保险精算学：期缴纯保费计算

期缴纯保费的计算

ACTUARYACTUARY第一节自然保费与均衡保费7.1.1自然保费与均衡保费ACTUARY上一章讨论了趸缴纯保费。现实中的保费多采用期缴形式，即将保费分摊于投保人生存年度，于不同年份收取，通常按年进行，每年收取一次。也有产品一年缴费多次，如按季缴费、按月缴费。这种分期缴纳的保费形式，称为期缴保费。期缴保费可以按每年出险概率逐年计算，也可以将整个保障期进行综合考虑，这就有了自然保费与均衡保费（也称平准保费）的区别。自然保费是以人的每一年龄及一年期间的死亡率为基础所制定的各年龄的保险费，其计算方法，前一章第一个计算实例，计算的30岁男性的自然保费。各年度按此方法计算，即形成不同年龄的自然保费，如图7.1所示。7.1.1自然保费与均衡保费ACTUARY由于死亡率的自然变化，自然保费呈指数上升趋势，而个人收入的变化却如图7.2所示，年轻时随年龄增长而增长，到了最需要保障的生命后期，收入却是下降的。如果采用自然保费，则随着年龄的增长，越到生命后期，保费越贵，但支出能力却越弱，因此这种保费形式不利于保险业务的开展。于是就提出了均衡保费的概念，如图7.3所示。7.1.1自然保费与均衡保费ACTUARY均衡保费是为了消除自然保费增加后期负担的不便而设计出来的，每年缴纳相同金额保费的一种方法，这种每年相同额度的保费称为均衡保费。其基本的原理是，投保人于年轻时缴纳比自然保费多的费用，这部分保费存储于保险公司并作资金运用，其本息和用以弥补后期所缴保费比自然保费少而造成的不足部分。7.1.1自然保费与均衡保费ACTUARY由上述分析可见，无论是死亡保险，还是两全保险，无论是死亡期末给付，还是死亡即时给付，其保险金的财源都是相同的，每期给付的保险金贴现到（x）时的现金总和，与趸缴保费完全一样。与趸缴保费的不同，仅在于负担这笔财务来源的人群有所不同。趸缴保费的负担人群仅为投保时生存的人群

，而期缴保费负担的人群为缴费期内每个缴费时点上依然存活的人。ACTUARY第二节完全离散均衡保费7.2.1一个示例

完全离散寿险，是本文一种假定状态，即保费年初缴纳，死亡给付于死亡当年年末给付的保险。

首先以一个相对复杂点的离散寿险为例。假定有一份20年缴费终身寿险，该险种约定，自x岁起每年缴纳均衡保费，缴费不足20年死亡的，停止缴纳保费，并于死亡当年年末领取保险金，缴费期满则不再缴纳保费，于此后任意一年死亡年度的年末领取保险金。将20年缴费终身寿险的期缴保费费记为

，则其现金流如图7.4所示。图7.4中，年龄轴上方，表示缴纳保费现金流，对保险公司而言，是收入现金流；年龄轴下方，则是给付保险金现金流，对保险公司而言，是支出现金流。按“收＝支”原则有：ACTUARY7.2.1一个示例ACTUARY×（＋…＝＋…因此等式右边分子分母分别乘以，可得：）7.2.1一个示例ACTUARY×（＋…）＋…因此等式右边分子分母分别乘以，可得：＝7.2.1一个示例ACTUARY上面以图示方式解释了保险公司的收入与支出资金流，从而依“收＝支”原则得出了均衡保费计算式。换一个角度，同样可以得到该计算式。第一步，依前一章结论，终身寿险未来给付成本的现值为

。第二步，假定均衡保费为

，则未来保险公司全部收入现金流的现值为第三步，依“收＝支”

原则，

，既可得到：7.2.1一个示例ACTUARY【例7-1】：现龄30岁的男性投保人投保一份以自己为被保险人、缴费期20年的终身寿险。合同约定，如果该被保险人20年内身故，则停止缴纳保费，保险公司于保被保险人身故当年年末支付1000元保额给指定的受益人；如果该被保险人生存期满20年，则停止缴纳保费，并于20年后的任意身故年年末给付受益人1000元保险金。假设预定利率6%，死亡率以《中国人寿保险业经验生命表(2003-2006)》为计算基础。试计算投保人应于每年年初缴纳多少纯保费。解：无论缴费方式如何，纯保费计算中“收＝支”原则不变。A．保险金支出现值。首先计算图7.4中年龄轴下半部分，即终身寿险给付成本现值。与例6.1相同，按给定生命表，计算30岁投保后至终身的每年死亡成本在30岁之初的现值。各年度死亡成本现值之和，即为保险金支出现值。7.2.1一个示例ACTUARY以S代表保额1000，展开的具体计算过程为：1000×867×0.0.9434＝818361.511000×917×0.8900＝816012.011000×977×0.0.8396＝820268.83…1000×42×0.0119＝499.29上述成本加总为82133377.537.2.1一个示例ACTUARYB．保费收入总额的现值。按收支相等原则，上述保险金支出总额的现值之和即为保费收入总额的现值，为82133377.53元。但与趸缴保费不同，承担保险金成本的不再是30岁时购买保险的这一群人，以后各年度初生存的人都将是保险金支付成本的承担者。所有20年内每年初存活的投保人缴纳的保费总额为：＋…7.2.1一个示例ACTUARYC．均衡春保费的计算因此均衡纯保费

（元）注意，本文此处

不是指严格定义上的一单位保额的均衡纯保费，而是按照案例需要，直接指1000元保额的均衡纯保费。下面按定义进行计算。以换算函数计算，则趸缴纯保费

注意，本文此处

不是指严格定义上的一单位保额的均衡纯保费，而是按照案例需要，直接指1000元保额的均衡纯保费。下面按定义进行计算。以换算函数计算，则趸缴纯保费

（元）。7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY以上一节示例同样的过程，可以得到各类险种的计算公式：1．普通终身寿险：【例7-2】：与例7-1相同，现龄30岁的男性投保一份终身寿险，但缴费期终身，该保单即为普通终身寿险。保额1000，预定利率6%。基于《中国人寿保险业经验生命表(2003-2006)》计算均衡保费。解：A．保险金支出现值与上例相同，为82133377.53元7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARYB．保费收入总额的现值按收支相等原则，上述保险金支出总额的现值之和即为保费收入总额的现值，为82133377.53元。但此时承担保险金成本的是从30岁起直至最后一年即105岁各年度初生存的人，因此保费收入现值总额为：C．均衡保费的计算

因此均衡纯保费为（元）同样要注意，本文此处的

不是严格定义的一单位保额对应的均衡保费，只是为方便直接为1000单位保额对应的均衡保费。＋…7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY下面严格按定义进行计算。

以换算函数计算，则趸缴纯保费终身寿险与年金之间存在以下等式。（1）证：7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY

的经济意义可以这样理解：如果甲某于年初借乙某1元，并签定合约约明在乙有生之年加以清偿，则乙可以用以下两种方式偿还，如图7.5所示：7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY1）乙每年初还甲

元，现金流如图7.5年龄轴上方所示。2）乙每年初还d元，但为防止还清前身故而无法偿还余额，因此投保一份终身寿险，年缴均衡保费为

，因此每年共还甲

元，现金流如图7.5年龄轴下方部分所示。两种偿还方式当期现金流应该等同，也就是说

，因此（2）

证明与经济意义留给读者思考，这里略。

7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY2．n年缴费终身寿险该险种前面已以20年缴费作过说明，均衡保费为3．n年延付终身寿险【例7-3】：现龄30岁的男性投保一份延期10年终身寿险，保额1000，预定利率6%。基于《中国人寿保险业经验生命表(2003-2006)》计算均衡保费。解：4．n年定期寿险7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY【例7-4】：现龄30岁的男性投保一份20年定期寿险，保额1000，预定利率6%。基于《中国人寿保险业经验生命表(2003-2006)》计算均衡保费。解：7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY5.n年两全保险【例7-5】：现龄30岁的男性投保一份20年期两全寿险，保额1000，死亡双倍给付，预定利率6%。基于《中国人寿保险业经验生命表(2000-2003)》计算均衡保费。解：因为是非标准两全保险，以P表示均衡保费：7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY与终身寿险类似，衍生两个结论：6．n年延期m年定期寿险

，该式表示自（x）岁开始缴费，一直缴到保障期结束为止。（1）（2）7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY【例7-6】：现龄30岁的男性投保一份10年后开始提供保障保障期20年的延期定期寿险，保额1000，预定利率6%。保费自签定合同日开始缴纳，至被保险人年满60岁或60岁前身故之年为止。基于《中国人寿保险业经验生命表(2003-2006)》计算均衡保费。解：均衡保费为

7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY7．一般公式假定x岁的人投保一种保险，自a年后开始缴费，共交b年，延期n年保障期开始，共保障m年，期内死亡保险金f倍，生存满期则获保险金g倍，以P表示期缴纯保费，则【例7-7】证明：

证明：根据生死合险与生存保险和死亡保险的关系可得7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY两边同除以，即得：7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY【例7-8】某人现龄30岁，投保了一份10年期两全保险。合同约定，如十年内被保险人身故，则保险公司于身故年末给付受益人保险金100万元，如果被保险人生存至10年期满，保险人于期满时既退还投保人所缴纳的保费之和（不计息）。假定

，

，

。求年均衡纯保费。

解：据已经条件可求得：设单位保额年均衡纯保费为

，则按“收入＝支出”原则可得：代入上述已知数，解得：

7.2.2完全离散各险种均衡保费ACTUARY

代入上述已知数，解得：因此，该投保人需缴纳的年均纯保费为100万×0.039＝3.9万元。

ACTUARY第三节半连续险种均衡保费7.2.3半连续险种均衡保费ACTUARY如果保费于每年期初缴纳（这比较符合现实情况），死亡即时给付，则保险的财务支出与前章趸缴纯保费相同，只是保费承担者发生了变化，成为缴费期内每年初存活的人，于是可推导得到以下各种保险的保费。1．终身寿险，记均衡保费为死亡给付财务负担，以

表示x岁投保，死亡即刻付1元的现值。由前内容章可知，而该笔财务负担需由（x）岁起活着的人共同支付，其支付的保费，可视作是终身生存期初年金。

7.2.3半连续险种均衡保费ACTUARY因此有

，同理可得下列险种的保费计算公式，推导过程不再赘述。2．定期寿险7.2.3半连续险种均衡保费ACTUARY3．终身缴费递延n年终身寿险4．即刻缴费、递延n年保障m年死亡即时给付定期寿险5．n年期两全保险以

表示趸缴纯保费，则7.2.3半连续险种均衡保费ACTUARY寿险险种很多，上面只是给出几种示例，其他各类险种的计算公式均可类似推出，以市场常见的一种险种，缴费

年年（

）期定期寿险的定价公式为例，可以推导出：其他险种期缴均衡纯保费的推导类似。7.2.3半连续险种均衡保费ACTUARY【例7-9】（1）如果每一年龄段死亡均服从均匀分布，试证：（2）某30岁男性购买一份保额为100万元的20年期两全保险，合同约定投保人于合同有效期内每生存年初缴付保费；如20年内被保险人身故则保险公司即刻给付保额；如生存至20年期满，则保险人于期满当日给付保额。假设每年龄段死亡服从均匀分布，且给定

，。求该投保人年缴均衡保费。

解：（1）证明根据死亡均匀分布假设，及趸缴保费一章的结论，可以得到：得证7.2.3半连续险种均衡保费ACTUARY（2）由已知条件可得：利用死亡均匀分布假设有所以所以，单位保额的期缴纯保费为：100万保额应年缴均衡纯保费为100万×0.039230769，约39230.77元。

＝ACTUARY第四节每年缴费

次及完全连续寿险均衡保费7.4.1每年缴费

次的均衡保费ACTUARY该险种的给付方式与前面讨论的险种类似，既如果是离散型险种，则死亡给付于被保险人死亡当

年度年末发生；但该险种缴费并非每年期初，而一年分

次缴费。假定该方式下年均衡保费为

，则投保人将该保费分

次缴纳，每次缴纳数额为

。而如果死亡给付是即时给付，可记年缴均衡保费为

，一年缴纳

次，每次缴纳的就是

。如果是缴费

年每年缴

次，以死亡期末给付的

年两全合险为例，年缴均衡纯保费可记为

，每次缴纳额度当然就是

。结论一：缴费

年死亡期末给付的

年两全合险，每年缴

次的年均衡纯保费

，可通过完全离散型相同险种的保费

得到7.4.1每年缴费

次的均衡保费ACTUARY结论二：假设死亡率服从每一年龄死亡均匀分布，则有：其中与的计算，与年金一章相同：，7.4.1每年缴费

次的均衡保费ACTUARY证明：（1）根据均衡纯保费计算公式有：（2）在死亡均衡分布假设下有（参考年金一章）：，再利用，可以得到年均纯保费为，得证。7.4.1每年缴费

次的均衡保费ACTUARY【例7-10】某投保人现龄50岁，投保了一份20年期两全合险，合同约定保额为100万，死亡年末给付，预定利率6%。已知

，

。求年均衡纯保费，并在每岁死亡均匀分布的假设下，求每年支付两次的年均衡纯保费。解：（1）生死合险单位保额的趸缴纯保费，既未来给付的精算现值为所以，每单位保额年均衡纯保费为因此100万保额的年均衡保费为31955.82元。7.4.1每年缴费

次的均衡保费ACTUARY（2）由已知条件可计算得到：因此100万保额年付两次的年均衡保费为32519.33元。7.4.2完全连续寿险均衡保费ACTUARY仅作理论讨论，完全连续寿险是指保费连续缴纳、死亡保险金在死亡既时给付的险种。以

岁购买

年定期寿险为例，保费记为

。下面简单讨论几类险种的计算公式，在此不作详细推导（实际也很简单）。几类连续寿险均衡保费定价公式示例（1）

年定期寿险：