分析力学三一

力的统一1

第三章有心力场中的运动1.力心：如果运动质点所受力的作用线始终通过质点和空间某固定点，则称此力为有心力，此固定点称为力心。2.有心力场：有心力构成的力场。3.研究有心力场的原因：有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一。宏观：行星绕太阳的运动微观：电子绕原子核的运动研究有心力场的前提：假定力心不动

24.两体问题：实际上力心并非静止，所以行星和太阳、电子和原子核应分别作为一个整体同时考虑，即它们实际上组成了两体问题。定义：由两个相互作用着的质点组成的封闭系统，在惯性系中的运动问题，称为两体问题。5.两体问题的类型束缚运动：如果两个质点之间有吸引力，则在一定的初始条件下，它们可能形成一个束缚体系，在有限空间范围内运动；3碰撞：a、在另一些初始条件下，它们也可能相互飞开，无限远离。如果两个质点先互相飞近，然后再飞开，就称为碰撞；(初始条件：初始能量)b、两个质点之间是排斥力，则它们不可能形成束缚体系，而只能发生碰撞。6.数学上看两体问题对N个无约束的质点系统，当时求解运动方程很困难，只有数值解；当N=2(两体问题)，运动方程易于求解，可以得到精确解/解析解。7.有心力场中的运动问题：归结为两体问题。4§1.3.1

二体问题约化质量设：两个质点

，且不存在外场。系统拉氏函数为

——两质点系统不处于外场中时，它们的质心作匀速直线运动(不感兴趣，转到质心系)。质心系中(在此质心系为惯性系)：V=0质心固定不动(V：质心的速度)则：由两个质点组成的系统的总动量守恒5以质心为坐标原点建立坐标系

质心系的矢径为0

而又令：(r：由引向的矢量)则(用一个变量r表示)

(O：坐标原点)(C：坐标原点)6系统的拉格朗日为——与质量为m、矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗日函数一样。即：二体问题可转化为在有心力场中运动的单体问题。求得r后，便可求得r1和r2。7讨论：若，则

质量大的m2固定在质心位置上不动，成为力心；质量小的m1在m2产生的有心力场中运动。例子：地球绕太阳的运动。8§1.3.2有心力场中运动的一般分析(→P442)一、守恒量在有心力场中，

运动过程中,:质点的位置始终在一个垂直于L的平面上。即：有心力场中的运动是平面运动。设：质点运动所在的平面为xz平面()则角动量守恒(上式中的可理解为极坐标系中的变量)9

L不包含变量：循环坐标

与对应的广义动量(角动量)守恒

又L不显含t

能量守恒

10上式说明：两维(平面)运动能量等效一维运动的能量

(自由度为1，即只有一个独立变量)

令：

——等效势能

(含有非真实的相互作用项)

——离心能——等效力——惯性离心力

11产生惯性离心力的原因上述等效的一维运动实际上是在以角速度转动的转动坐标系中观察质点的运动，而转动坐标系是非惯性系；沿径向正方向→离心。二、等面积定律———开普勒第二定律角动量守恒的几何意义设：；12：矢径r在时间内扫过的面积

:

r在单位时间扫过的面积，又——在有心力场中运动的质点的矢径在相等时间内扫过相等的面积。

13三、运动方程的解：利用守恒律来解由能量守恒：

得分离变量：14积分：——确定了r=r(t)。r是t的隐函数。四、轨道微分方程——比耐公式由得15令

，则上式两边对求导：

又16——运动微分方程(比耐公式)说明：(1)轨道方程：可用势能表示，也可用力表示；(2)由比耐公式，若已知力，可求运动轨道；若已知轨道，则可求作用力F。17§1.3.3平方反比引力开普勒问题重要的有心力：平方反比有心力(和成反比的力)例：万有引力，带异号电荷之间的库仑力任务：研究行星的运动

近似处理：行星只受到太阳引力的作用，而忽略行星之间的相互作用。

行星的运动是在太阳的平方反比引力作用下的运动18一、运动形式的分类设：平方反比引力为；质点移动，F所做元功对dw积分，得势能设：时，，则

19等效势能：

20又则——限制了质点的运动区域由图：E<0:质点限制在有限区域中运动

E>0:运动区域

E=0:过渡情况，质点也能运动到无穷远即运动形式分两类：

束缚运动

无限运动

21二、运动轨道由于已知，所以由比耐公式可求运动轨道。将代入比耐公式得令则

——谐振动方程22其解为令：，有又

(对平方反比力，有)23将r的表达式代入得到E<0：e<1椭圆轨道(束缚运动)E=0：e=1抛物线轨道(无限运动)E>0：e>1双曲线轨道(无限运动)三、行星的运动开普勒问题(定义见P44

)已讲：已知平方反比引力运动规律(推导过程见讲义)242526但：开普勒不知道行星和太阳之间的力为平方反比引力。牛顿：由开普勒三定律万有引力定律任务：弄清这一推证过程。行星运动三定律第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，并以太阳为椭圆的一个焦点；第二定律：从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过相等的面积；

27第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。已学：

——矢径在单位时间扫过的

面积正比于角动量开普勒第二定律常数常数空间各向同性行星所受到的力只能是有心力(可用有心力运动规律)开普勒第一定律行星的轨道：椭圆28椭圆方程为比耐公式：若已知轨道，则可求力，有

——行星受到太阳的平方反比力比例系数开普勒第三定律29由积分：经过一周期：几何关系：：与行星无关的常量，只可能与太阳的性质(太阳的质量)有关。3031显然：行星与太阳之间的引力应该