？

（2）若某某购买支票遗失保险，其所须付的保费为250元（保1000元的金额），则某某是否会购买此保险？（3）某某最高愿意出多少保费来购买此保险？

(4)设某某购买保险后反而更粗心，因此其遗失1000元的概率会提高至30%，则正确保费为何？此时某某是否会购买此保险？（1）即某某旅途的效用期望值为3.9886。（2）购买保险的效用为log10(10000-250)=log109750=3.9890＞3.9886所以某某会购买此保险。（3）某某最高愿意支出的保费为R，则log10(10000-r)=3.9886解出R=259(4)保险费为1000×30%=300元此时的效用期望值为EU=0.3log109000+0.7×log1010000=3.9863某某最高愿意支出的保费为R，则log10(10000-R)=3.9863得出R=310.5＞300所以某某还会投保。··2.风险厌恶系数

对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0且预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连续可微的，我们可对上述等式的两边在W做泰勒级数展开。这里，Re为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩，所以，Re可省略。由此，我们可以得到由风险溢价的定义可得：

上式的右边由两个部分构成：是体现个体偏好的因素，而Var(ε)则是公平博彩随机受益的方差，体现不确定性风险。将随具体博彩的ε因素除去，留下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险溢价更为一般的风险厌恶侧度指标：

经济学家普拉特（Pratt,1964）和阿罗（Arrow,1970）分别证明了在一定的假设条件下，反映经济主体的效用函数特征的可以用来度量经济主体的风险厌恶程度。

因此，我们将称为经济主体的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数（Arrow-Prattabsoluteaversion）在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初始禀赋即可：Var（ε/W）是公平博彩相对收益的方差，另一部分称为个体的阿罗-普拉特相对风险厌恶系数（Arrow-prattrelativeaversion）。

同样地，我们定义阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数的倒数为个体的风险容忍系数（risktolerance），即

T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则反。三、风险厌恶度量的性质

绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的风险性为特点。而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行为主体随个人财富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。

1.相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度：（1）绝对风险厌恶度量对于任意给定的初始财富水平W，如果下式成立，则表明经济主体i比经济主体j更加厌恶风险：

（2）风险溢价度量对于任意给定的初始财富水平W，为避免相同的风险，如果经济主体i比经济主体j需要更多的风险溢价补偿，则经济主体i比经济主体j更厌恶风险：（3）效用函数的曲率从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率（弯曲程度），如果经济主体i较经济主体更加厌恶风险，

则表明，经济主体i有比经济行为主体j更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体i的效用函数是经济行为主体j的效用函数的一个凹变换，即存在一个递增的、严格凹的函数G(·)，使得对于任意的W都成立。

（4）普拉特定理假设是两个二次可微、严格单调递增的效用函数，则以下三种表述是等价的：对所有的W，有；存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数G(·)，使得；

任何公平博彩ε对经济主体i的风险溢价较经济主体j的风险溢价高，即2.风险厌恶与财富水平

在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初始财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察投资者是将风险资产看着是正常品还是劣等品。

（1）定义

如果经济主体的绝对风险厌恶系数是严格递减的函数，即，DARA则这类经济行为主体是递减绝对风险厌恶的；类似地，如果，IRRA则称这类经济主体为递增绝对风险厌恶的。如果则称这类经济行为主体是常数绝对风险厌恶的。

（2）阿罗-普拉特定理对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风险资产的需求与其初始财富的变化无关。某客户的效用函数为u(w)＝lnw，（其中w是财富，并且w）0），那么风险资产对该客户而言（）A．是正产品B.是次品C.该客户对风险资产需求不随初始财富的变化而变化D.无法判断

（3）相对风险厌恶的性质定理对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的财富需求弹性小于1（即随着财富的增加，投资于风险资产的财富相对于总财富的比例下降）；对于递减相对风险厌恶的经济行为主体，风险资产的财富需求弹性大于1；对于常数风险厌恶的经济行为主体，风险资产的需求弹性等于1。对于在时期0具有初始财富W的经济主体，设为他的风险资产需求弹性，则有：2.假定一投资者具有如下形式的效用函数：，其中是财富，并且，求：(1)a)该投资者具有非满足性偏好；b)该投资者是严格风险厌恶的。(2)求绝对风险厌恶系数和相对风险厌恶系数。(3)当投资者的初期财富增加，该投资者在风险资产上的投资会增加？减少？不变？

(4)当投资者的初期财富增加1%时，该投资者投资在风险资产上投资增加的百分比是：大于1%？等于1%？小于1%？解：(1)a)投资者具有如下形式的效用函数：因为，所有投资者具有非饱和性偏好。b)因为，所有该投资者的效用函数严格凹的，因此该投资者是严格风险厌恶的。(2)绝对风险厌恶系数为：相对风险厌恶系数为：(3)因为，其中a是投资者在风险资产上的投资，因此当投资者的初期财富增加，该投资者在风险资产上的投资不变。(4)，所以，因为投资者在风险资产上投资增加的百分比小于1%。四、几种常用的效用函数

金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系数（linearrisktolerance），满足这一假设的VNM效用函数具有LRT形式：在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始财富的线性函数。

从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈现性关系。在上式中，当γ＞1时，个体的风险容忍系数随财富的增加而减少；当＜1时，个体的风险容忍系数随财富的增加而增加。另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为

为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对风险厌恶效用函数（hyperbolicabsoluteriskaversion，HARA)。

LRT效用函数是一个函数族，在不同的参数下，将呈现出不同的形式：（1）（2）

（3）（4）

（5）

不同函数的性质（1）二次效用函数拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑资产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到了风险资产定价的线性表达式。但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财富水平后，个体收入的边际效用为负值。对前述（2）中的二次函数中的财富W求导：

因此，只有W在[0，1/b]时，个体的边际效用才会大于零。该函数的A-P绝对风险厌恶系数为：对W求导，

这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是其财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。（2）负指数效用函数如果个体的效用函数为负指数效用函数，则他对风险的厌恶程度与收入无关。因为，其绝对风险厌恶系数为常数：

CARA这种个体在风险资产上的投资量不受其收入水平的影响。

（3）幂函数效用函数的性质幂函数效用函数的相对风险厌恶系数为常数。CRRA（4）对数函数效用函数的性质对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数，且等于1。（具体计算，各人自己完成）

某客户的效用函数为u（w）＝e（－3w），（其中w是财富，并且w）0），那么客户的效用函数是（）型效用函数A．IARAB.DARAC.CARAD.无法判断五、随机占优1.问题的提出设为我们考虑的消费计划集合，消费计划是一个随机变量。同样地，我们可以设J是我们考虑的证券市场上的风险证券的集合，证券j∈J有一个随机未来收益。在人们所拥有的信息只是知道经济行为主体非饱和或风险厌恶的情况下，人们在什么样的条件下可以确定地认为，某一经济行为主体偏好某一消费计划而放弃另一种消费计划，或者偏好某一风险证券而放弃另一风险证券？随机占优（stochasticdominance）可以用于比较消费计划集合中或者证券市场上风险证券集合中任意两个元素的风险程度。但是，这个概念并不同于我们比较任何两种消费计划或任何两个风险证券本身，因为它在消费计划集合或风险证券集合中并没有定义一个完全的顺序关系。

2.一阶随机占优（Afirstdegreestochasticdominates）假设存在这样的一群经济行为主体，他们对于财富或消费的效用函数是连续的增函数，如果所有这些行为主体对于风险资产A和B的选择都是选择A而放弃B或者觉得A与B无差异，那么，我们可以认为，风险资产A一阶随机占优于风险资产B.我们用来表示A一阶随机占优于B。

即对于任何给定的收益率水平，风险资产A的收益率大于这个给定水平的概率至少要同风险资产B的收益率超过同样水平的概率一样大。这样，任何非饱和的经济行为主体将会选择A而非B。假定风险资产A和B的未来收益率落在区间[0，1]中。令分别代表风险资产A和风险资产B的收益率的累积分布函数。如果

成立，则风险资产A一阶随机占优风险资产B