复旦大学数学分析答案

复旦大学数学分析答案【篇一：复旦大学2009年数学分析考研真题】s=txt>一．填空题xln(1?x)=_____x?01?cosxy(1?x)(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程x（1）lim（3）设?是锥面(0?z?1)的下侧，则???xdyd?z2ydz?d3x(?1z)d?xdy____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____(5)设a=??21??,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____??12?(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则p{max(x,y)?1}?____一、选择题（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f(x)?0，f(x)?0，?x为自变量x在x，处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若?x?0，则（）（a）0?dx??y（b）0??y?dy（c）?y?dy?0（d）dy??y?0（2）设f(x,y)为连续函数，则（a）（c）??d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（）1nxf(x,y)dy（b）0f(x,y)dyf(x,y)dx0yf(x,y)dx（d）0（3）若级数?an?1??收敛，则级数（）（a）?an?1?n收敛（b）?(?1)a收敛nnn?1??（c）?anan?1收敛（d）?n?1an?an?1收敛2n?1（4）设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（a）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（b）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（c）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（d）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（5）设?1,?2,?,?s都是n维向量，a是m?n矩阵，则（）成立（Ａ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｂ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（Ｃ）x2在x?0是可微的。习题4.2导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。f(x0?(??x))?f(x0)(??x)??f(x0)。limh?0f(x0?h)?f(x0?h)h解(1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0)?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0)x?x0x?x0?0?f(x0)。limf(x0?h)?f(x0?h)hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解(1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。(4)抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由(1)可知不存在x，使得f(x)??，所以这样的点(a,b)不存在。3．设f(x)为(??,??)上的可导函数，且在x?0的某个邻域上成立f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小。求曲线y?处的切线方程。解记f(x)?由limlimf(x)xx?0f(x)在(1,f(1))可得limf(x)??2f(1)?0，即f(1)?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)，x?0。?lim8x??(x)xx?0?8与，f(x)xx?0?f(1?sinx)?f(1)sinx??f(1?sinx)?f(1)sinx??lim???3lim??4f(1)???x?0x?0sinxx?sinxx???得到f(1)?2。于是曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?2(x?1)。4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一个焦点。（见图4.2.5）证设椭圆方程为xa22?yb22?1，a?b?0，焦点坐标为a?b22(?c,0),c?。假设(x0,y0)为椭圆上任意一点，当y0斜率为tan???bx0ay022?0时结论显然成立。现设y0?0，则过此点的切线y0x0?c22，(x0,y0)与焦点(?c,0)连线的斜率为tan?1?，和此连线与切线夹角的正切为kx0a22?tan?1?tan?1?tan?1tan?。利用c2?a?b?y0b22?1代入计算，得到y0k?x0?c1?y0?bx0ay0?bx02222?ay0?bx0?cx0b22222222(a?b)x0y0?acy0?ab?cx0b22222cx0y0?acy0?b2cy0。x0?cay0(x0,y0)与另一焦点(c,0)连线的斜率为tan?2?y0x0?c，此连线与切线夹角的正切为tan??tan?21?tan?tan?2??bx0ay0y022?y0x0?cbx02?cx0b?ay0?bx0222222221??2x0?cay0(a?b)x0y0?acy0?cx0b?ab22222cx0y0?acy0?b2cy0?k。由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。5．证明：双曲线xy?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三2角形的面积恒为2a。证假设(x0,y0)为双曲线上任意一点，则x率为yx??y0?a2，过这一点的切线斜a22x0??y0x0，切线方程为y?y0??y0x0(x?x0)，易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y0)和(2x0,0)。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为s?12(2y0)(2x0)?2x0y0?2a2。6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。⑴y⑶y?|sinx|；⑵y??cosx；?e?|x|；?f(x)?|sinx|⑷y?|ln(x?1)|.解（1）对y，当x?0时，f?(0)?lim|sin?x|?|sin0|?x|sin?x|?|sin0|?x?x?0??limsin?x?x?x?sin?x?x?0??1，??1，f?(0)?lim?x?0??lim?x?0?所以x?0是不可导点。又由于函数y是周期为?的函数，所有不可导点为x?k?（2）y为x?2k?(k?z)，且f??(k?)??1，?f(x)?f??(k?)?1。?x2?，由（1）可知不可导点2(k?z)，且经计算得到f??(2k?)???|x|，f??(2k?)?2。（3）y??f(x)?e不可导点只有x?0，且e??xf(0)?lim?1?x?0??x??1，f(0)?lim?e?x?1?x?0??x?1。（4）y?f(x)?ln(x?1)f?(0)?limf?(0)?lim不可导点只有x?0，且?1，?x?ln(?x?1)?lim??1。?x?0??x?lim?x?0?|ln(?x?1)|?ln1?x|ln(?x?1)|?ln1?xln(?x?1)?x?0??x?0?7．讨论下列函数在x⑴⑶?|x|1?asiny???0,1x?0处的可导性：,(a?0)x?0,x?0;⑵⑷?x2,y???ax?b,a??ex2,y????0,x?0,x?0;x?0,x?0.?xex,y??2?ax,x?0,x?0;1?a解（1）?