二章概念与性质七节指数函数

第七节指数函数⁠1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.CONTENTS010203/目录

知识·逐点夯实考点·分类突破课时·过关检测01⁠1.指数函数的概念函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.提醒

形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.2.指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与性质底数a＞10＜a＜1图象⁠⁠性质定义域为

R

⁠，值域为

（0，＋∞）

⁠图象过定点

（0，1）

⁠当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1

增函数

减函数

⁠R

（0，＋∞）

（0，1）

增函数

减函数

提醒

指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究.⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（

）答案：（1）√

（2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.

（

）（3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数.

（

）答案：（2）×

答案：（3）√2.函数f（x）＝1－e｜x｜的图象大致是

（

）解析：A

易知f（x）为偶函数，且f（x）＝1－e｜x｜≤0，A正确.3.（多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是

（

）A.y＝x2C.y＝2xD.y＝3x－1

4.若指数函数f（x）＝（a－2）x为减函数，则实数a的取值范围为

⁠.

解析：∵f（x）＝（a－2）x为减函数，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.答案：（2，3）⁠指数函数图象的特点

（3）在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象越高，底数越大.⁠

解析：A

由结论（3）知选A.2.函数y＝ax－1－1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点

⁠.

解析：由结论（1），在函数y＝ax－1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax－1－1的图象恒过点（1，0）.答案：（1，0）02⁠指数函数的图象及应用【例1】

（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是

（

）A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0解析

（1）由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.答案

（1）D

（2）若函数y＝｜3x－1｜在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为

⁠.

解析

（2）函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在（－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为（－∞，0].答案

（2）（－∞，0]⁠1.（变条件）若本例（2）的条件变为：函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是

⁠.

解析：曲线y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个公共点，则m的取值范围是（0，1）.答案：（0，1）2.（变条件）若本例（2）的条件变为：函数y＝｜3x－1｜＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是

⁠.

解析：作出函数y＝｜3x－1｜＋m的图象如图所示.由图象知m≤－1，即m∈（－∞，－1\〗.答案：（－∞，－1\〗｜解题技法｜指数函数的图象及其应用要点（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断；（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象；（3）根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断.⁠1.（多选）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应的是（

）

2.（多选）已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中可能成立的是（

）A.0＜b＜aB.a＜b＜0C.b＜a＜0D.a＝b解析：ABD

作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项正确.b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D.指数函数的性质及应用考向1

比较指数式的大小

A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.b＞a＞cD.c＞b＞a

答案

（1）D

（2）若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是

（

）A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0解析

（2）∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb①，令f（x）＝ex－π－x，则f（x）是R上的增函数，①式即为f（a）≥f（－b），∴a≥－b，即a＋b≥0.答案

（2）D｜解题技法｜比较指数式大小的方法（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.考向2

解简单的指数方程或不等式

D.[2，＋∞）

答案

（1）B

｜解题技法｜指数方程或不等式的解法（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）；（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.考向3

指数型函数性质的综合问题

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值.

｜解题技法｜指数型函数问题的求解策略对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af（x）的函数的单调性，它的单调区间与f（x）的单调区间有关：若a＞1，函数f（x）的单调增（减）区间即函数y＝af（x）的单调增（减）区间；若0＜a＜1，函数f（x）的单调增（减）区间即函数y＝af（x）的单调减（增）区间.⁠1.下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性、奇偶性均一致的是

（

）A.y＝sinxB.y＝x3D.y＝log2x解析：B

由题意可知，函数y＝2x－2－x的定义域为R，且是R上的奇函数，并在R上单调递增，所以满足上述条件的函数只有y＝x3，故选B.2.若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是

（

）A.f（－4）＞f（1）B.f（－4）＝f（1）C.f（－4）＜f（1）D.不能确定解析：A

由题意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指数函数的单调性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）.

（1）求a的值；

03⁠1.函数y＝ax－a（a＞0，且a≠1）的图象可能是

（

）解析：C

当x＝1时，y＝0，故函数y＝ax－a（a＞0，且a≠1）的图象必过点（1，0），显然只有C符合.2.下列函数中值域为正实数集的是

（

）A.y＝－5xD.y＝3｜x｜解析：B

A项中y＜0，C项中y≥0，D项中y≥1，只有B项正确.故选B.3.已知a＝0.22，b＝30.3，c＝log40.4，则

（

）A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.c＜a＜bD.c＜b＜a解析：C

因为0＜0.22＜0.20＝1，30.3＞30＝1，log40.4＜log41＝0，所以c＜a＜b，故选C.

A.[1，2]B.[1，3]C.（－∞，2]D.[2，＋∞）

5.已知函数f（x）＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝n－mx的图象不经过

（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：C

∵f（x）＝ax－2＋1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（2，2），∴m＝n＝2，∴g（x）＝2－2x，∴g（x）为减函数，且其图象过点（0，1），∴g（x）的图象不经过第三象限.故选C.

A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）在R上单调递增D.f（x）在R上单调递减

7.已知函数f（x）＝a－x（a＞0，且a≠1），且f（－2）＞f（－3），则a的取值范围是

⁠.

答案：（0，1）

答案：19.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上单调递增的函数f（x）＝

⁠.

10.已知函数f（x）＝2x的定义域是[0，3]，设g（x）＝f（2x）－f（x＋2）.（1）求g（x）的解析式及定义域；

（2）求函数g（x）的最大值和最小值.解：（2）g（x）＝（2x）2－4×2x＝（2x－2）2－4.因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，所以当2x＝2即x＝1时，g（x）取得最小值－4；当2x＝1即x＝0时，g（x）取得最大值－3.⁠11.已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa－1在（0，＋∞）内单调递减，则在