MBA数据模型与决策：目标规划

目标规划前面六章出现的所有线性规划模型都只有一个最大化或最小化的单一目标，然而对于一个实际的管理决策问题，组织决策者经常有多个目标，这些目标与除利润或成本之外的其他要素相关。比如，在最大化利润的同时，一个面临工人罢工危机的公司可能想尽量避免员工失业；或者一个即将因环境污染而被政府环境管理部门处罚的公司可能要考虑最小化环境污染的扩散。本章内容

§7.1目标规划的提出§7.2目标规划的基本概念与数学模型§7.3应用EXCEL和LINGO求解目标简介

规划及应用举例§7.1目标规划的提出目标规划（Goalprogramming）是在线性规划的基础上为适应管理中的多目标决策需要而逐步发展起来的一个运筹学分支。

目标规划是线性规划的变形，与线性规划不同的是，目标规划中的目标函数考虑不止一个目标。目标规划的建模过程和线性规划模型一样，都有线性约束条件和一个线性目标函数，典型的求解方法也和线性规划模型极其相似。

例1

某工厂生产A、B两种产品每件所需的劳动力分别为4个工时和6个工时，所需设备的单位台时均为1。为了应对近一年来的全球金融危机造成的恐慌，让员工感觉工作量饱满，保证员工情绪稳定，厂领导最近决定每周的总人工工时都要超过一定的标准。根据这一要求，下周还至少还要通过生产A、B这两种产品提供70个工时的工作。另外，根据生产计划的安排，该厂下周有10个单位尚未安排的机器台时可供制造这两种产品。已知生产每件产品A的利润为500元，每件产品B的利润是300元。试问：该厂在下周各应生产多少件A、B产品，才能尽可能满足管理层所希望实现的以下三个目标：①总利润最大；②所需工时最大；③所需机器台时最小。

解：设该厂能生产A、B产品的数量分别为

件，则问题可描述为如下：

这个问题有三个目标函数，其中前两个目标和第三个目标还是冲突的，无法同时达到。更为严重的是约束式之间也是冲突的，所以可行域是空集（如图7.1所示），因而该问题无解。但该厂要增加利润，不可能不生产A、B两种产品，为了员工工作饱满，更需要开工生产，而线性规划模型无法为其找到一个合适的方案。图7.1例1问题的可行域

例2

某厂为进行生产需采购A、B两种原材料，单价分别为70元/公斤和50元/公斤。现要求购买资金不超过5000元，总购买量不少于80公斤，而A原材料不少于20公斤。问如何确定最好的采购方案，既可以使花掉的资金最少，又能使购买的总量最大？解：这是一个含有两个目标的数学规划问题。设

分别为购买两种原材料的数量（公斤），

为花掉的资金，

为购买的总量。建立该问题的数学模型形式如下：

对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案。极可能的结果是，第一个方案使第一目标的结果值优于第二方案，同时第二方案使第二目标的结果值优于第一方案。也就是说很难找到一个最优方案，使两个目标的函数值同时达到最优。另外，对于多目标问题，还存在有多个目标存在有不同重要程度的因素，而这也是线性规划所无法解决的。

在线性规划的基础上，建立了一种新的数学规划方法——目标规划，用于弥补线性规划的上述局限性。

总的来说，目标规划和线性规划的不同之处可以从以下几点反映出来：1、线性规划只能处理一个目标，目标规划能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得切合实际需求的解。2、线性规划是求满足所有约束条件的最优解。目标规划是要找一个满意解，即使在相互矛盾的约束条件下也找到尽量满足约束的满意解，即满意方案。3、线性规划的约束条件是不分主次地等同对待，是一律要满足的“硬约束”。目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑。所以，目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多实际问题。目标规划的应用范围很广，包括生产作业计划、投资决策优化、市场战略、人力资源管理、环境保护、土地利用规划等。§7.2目标规划的基本概念与数学模型§7.2.1目标规划的基本概念1偏差变量对于例1中的问题，造成无解的关键在于约束条件太死板。设想把约束条件“放松”，比如机器的可用台时可以多于10的话，或者员工的工时可以少于70的话，机时约束和工时约束就可以不再发生矛盾。因此，目标规划引入了正、负偏差的概念，来表示决策值与目标值之间的差异，可以将目标函数转化为目标约束。所谓目标值就是预先给定的某个目标的一个期望值。决策值是当决策变量确定以后，目标函数对应值。§7.2.1目标规划的基本概念——正偏差变量，

表示决策值超出目标值的部分，下标

表示目标约束的编号。目标规划里规定

；——负偏差变量，表示决策值未达到目标值的部分，目标规划里规定

。在例1的问题中，为了表示员工工作不饱满的可能性，把线性规划的工时约束条件

转化为：

转化后的约束叫目标约束。新增两个偏差变量

、

，分别表示工时少于或者多于70小时的数量。

可以认为

表示员工空闲，

表示员工加班。

(7.1)§7.2.1目标规划的基本概念例如，如果

，

，总工时为42小时，把这些值替换到目标约束（7.1）中：因为用掉的工时是42小时，所以员工空闲28小时（70-42=28)。此时，若令,

（因为显然没有加班），可使等式（7.2）和（7.3）成立。

(7.3)

(7.2)§7.2.1目标规划的基本概念考虑

，

的情况，这意味着总工时消耗为80小时，高于目标10小时，多出的10小时为加班时间。因此

（因为没有员工空闲）。以上的讨论可以看出，正负偏差变量中至少有一个为零。因为员工的工时不可能同时少于和多于70小时。当然，当工时消耗时间等于70小时的时候，

和

可以同时等于0。所以，在实际操作中，当目标值确定时，所作的决策只可能在以下三种情况中出现：（1）决策值超过了目标值，表示为

，

；（2）决策值未达到目标值，表示为

，

；（3）决策值恰好等于目标值，表示为

，

。以上三种情况，无论哪种情况发生，均有

。

§7.2.1目标规划的基本概念2绝对约束与目标约束绝对约束也称系统约束，是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，它对应于线性规划模型中的约束条件。不满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是“硬约束”。目标约束是目标规划所特有的，它把约束右端项看作要求的目标值，进行决策时，允许与目标值存在正或负的偏差，因此它们是“软约束”。目标约束中加入了正、负偏差变量，如约束（7.1）。再以例1为例，假定该企业计划利润值为5000元，那么对于目标函数

§7.2.1目标规划的基本概念再以例1为例，假定该企业计划利润值为5000元，那么对于目标函数

,可变换为。该式表示决策值与目标值5000之间可能存在正或负的偏差（请读者分别按照上面所讲的三种情况来理解）。绝对约束也可根据问题的需要变换为目标约束。此时将约束右端项看作所追求的目标值。如例1中的第二个约束，可变换为目标约束

。§7.2.1目标规划的基本概念3目标规划的目标函数对于满足绝对约束与目标约束的所有解，从决策者的角度来看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好。因此目标规划的目标函数是与正、负偏差变量密切相关的函数，我们表示为

。它有如下三种基本形式：（1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都尽可能地小。此时，构造目标函数为：

（2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，正偏差变量尽可能地小。此时构造目标函数为：§7.2.1目标规划的基本概念（3）求超过目标值，即超过量不限，负偏差变量尽可能地小。此时构造目标函数为：

在这三种基本形式下面可以根据实际需要进行组合运用。§7.2.1目标规划的基本概念4优先因子与权系数一个规划问题往往有多个目标。决策者在实现这些目标时，存在有主次与轻重缓急的不同。对于有K级目标的问题，按照重要程度排序，并用优先因子

来标记。即最重要的目标赋予优先因子P1

，第二重要的目标赋予优先因子P2

，……，最不重要的目标赋予优先因子Pk

。并规定

符号“”表示“远大于”，也就是

和

不是一个级别的量，前者比后者有更大的优先权。这些优先因子在量化时可以用充分大的数来实现，即同时要满足下面的条件。§7.2.1目标规划的基本概念

其中，M是一个充分大的正数。这样，只有上一级目标实现以后，才能忽略M的影响，否则目标偏离量会因为M的原因而无穷放大。实际上优先因子

是对偏离目标值的惩罚系数，优先级别越高，惩罚系数越大。权系数

用来区别具有相同优先级别的若干目标。在同一优先级别中，可能包含有两个或多个目标，它们的正负偏差变量的重要程度有差别，此时可以给正负偏差变量赋予不同的权系数

和

。各级目标的优先次序及权系数的确定由决策者按具体情况给出。

§7.2.2目标规划的数学模型综上所述，目标规划模型由目标函数、目标约束、绝对约束以及变量非负约束等几部分构成。假设模型有L个目标，K个优先级（

），同一优先级的正负偏差变量的权系数也有所区别，分别是

和(,)。则目标规划问题的一般数学模型可描述为：

目标函数

s.t.目标约束()

绝对约束()非负约束()()§7.2.2目标规划的数学模型例3在例1中，假定目标利润不少于5000元，为第一目标；占用的人工尽量不少于70工时，最好能超过70工时，为第二目标；因为设备有限，希望最好不超过10机器台时，为第三目标。试建立其目标规划模型。解：按决策者的要求分别赋予优先因子

,模型如下：

§7.2.2目标规划的数学模型例4某纺织厂生产A、B两种布料，平均生产能力均为1千米/小时，工厂正常生产能力是80小时/周。又A布料每千米获利2500元，B布料每千米获利1500元。已知A、B两种布料每周的市场需求量分别是70千米和45千米。现该厂确定一周内的目标为：第一优先级：避免生产开工不足；第二优先级：加班时间不超过10小时；第三优先级：根据市场需求实现最大的销量；第四优先级：尽可能减少加班时间。试建立该问题的目标规划模型。

§7.2.2目标规划的数学模型解：设

分别为生产A、B布料的小时数。对于第三优先级目标，根据A、B布料利润的比值

，取二者达到最大销量的权系数分别为5和3。该问题的目标规划模型为：

§7.2.2目标规划的数学模型综上所述，目标规划建立模型的步骤为：1、根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；2、根据决策者的需要将某些或全部绝对约束转换为目标约束，方法是绝对约束的左式加上负偏差变量和减去正偏差变量；3、给各级目标赋予相应的优先因子

；4、对同一优先级的各目标，再按其重要程度不同，赋予相应的权系数

和

；5、根据决策者的要求，各目标按三种情况取值：①恰好达到目标值，取

；②允许超过目标值，取

；③不允许超过目标值，取

。然后构造一个由惩罚系数、权系数和偏差变量组成的、要求实现极小化的目标函数。

§7.3应用EXCEL和LINGO求解目标简

介规及应用举例§7.3.1一般目标规划问题本章讲到的目标规划问题属于线性规划问题。我们定义的一般目标规划问题符合下列条件：优先因子

可以用数值表示，能够使

成立（其中M是一个充分大的正数），且模型在计算机计算精度要求的范围内。用来区分无法为优先因子赋具体值的分层目标规划问题。一般目标规划的解法和前几章讲到的线性规划问题没有本质的区别，只是问题的规模变大了一点，在EXCEL电子表格中建模的时候需要一点技巧才能使模型可读性更好。§7.3.1一般目标规划问题例5用EXCEL求解例3的目标规划模型。

§7.3.1一般目标规划问题

§7.3.1一般目标规划问题例6用EXCEL求解例4的目标规划模型。

§7.3.1一般目标规划问题

§7.3.2分层目标规划问题尽管可以使用上述方法为优先因子赋值，但对于不同目标约束系数复杂、优先级别较多的情况，因为计算机的精度所限，仍然会有难找合适的数字来同时量化不同级别的优先因子的情况，所以只好对高一级的目标优先求解。假设建立好的目标规划模型为

，有k个优先级，第k()个优先级的优先因子为

，具体步骤如下：(1)从目标函数的最高优先级目标开始，只考虑最高级的目标，其他目标不考虑。也就是令最高级别的优先因子

，其他级别的权重因子

，给这个新的只在原模型

的基础上变化而来的新目标规划模型命名为

；(2)用解线性规划的方法求解模型

，保存求解得到的最高级目标的目标函数中涉及到的偏差变量；

§7.3.2分层目标规划问题（3）在模型的基础上，建立第k个模型。只考虑第k级的目标，其他目标不考虑，即优先因子，，并将之前求解到保存的偏差变量添加到的约束中，即得到。用解线性规划的方法求解模型，保存求解得到的第k级目标函数中涉及到的偏差变量；重复第3和第4步，直到，可求得所有的决策变量和偏差变量值。

§7.3.2分层目标规划问题

下面我们通过例6来说明一下分层目标规划问题在电子表格中的求解方法。图7.4(a)例6的分层目标规划—优先级P1§7.3.2分层目标规划问题

第一优先级的目标是避免开工不足，数学模型见M1:§7.3.2分层目标规划问题

图7.4(b)例6的分层目标规划—优先级P2§7.3.2分层目标规划问题

第二优先级的目标是加班时间限制，数学模型见

（或者更简单，直接写成

的形式:§7.3.2分层目标规划问题

§7.3.2分层目标规划问题

图7.4(c)例6的分层目标规划—优先级P3§7.3.2分层目标规划问题

第三优先级的目标是市场需求限制，这个模型中前两级求解得到的工时负偏差值0、正偏差值10和加班负偏差值0、正偏差值0已经成为约束条件不能再改变了，数学模型

的表达式请读者自己完成。§7.3.2分层目标规划问题

图7.4(d)例6的分层目标规划—优先级P4第四优先级的目标是尽可能的少加班，目标是工时的正偏差尽可能的最小。数学模型请读者自己完成.的表达式请读者自己完成。

§7.3.3进一步应用:L食品公司运输的不平衡问题

例7回顾一下第六章中的L食品公司的不平衡运输问题（第六章的例2），问题基本数据和求得的最优运输方案如表7-1和表7-2所示，总运费为31210元。

表7-1单位运费和供需要求配送中心生产量罐头厂深圳武汉成都西安虚拟中心A(桔子)7845861100120B(竹笋)8441791030100C(野山菌)8053761180220需求量851107513040§7.3.3进一步应用:L食品公司运输的不平衡问题

表7-2最优运输方案配送中心生产量罐头厂深圳武汉成都西安虚拟中心A(桔子)01100100120B(竹笋)0001000100C(野山菌)850752040220需求量851107513040§7.3.3进一步应用:L食品公司运输的不平衡问题

但上述方案只考虑运费为最少，没有考虑到很多具体情况和条件。经上级部门研究后确定了制定运输方案时要考虑的八项目标，并规定其重要性依次为：第1目标：B厂为新开设的工厂，在公司战略规划中占有重要的地位，所生产的产品必须全部销售出去；第2目标：根据深圳配送中心的订单要求，C厂到深圳配送中心的销量不低于50箱；第3目标：为兼顾一般，保证生产平衡，每个工厂的销售量不低于产量的80%；

§7.3.3进一步应用:L食品公司运输的不平衡问题

第4目标：由于资金预算的限制，要求新方案总运费不超过原方案的110%；第5目标：因道路限制，从A工厂到西安