一章函数极限与连续四节数列

第四节数列的极限一数列数列：按一定的法则排列着的一系列数。如：，记为数列的项：数列中的每一个数。一般项：数列中第项称为一般项，它是的函数，记为例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数二数列的极限与数列的敛散性

一般讲，对于数列，若当无限增大时，无限接近于某一个常数，则称该常数为数列的极限。定义：，当时，恒有，称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为：如果数列没有极限，称该数列发散。数列都是发散的。

数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：【例题】以定义验证证：对，要使即只要此时可以取故在时，恒有成立。因此【例题】证所以,表明:常数列的极限等于同一常数.注意：用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.证【例题】1、有界性例如,有界无界三数列的有界性、单调性与收敛数列的性质定理1

收敛的数列必定有界.证:由定义,推论

无界数列必定发散.注意：收敛必有界，有界不一定收敛。如——有界，但不收敛。有界性是数列收敛的必要条件.2、唯一性定理2

每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.[例题]证由定义知，对区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.若

在子数列中,一般项是第项,而在原数列中却是第项,显然,3、子数列的收敛性注意：例如，注意子数列的定义定理3

收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．

若改变数列的有限项将不会影响数列的极限。4.单调性单调性概念：满足——称为单调增数列满足——称为单调减数列定理4：单调有界数列必定收敛。证明略【例题】已知，求证：数列收敛。证：由于(下界)而由于故表明数列是单调减少的，故数列上界为2按定理4，该数列是收敛的，极限存在。【例题】证明下列数列极限存在，并求极限证：考查单调性——单调增。考查有界性——有界。由于，若取，则数列存在上界1和下界。按定理4，该数列收敛。即极限存在。设极限为，即因此即另法证明此题的有界性：由于给定级数是单调增加的，因此

显然最右侧表达式与最左侧表达式之差应大于零，即若使上式成立，必须满足由于原题中给出因此在上述两种结果中只能取——原数列为有界。小结定理1

收敛的数列必定有界.定理2

每个收敛的数列只有一个极限.定理3

收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．定理4：单调有界数列必定收敛。四另一个重要极限的讨论为了易于理解，让我们先来讨论数列在时的极限情况:1.数列单调增加并有界——极限存在先考查实验，当时502.69158822.251002.704813832.37037035002.715568542.441406210002.71692352.4883250002.7180162.52162631042.7181459102.59374241062.7182804202.65329771072.7182816302.67431871082.718281815402.68506181092.718281827①讨论该数列的单调性：附：二项式定理利用二项式定理展开类似地比较和,哪一个大?比较与的展开式，知，即数列单调增加。②讨论数列在时的有界性

若将展开式中各项括号内的数用1代替，放大等式右侧，则有由于即（按等比数列求和公式）（无论取何值）说明数列有界。

按定理4，单调有界数列必收敛。因此2.当时，函数的极限我们要证明,它包括两种情况:先考虑情况:设，则,故当与同时趋向时根据极限的夹逼准则，可得再考虑情况:令，则因此,重要极限得证.上述重要极限的更一般的结论是：如果（无论还是）则小结定理1

收敛的数列必定有界.定理2

每个收敛的数列只有一个极限.定理3

收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．定理4：单调有界数列必定收敛。如果（无论还是