微分中值定理在不等式证明中的应用

微分中值定理在不等式证明中的应用摘要：不等式在初等数学中是最根本的也是最重要的内容之一,微分中值定理也是数学分析中最重要的定理之一.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，总结了微分中值定理在不等式证明中的根本思想和方法。从这些思想和方法中我们可以解决类似的很多问题，对提高证明题和解决问题的能力有很大帮助。关键词：微分中值定理；不等式；证明；应用TheApplicationofMeanValueTheoreminProvingInequalitiesAbstract:InequalitiesisoneofthemostbasiccontentsinElementaryMathematics.MeanValueTheoremwhichiswidelyusedinsolvingmathematicalproblems,isoneofthemostimportanttheoreminMathematicalAnalysis,andisalsotheimportanttoolofresearchmathproblem.ThispapersummarizedsomecommonkindsofmethodsandskillsofapplicationofMeanValueTheoreminproofofInequalitiesbyexemplification,andhighlightedtheelementarythoughtandmethod,contributedimmenselytoimprovingthecapabilityofcertifying.Keywords:MeanValueTheorem;Inequalities;Proof;Application0引言高等数学中,不等式的证明占有重要的一席之地,与一些计算及应用题相比，不等式的证明对数学研究者来说一直是难点，主要是在证明的思路或者在函数的构造上有难度。在研究不等式证明的过程中既开展了学者的数学思维也培养了逻辑思维方面的能力。不等式的证明方法很多，本文归纳出了几种利用微分中值定理来证明不等式的常用方法和技巧。1预备知识1.1拉格朗日中值定理假设函数满足:在闭区间连续;在开区间内可导.那么在内至少存在一点,使。拉格朗日中值定理也称中值公式或拉格朗日公式,它也经常用另一种形式表示，由于是在内的一个中值点,也可表示成的形式,于是定理的结论就可改为在中至少存在一个值,使或。拉格朗日中值定理反映的是函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的一种关系，它都是以等式形式存在的，我们要学会观察拉格朗日中值公式,从而要灵活的理解拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用。1.2柯西中值定理设函数和满足:在上都连续;在内都可导;和不同时为零;,那么存在,使得：柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系，当一个函数取自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以柯西中值定理和拉格朗日中值定理之间有着必然的联系,其转化过程非常巧妙,在研究不等式时,要看清题意,分析题给的条件,确定符合条件所对应的中值定理。2微分中值定理在不等式证明中的应用例1证明:当时,分析：要证不等式即由柯西中值定理有即只要证明，亦即2.1拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用利用拉格朗日中值定理(假设经过简单变形,不等式的一端可写要证明的命题是区间内至少有一点大于(或小于)零,可以尝试使用拉格朗日中值定理。例2设,证明：分析：观察命题结构，可以构造函数,又因为，这可以分区间应用拉格朗日中值定理。在应用拉格朗日中值定理到:=，，又由于.证明也就迎刃而解了。分析过程我们要学会思考、联想和知识迁移。证明：设,那么对于在.由拉格朗日定理知:即由于又所以在应用引理1时，可以先构建辅助函数，并确定使用拉格朗日中值定理的区间，对在上使用拉格朗日中值定理，再根据与之间的关系，对拉格朗日公式加强不等式。对于不能直接应用定理证明的.在利用拉格朗日中值定理进行问题证明时,。主要是构建辅助函数，先结论出发，观察问题特征，分析问题可能用到的辅助函数，最后对问题作相应的变形，这是构造辅助函数关键，有了辅助函数就可以直接应用中值定理得出结论。例3设,均在上连续，证明：分析：在证明不等式过程中，首先要观察其结果的特征，再分析可能要用的辅助函数，然后相应的改变命题的形式，这是构造辅助函数关键.我们经常会将结果变形处理，如将上式变型等价为：，于是我们先考虑左边，可以令其为函数：，通过观察我们知道在上连续，在内可导，进而对其求导，结果为：恒成立，这样的一阶导数都大于0，再通过转换很快得到结果。积分不等式证明除用传统证法外，应用微分中值定理去研究，入手会很方便的。证明：由分析知〔1〕由题意知在上连续，在内可导，那么对进行求导有=〔2〕所以在内，恒成立。由以上条件可知，满足拉格朗日中值定理，那么存在一点使得：〔3〕由〔1〕〔2〕式知：,又因为,由〔3〕式得〔4〕所以〔5〕由〔4〕,〔5〕式得：即.关于拉格朗日中值定理的证明及应用有许多专门的研究,利用拉格朗日中值定理证明不等式有许多方便之处.在利用拉格朗日中值定理在证明不等式，我们要具备构造函数的思想。有些不能直接应用定理进行证明，我们可以用适宜的方法，构造其函数框架，利用拉格朗日中值定理解决问题时,需要构造辅助函数,是证明的关键。所以我们要学会去构建辅助函数。例4设，当时，求证:-.分析：由题意可知，通过变型，不等式可以等价为：，当时结论显然成立，当时，可以选取两区间或，在该区间上可以构造函数，那么对其求导为：，，所以,再结合题意，由于条件满足柯西中值定理，那么就可以利用柯西中值定理进行证明了。证明：由柯西中值定理得,或，即当时，，，即又，故，即-当时，，，即,又,故即-.在应用柯西中值定理时，先可以构造两个辅助函数和，并确定它们使用柯西中值定理的区间；对与在上施用柯西中值定理；再利用与的关系，对柯西公式进行加强不等式。通过分析我们可以知道：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,其主要是构造好有力的函数，对应好定理的条件和区间即可。例5设,证明:分析：观察命题，可以将命题变型，那么原不等式可以等价于㏑,不等式左边可看是函数=与在区间上的改变量的商,所以此题可以用柯西中值定理去证明。证明:原不等式等价于<㏑,取,,显然和在闭区上满足柯西中值定理条件,存在,那么,即=因为，所以,,从而㏑㏑或-㏑因此-㏑,即.经上表达,我们可以看到：研究两个函数的变量关系时，我们就会想到柯西中值定理，在用柯西中值定理证明不等式命题时,关键是要在对结果进行整理变形的根底上,找出满足柯西中值定理的那两个函数。综上可知,在应用柯西中值定理时，导数发挥了很大的作用了，特别是研究函数在区间上的整体形态时，考虑应用柯西中值定理是最适宜的,且它有着广泛的应用性。在拉格朗日中值定理中,如果,那么变成罗尔定理;在柯西中值定理中,如果,那么变成拉格朗日定理。因此,拉格朗日中值定理是罗尔定理的延伸推广,柯西中值定理是拉格朗日定理的延伸推广。在不等式证明中，它们各具特色，为解题提供有力工具。3微分中值定理的推广及应用3.1泰勒定理[5]及其应用假设函数满足如下条件：在闭区间上函数存在直到阶连续导数;在开区间内存在的阶导数，那么对任何，至少存在一点，使得，其中称为拉格朗日余项。这就是函数在点附近的关于的幂函数展开式，也叫泰勒公式。我们都知道，不等式的证明题型多种多样,证明方法灵活多变，如果想证明的不等式中或题设中含有一阶以上的导数时,一般利用泰勒定理比拟方便。泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广,随着研究导数的深入,高阶导数也经常出现,然而也正是泰勒中值定理价值表达之处,去分析高阶导数有关问题时,泰勒中值定理的应用非常广泛。它除了对高阶导数一些简单的应用外,在证明不等式时应用也很方便。特别在某点的函数值或高阶导数符号时,用泰勒公式证明某些不等式较为简便。例6在处满足Taylor定理,那么有其中在与之间.公式证明不等式时先要把所要证明的不等式简化，将函数在某特殊点处展开成Taylor公式，再把公式右边放大或缩小得到所证不等式,对例1由于故显然即当时,成立例7[6]设函数在上具有二阶导数，且,并存在一点，使,证明：至少存在一点使。分析：由题意得，此题是高阶不等式的证明，题干中又出现二阶导数，并有具体某点函数值，就会联想到泰勒中值定理，利用某点展开的泰勒展开式去证明。又因为具有二阶导数,那么可以将在点展开成为一阶泰勒展开式分情况讨论来证明。证明：由题可知，将在点展开为一阶泰勒公式,在与之间(6)当时，在〔6〕式中取，得,在与之间(7)因为，且,如果，所以由〔7〕式可得：因为，，所以，即存在一点，使得：；如果在〔6〕式中取,得，在与之间〔8〕因为,(由)，且,〔假设〕，所以由〔8〕式可得：因为，，所以，即存在一点，使得：综上所述：无论为正还是为负，至少存在一点使，命题得证。利用泰勒中值定理证明不等式(特别是某些含抽象函数的不等式)比拟困难。其原因总体来讲有两种:一是泰勒中值定理的内容本身难理解;二是这种方法证明不等式时对泰勒公式中展开点的选取比拟有讲究,对于不同题目的变动不一样。选取区间的中点展开是较常见,然后在泰勒公式中取为适当的值,通过变形,对某些项进行放缩,就可以将多余的项去掉而得所要的不等式。这就是泰勒中值定理的应用思想。例8设在上满足，证明：分析：通过观察分析，不等式有一点的特征，可以令进行代换，那么命题等价于，即，那么可以在处展开一阶泰勒展开式进行证明。证明：由分析可知，将在处展成一阶泰勒公式,在与之间当=时，亦有，在与之间因为,所以，即有从而于是得即有显然当时，等号成立，命题得证。由以上分析可以知道，泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系，在研究多项式不等式证明时，经常会应用泰勒中值定理，很好的理解泰勒公式,能让我们解决问题时灵活自如，思路开阔许多。泰勒定理主要是讲函数和导数的关系，因此,在应用时注意中值定理成立的条件等因素。3.2柯西中值定理的推广应用例9[8]设函数在上连续，在内三阶可导，而且，证明至少存在一点∈，使得不等式成立。分析：我们知道此题是建立在经典的柯西中值定理的根底上的，是微分中值定理更深入一步的推广，其应用也是非常的广泛的。在应用时要仔细观察条件，通过分析题意及题干的条件可以知道：在区间连续，且三阶可导，那么本命题条件符合此题的条件，这样就要想方法构造符合题意的行列式分式函数，先可以取，由条件可构造函数=，那么命题的证明就可以解决了。证明：由题意分析可知：先可以取，因为在上连续，在内可导，那么在上文的定理可知：=即从而由于那么，那么命题得证。比拟经典的微分中值定理在应用中总体来讲有三种思路：第一积分构造法；第二第三待定因子法;第三原函数法。这三种方法解决了微积中值定理中相关问题的证明.通过研究已有的柯西中值定理的高阶微分形式,结合差分的相关知识,也能解决一些复杂的不等式证明。4结束语当前,微分中值定理证明不等式的运用已经成为数学研究领域中一个被关注的研究课题,受到了学者的普遍重视。作为高等数学中的重要内容,它具有非凡的研究价值,有助于常量数学以及变量数学之间的相互过渡。相较于初等数学中的常用数学方法,利用微分中值定理证明不等式可以增强解题的直观形象