2024届高考数学二轮复习专题七函数与导数学案

专题七函数与导数第一讲函数——小题备考微专题1函数的图象与性质常考常用结论1．单调性的常用结论(1)对于f(x)±g(x)增减性质进行判断(在相同定义域内)：增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．(2)对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断．2．奇偶性的三个常用结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．3．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a((3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(4．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．5．函数图象的变换规则(1)平移变换将y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；将y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x)＋a的图象．(2)对称变换①作y＝f(x)关于y轴的对称图象得到y＝f(－x)的图象；②作y＝f(x)关于x轴的对称图象得到y＝－f(x)的图象；③作y＝f(x)关于原点的对称图象得到y＝－f(－x)的图象；④将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象，合起来得到y＝|f(x)|的图象；⑤将y＝f(x)在y轴左侧部分去掉，再作右侧关于y轴的对称图象，合起来得到y＝f(|x|)的图象．1.[2023·山东德州三模]函数f(x)＝xln2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式f-x-fA．[－2，0]∪B．(－∞，－2]∪C．(－∞，－2]∪D．[－2，0)∪3．[2023·全国甲卷]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋π2)为偶函数，则a1.(1)[2023·河南开封三模]函数f(x)＝(x－1x)cosx在[－3π2，0)(2)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为()A．(－∞，－)∪B．(－∞，－1)∪(53，＋C．(－53D．(－1，53技法领悟1．根据函数解析式判断函数图象的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．2．利用函数性质解题的策略(1)具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．(2)利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[巩固训练1](1)[2023·河北秦皇岛一中二模]函数f(x)＝x＋cosx(2)[2020·新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪B．[－3，－1]∪C．[－1，0]∪D．[－1，0]∪微专题2基本初等函数常考常用结论1．指数与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)logaMN＝logaM－logaN(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝logb注：a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.2．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，1a)；在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠3．换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba；2logam其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.4．在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(1a1.[2023·天津卷]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>bB．c>b>aC．a>b>cD．b>a>c2．[2022·北京卷]已知函数f(x)＝11+2xA．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝0C．f(－x)＋f(x)＝1D．f(－x)－f(x)＝13．[2023·安徽蚌埠三模]标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二种”，即1000052，下列数据最接近336110000A．10－37B．10－36C．10－35D．10－342.(1)[2023·山东聊城三模]设a＝0.20.5，b＝0.50.2，c＝log0.50.2，则()A．a>c>bB．b>c>aC．c>a>bD．c>b>a(2)函数y＝loga|x＋2|在(－2，0)上是单调递增的，则此函数在(－∞，－2)上是()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增(3)(多选)已知a、b分别是方程2x＋x＝0，3x＋x＝0的两个实数根，则下列选项中正确的是()A．－1<b<a<0B．－1<a<b<0C．b·3a<a·3bD．a·2b<b·2a技法领悟1．三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象或作差(作商)比较大小．2．对指数型、对数型函数的图象与性质问题(单调性、大小比较、零点等)的求解往往利用指数、对数函数的图象，通过平移、对称变换得到图象，然后数形结合使问题得以解决．[巩固训练2](1)[2023·广东深圳模拟]已知a＝log32，b＝π8，cA．a<c<bB．c<a<bC．a<b<cD．b<c<a(2)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是()A.a＋b<0B．ab<－1C．0<ab<1D．loga|b|>0(3)已知函数f(x)＝2x-a微专题3函数的应用常考常用结论1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．1.[2023·河北唐山一模]已知函数f(x)＝(52)x-1，x≤24-x，x>2，则函数g(xA．1B．2C．3D．42．[2023·安徽合肥二模]Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t关系时，得到的Malthus模型是N(t)＝N0e0.46t，其中N0是t＝t0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln6.3≈1.84)()A．2B．3C．4D．53.(1)[2023·山东济南三模]已知函数f(x)＝(x+1)2，x≤0|lg⁡x|，x>0若函数g(x)＝f(x)－bA．(0，1]B．[0，1]C．(0，1)D．(1，＋∞)(2)“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，A．75B．74C．73D．72技法领悟1．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．2．解决函数实际应用题要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．[巩固训练3](1)[2023·安徽合肥二模]昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足lny＝－12lnt－ktx2＋a，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为m2A．3B．4C．5D．6(2)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f(x＋1)是偶函数，g(x)＝(x－1)f′(x)－1恰有四个零点，则这四个零点的和为________.第二讲导数——小题备考微专题1切线问题常考常用结论1．函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．用好这个条件是解决切线问题的关键．2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．3．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1.设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x2．[2023·河北保定模拟]若直线3x＋y－a＝0是曲线y＝12x2－4lnx的一条切线，则实数aA．12B．32C．53．[2023·河南开封一模]已知函数f(x)＝ax2＋(x2－2x＋3)ex，无论a取何值，曲线y＝f(x)均存在一条固定的切线，则该切线方程为________．1.(1)[2023·黑龙江哈尔滨三中模拟]已知函数f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝ln(e2x)，若直线y＝kx＋b为f(x)和g(x)的公切线，则b等于()A．12C．2－ln2D．－ln2(2)[2022·新高考Ⅱ卷]曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．解决此类问题通常有两种方法1．利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；2．设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝fx[巩固训练1](1)[2023·山东潍坊三模]若P为函数f(x)＝12ex－3x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f(xA．[0，2π3)B．(πC．(2π3，π)D．[0，π(2)[2023·河北唐山三模]已知曲线y＝lnx与y＝ax2(a>0)有公共切线，则实数a的取值范围为________．微专题2导数与不等式常考常用结论1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．1.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(12，＋∞)上单调递增，则kA．(12，＋∞)B．[2，＋∞C．(14，＋∞)D．[4，＋∞2．[2023·辽宁实验中学模拟]已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若对任意x∈R有f′(x)>1，f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(0)＝－2，则不等式f(x－1)>x－1的解集为()A．(4，＋∞)B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)＋f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，则下列不等式一定成立的是()A．fππ<feeC．πf(π)<ef(e)D．πf(π)>ef(e)2.(1)[2023·河北石家庄一模]已知a＝27，b＝ln1.4，c＝e0.2A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a(2)[2023·全国乙卷]设a∈(0，1)，若函数f(x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．1．利用导数比较大小或解不等式的常见技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2．由函数的单调性求参数取值范围的策略(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f'[巩固训练2](1)[2023·河南驻马店二模]已知a＝e0.1－e－0.1，b＝ln1.21，c＝0.2，则()A．b<a<cB．c<b<aC．a<c<bD．b<c<a(2)若关于x的不等式sinx－x≥ax，对x∈[0，π]恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，1]C．(－∞，－4π)D．(－∞，4微专题3极值与最值常考常用结论1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．2．在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．在[a，b]上的连续函数y＝f(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．3．单调函数没有极值，如果一个函数没有极值，则该函数是单调函数或者常函数．4．开区间内的单调函数没有极值．1.函数f(x)＝x3＋ax在x＝1处取得极小值，则极小值为()A．1B．2C．－2D．－12．[2023·辽宁葫芦岛二模]已知函数f(x)＝2sinx(1＋cosx)，则f(x)的最大值是________．3．[2023·河南濮阳模拟]若函数f(x)＝ex－ax2－a存在两个极值点x1，x2，且x2＝2x1，则a＝________．3.(1)[2023·全国甲卷]函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－∞，－3)C．(－4，－1)D．(－3，0) (2)[2023·河北石家庄一模]已知函数f(x)＝sinx1+cosx+81-技法领悟1．求函数极值时，不要误把极值点代入导函数中．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[巩固训练3](1)[2023·山东烟台二模]若函数f(x)＝lnx＋12x2＋ax有两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)≤A．a≥42B．a≥22C．a≤－22D．a≤－42(2)[2023·安徽模拟]已知函数f(x)＝ex＋2x，g(x)＝4x，且f(m)＝g(n)，则|n－m|的最小值为________．第三讲函数与导数——大题备考对函数与导数大题的考查，多以对数函数、指数函数为载体，从含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等方面进行设计，解题时需要对参数分类讨论，往往比较复杂，难度较大．微专题1不等式恒(能)成立问题1.已知函数f(x)＝lnx＋ax(a为常数)，若不等式f(x)≥1在x∈(0，2]上恒成立，求实数a2．已知函数f(x)＝2ax－2lnx，g(x)＝x－2，都有g(x)≤f(x)，求a的取值范围．[2023·全国甲卷]已知函数f(x)＝ax－sinxcos3x，x(1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围．2.[2023·河南联考]已知函数f(x)＝ax2＋2lnx(a>0)，g(x)＝x3－x(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x1∈(0，2]，都存在x2∈[1，2]，使得x1f(x1)≥g(x2)成立，试求实数a的取值范围．不等式恒成立(能成立)问题的解题策略1．对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化．2．“恒成立”与“能成立”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍．[巩固训练1][2023·山东青岛模拟]已知函数f(x)＝ex－a－lnx.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在x0∈[e，＋∞)，使f(x0)<0成立，求a的取值范围．微专题2不等式证明问题3.[2021·新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)＝x(1－lnx).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb＝a－b，证明：2<1a4.[2022·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝xeax－ex.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：112+1+1221．证明单变量不等式的方法(1)利用单调性证明单变量不等式一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可．(2)利用最值证明单变量不等式利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x).证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再次转化为证明hxmin>0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的符号，从而判断其单调性，并求出函数h(2．证明双变量函数不等式问题的策略(1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式．(2)整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等