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第四节矩和协方差矩阵在数学期望一讲中，我们已经介绍了矩和中心矩的概念.这里再给出混合矩、混合中心矩的概念.1协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.称它为X和Y的k+L阶混合（原点）矩.若存在，称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.设X和Y是随机变量，若k,L=1,2,…存在，可见，2协方差矩阵的定义

将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式:称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.这是一个对称矩阵3

类似定义n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.下面给出n元正态分布的概率密度的定义.为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵称矩阵都存在,i,j=1,2,…,n若4f(x1,x2,…,xn)则称X服从n元正态分布.其中C是(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.|C|是它的行列式，

表示C的逆矩阵，X和

是n维列向量，

表示X的转置.

设

=(X1,X2,…,Xn)是一个n维随机向量,若它的概率密度为5n元正态分布的几条重要性质1.X=(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布a1X1+a2

X2+…+anXn均服从正态分布.对一切不全为0的实数a1,a2,…,an，6n元正态分布的几条重要性质2.若

X=(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，

Y1,Y2,…，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数，则(Y1,Y2,…，Yk)也服从多元正态分布.这一性质称为正态变量的线性变换不变性.7n元正态分布的几条重要性质

3.设(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，则“X1,X2,…,Xn相互独立”等价于“X1,X2,…,Xn两两不相关”8例2

设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的任意线性组合是正态分布.解:X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y独立,Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5即

Z~N(E(Z),Var(Z))Z~N(5,32)9故Z的概率密度是Z~N(5,32)10这一讲我们介绍了协方差和相关系数相关系数是刻划两个变量间线性相关程度

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