多边形边角关系(思维训练含答案)

知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形分类1：凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类2：多边形 非正多边形： 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6。镶嵌 拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。知识点一：多边形及有关概念

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（1）多边形的一些要素：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（2）在定义中应注意：

①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；

②首尾顺次相连，二者缺一不可;

③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.

2、多边形的分类:

(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.

凸多边形凹多边形

图1

(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角

形是边数最少的多边形．

知识点二：正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形

要点诠释：

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形

知识点三：多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：

(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。

知识点四：多边形的内角和公式

1.公式：边形的内角和为.

2.公式的证明：

证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为.

44．个多边形的每个外角都是300，则这个多边形是边形．45.一个五边形五个外角的比是2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是．63.若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____【答案】665.如图5，四边形ABCD中，若去掉一个60o的角得到一个五边形，则∠1+∠2=_________度．图5图5思路导引：根据题意，结合平角定义以及三角形的内角和，三角形的外角性质进行解答解析：∠1＋∠2=360°－（180°－∠A）=180°＋∠A=240°点评：灵活运用三角形的内角和、三角形的外角以及多边形的内角和、外角和是解答与多边形有关的角度计算问题的基础.66.如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=1200，则∠1+∠2+∠3+∠4=.解析：由于多边形的外角和均为3600，因而∠1、∠2、∠3、∠4及其∠A的领补角这五个角的和为3600，∠A的领补角为600，所以∠1+∠2+∠3+∠4=3600-600=3000.答案：3000.点评：多边形的外角和均为3600，常用这一结论求多边形的边数、外角的度数等问题.69.已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是.【解析】设这个多边形的边数为n，由题意可得，（n-2）×180°=×360°解得，n=5【答案】5.【点评】此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解二、选择题2.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和是2570°,则这个角是(D)A.90°B.15°C.120°D.130°3.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于(B)A.2个B.3个C.4个D.5个4.n边形的边数增加一倍,它的内角和增加(C)A.180°B.360°C.(n-2).180°D.n.180°6、若多边形的边数由3增加到（为正整数），则其外角和的度数（）A、增加B、减少C、不变D、不能确定7、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是（）A、5条B、6条C、7条D、8条8、下列说法错误的个数：（）（1）、任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；（2）、若线段a、b、c满足，以为边能构成一个三角形；（3）、一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是五边形（4）、多边形中内角最多有2个是锐角；（5）、一个三角形中，至少有一个角不小于（6）、以为底的等腰三角形其腰长一定大于（7）、一个多边形增加一条边，那它的外均增加。A、1个B、2个C、3个D、4个9、下列说法中，①等边三角形是等腰三角形；②三角形外角和大于这个三角形内角和；③四边形的内角最多可以有三个钝角；④多边形的对角线有7条，正确的个数有几个()

A．1 B．2 C．3 D．410、如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来那个多边形的边数是()

A．5 B．6 C．7 D．811、a、b、c是三角形的三边长，化简后等于()

A． B． C． D．12、一个n边形削去一个角后，变成(n+1)边形的内角和

为2520°，则原n边形的边数是()

A．7 B．10 C．14 D．1515.某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（C）A.180°B.540°C.1900°D17.如果一个多边形的内角和是它的外角和的n倍，则这个多边形的边数是（D）Ａ.nＢ.2n-2Ｃ.2nＤ.2n+218.一个多边形截去一个角（不过顶点）后，形成的多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（C）Ａ.13Ｂ.14Ｃ.15Ｄ.13或1520.一个多边形中，除一个内角外，其余各内角和是120°，则这个角的度数是（A）Ａ.60°Ｂ.80°Ｃ.100°Ｄ.120°30.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是25200，那么原多边形的顶点数为()A.8B.9C.6D.1042.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于()A.2个B.3个C.4个D.5个44、一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是()毛A.1个B.2个C.3个D.4个45.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是()A.2:1B.1:1C.5:2D.5:446.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有()A.3个B.4个C.5个D.6个47.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能()A.都是钝角;B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角54.如图所示,各边相等的五边形ABCDE中,若∠ABC=2∠DBE,则∠ABC等于()A.60°B.120°C.90°D.45°68.若一个多边形的内角和小于其外角和,则这个多边形的边数是A．3B．4C．5【答案】A69.下列命题是假命题的是A．三角形的内角和是180o．B．多边形的外角和都等于360o．C．五边形的内角和是900o．D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．【答案】C三、简答题1.一个多边形的最大外角为85°,其他外角依次减少10°,求这个多边形的边数.（6）2.已知:如图,五边形ABCDE中,AE//CD,∠A=107°,∠B=121°,求∠C的度数.（132）4.已知:过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,p边形有p条对条线.求(m-p)n.(125)7、如图，求的度数和。（360）9.如图，在六边形ABCDEF中，AF//CD，AB//DE，且，求和的度数A10、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？ADFECBDFECB12、把一副三角板的直角顶点O重叠在一起，1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？（8分）解：1）∵OB平分∠COD∴∠COB=∠BOD=45°∴∠COA=90°-45°=45°∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°2）∵∠AOC+∠BOC=90°∠BOD+∠BOC=90°∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC∴∠AOD+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）+（∠BOD+∠BOC）=90°+90°=180°14.如图7，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的