实际问题与二次函数课时2最大利润问题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数

y=ax2+bx+c

的最值由什么决定？最小值最大值二次函数

y=ax2+bx+c

的最值由

a的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.xyOxyO在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？26.4课时2最大利润问题1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.

利用二次函数解决商品利润最大问题

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是

元，销售利润

元.180006000数量关系（1）销售额=售价×销售量；（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售20300(20+x)(300-10x)(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当

时，y=-10×52+100×5+6000=6250.

即涨价5元时，最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售20300(20-x)(300+20x)(20-x)(300+20x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000.6000综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元.②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？当

时,

即降价2.5元时，最大利润是6125元.即：y=-20x2+100x+6000，由以上探索过程，说说如何定价能使利润最大?在解决这类需要分类讨论的利润问题时，我们需要分别求出每种情况下的最大利润，然后进行比较，最终得出最优方案。求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y=-2x+180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；(2)每件小电器销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？解：(1)由题意可得w=(x-50)(-2x+180)=-2x2+280x-9000.∴当x=75时，有最大利润，最大利润为750元．(2)w=-2x2+280x-9000=-2(x-70)2+800，∵销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件，∴75≤x≤90.根据题意，确定自变量的取值范围需根据函数的增减性确定自变量的函数最值，而非在顶点处取最值最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.1.某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当

x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（

）A．160元

B．180元

C．140元

D．200元A2.若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y=-2x2+4x+5，则盈利()A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最大值为6万元B3.某青年公寓有100张床位，每张床位的日租价为10元时，公寓的床位可全部出租.若每张床位的日租价提高1元，则租出的床位就会减少5张，按此种情况，要想获得最大收益，则每张床位的日租价需提高

元.5解：设每张床位的日租价提高x元，总收益为y元.则y=(10+x)(100-5x)=-5(x-5)2+1125.所以当x=5时，总收益y取得最大值1125.故每张床位的日租价需提高5元，才能获得最大收益.4.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.

已知西瓜的成本为

6

元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.

经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y

(千克)与销售单价

x

(元/千克)的函数关系如图所示：(1)

求

y

与

x

的函数解析式；(2)求这一天销售西瓜获得的利润W

的最大值.

O620010008xy1012分析：根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得

y与

x

的函数解析式；根据

总利润

=

每千克利润

×销售量，列出函数关系式配方后根据

x

的取值范围可得W

的最大值.解：(1)当6≤x≤10，设

y与

x

的关系式为y=kx+b(k≠0)由题意得6k

+b

=

1000，10k

+b=

200，｛k=-200，b=2200.｛解得∴y=-200x+2200.当10≤x≤12，y=200故

y与

x

的函数解析式为y=-200x+2200

(6≤x≤10)200(10＜x≤12)｛

O620010008xy1012解：(2)由已知得：

W

=(x-

6)y

当6≤x≤10，W

=(x-

6)y

=

(x-

6)(-200x+2200)=

-200x2+3400x-13200又∵

-200＜0，∴当

时，利润

w有最大值.∵对称轴

O620010008xy1012当10＜x≤12，W