福建省2020届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列十六

PAGEPAGE1福建省2020届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列十六极坐标与参数方程典例剖析与资源推送（福建省高三毕业班复习教学指导组卢燕霞执笔整理）一、典型问题剖析典型问题一：两种“互化”及其应用【例18】（2013全国卷23）已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解析】(Ⅰ)将消去参数t，化为普通方程，即.将代入得.所以的极坐标方程为.(Ⅱ)的普通方程为.由解得或所以与交点的极坐标分别为，.【评析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及利用“互化”解决有关曲线交点的问题.解题的关键在于两种“互化”相关公式的理解与熟练掌握.典型问题二：利用参数方程解决问题【例19】（2014全国卷23）已知曲线，直线（为参数）（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】（Ⅰ）曲线的参数方程为：（为参数），直线l的普通方程为：.（Ⅱ）在曲线C上任意取一点P(2cos,3sin)到l的距离为，则，其中为锐角．且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为.【评析】本题解题的关键之一在于将的最值问题，转化为点P到直线的距离的最值问题，其二在于确定P点的坐标形式，通过椭圆的参数方程设点，进而利用三角函数有界性解决问题，解题过程轻松、快捷.典型问题三：利用的几何意义解决问题【例20】(2016全国卷Ⅱ22)在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【解析】（Ⅰ）由，得，因为，所以的极坐标方程为.（Ⅱ）设对应的极径分别为，则得，，所以，由得，所以的斜率为或．典型问题四：极坐标与参数方程的综合应用 【例21】（厦门市2018届高三上学期期末质检）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，为上两点，且，设射线，其中.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）求的最小值.【解析】（Ⅰ）将的方程化为直角坐标方程为，即.将，代入可得化简得（Ⅱ）根据题意：射线的极坐标方程为或.，则，当且仅当，即时，取得最小值.故的最小值为.【评析】射线的极坐标方程有两种情况，容易忽视的情形，另外应用均值不等式求最值，要注意取等号的条件。【例22】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．(Ⅰ）求抛物线的方程；(Ⅱ）动直线恒过点与抛物线交于A、B不同两点，与轴交于C点，请你观察并判断：在线段MA，MB，MC，AB中，哪三条线段的长总能构成等比数列？说明你的结论并给出证明．【解析】（Ⅰ）∵椭圆方程为：，∴，所以，即椭圆的右焦点为（1,0），因为抛物线的焦点为（，0），所以＝2，则抛物线的方程为．（Ⅱ）先特殊化：当直线MA过抛物线的焦点F时，此时F与C重合，直线MA方程为x+y=1,设点M,A,C,B是满足条件依次从上到下排列的点.由由此可得即可得所以，成等比数列.猜想：成等比数列，证明如下：依题意，，直线的斜率必然存在．设直线：，则C（－，0），由得，因为△＝，所以k＜1.用直线的参数方程容易表达MA、MB的长，设直线MA的参数方程为代入抛物线中，整理得所以所以,即成等比数列.【评析】第(Ⅱ）问中究竟哪三条线段总能构成等比数列，显然讨论的情况不少，但如果能用特殊化计算出线段MA，MB，MC，AB的值，便不能得出构成等比数列的三条线段，再给出一般性的证明，问题便解决了。值得注意的是，本题是解析几何的问题，本来不应该出现在这里，想说的是利用参数方程证明能给问题的顺利解答带来了方便。二、资源推送【练习1】（荆州中学2018届高三5月模拟）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等比数列．（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）已知,是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求的值．【解析】（Ⅰ）设，，则由成等比数列，可得，即，．又满足，即，∴，化为直角坐标方程为．（Ⅱ）依题意可得，故，即直线倾斜角为，∴直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程，得，故，，∴．【练习2】在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设，，若与曲线分别交于异于原点的两点，求的面积.【解析】（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25，即x2+y2-6x-8y=0．∴C的极坐标方程为．（Ⅱ）把代入，得，∴．把代入，得，∴．∴S△AOB．【练习3】（三明市2018届高三5月质量检查）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求．【解析】解法一：（Ⅰ）由得的普通方程为，又因为，所以的极坐标方程为．（或）由得，即，所以的直角坐标方程为．（Ⅱ）设的极坐标分别为，则，由消去得，化为，即，因为，即，所以，或，即或所以．解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆． 6分将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，，整理得，，解得或．设对应的参数分别为，则．所以，又因为是圆上的点，所以。解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆．又由①得的普通方程为，则点到直线的距离为， 所以，所以是等边三角形，所以，又因为是圆上的点，所以。【练习4】（宁德市2018届高三第二次（5月）质量检查）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；（Ⅱ）当变化时，设的交点的轨迹为．若过原点，倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值．【解析】解法一：（Ⅰ）由：，得，即，曲线化为一般方程为：，即，化为极坐标方程为：．（Ⅱ）由及，消去，得曲线的极坐标方程为．将代入曲线的极坐标方程，可得，故，，故．（或由得得，故。解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）由及，消去，得曲线的直角坐标方程为．设直线的参数方程为（为参数），与联立得，即，故，，∴．（或由得，得，∴．【练习5】（龙岩市2020届高三第一学期期末质检）在直角坐标系中，曲