逻辑代数基础

数字电子技术基础聊城大学物理科学与信息工程学院1教材：数字电子技术基础第四版阎石主编高等教育出版社参考书：1、电子技术基础数字部分第四版康华光主编高等教育出版社2、数字电子技术基础简明教程第二版余孟尝主编高等教育出版社3、数字电子技术常见题型解析及模拟题王公望主编西北工业大学出版社2本书内容共九章第一章逻辑代数基础第二章门电路第三章组合逻辑电路第四章触发器第五章时序逻辑电路第六章脉冲波形的产生和整形第七章半导体存储器第八章可编程逻辑器件第九章数—模和模—数转换3第一章逻辑代数基础1.1概述1.2逻辑代数中的三种基本运算1.3逻辑代数的基本公式和常用公式1.4逻辑代数的基本定理1.5逻辑函数及其表示方法1.6逻辑函数的公式化简法1.7逻辑函数的卡诺图化简法1.8具有无关项的逻辑函数及其化简********************41.1概述1.1.1数字量和模拟量自然界中的物理量尽管性质各异，但就其变化规律的特点而言，不外乎数字量和模拟量两大类。一、模拟量：在时间上和数值上都连续变化的物理量叫模拟量，表示模拟量的信号叫模拟信号，相应的电子电路就是模拟电路。二、数字量：在时间上和数值上的变化都是离散的物理量叫数字量，表示数字量的信号叫数字信号，工作在数字信号下的电子电路叫数字电路。5模拟信号电子电路中的信号数字信号模拟电路数字电路随时间连续变化的信号在时间上和数值上都是离散的6数字电路的特点：工作信号：二进制数字信号0和1，在时间上、数值上都是离散的。在数字电路中，0和1表示两种不同的工作状态。稳态时，三极管工作在开关状态。（饱和导通、截止）在数字电路中，对元件精度要求不高，只要能区分两种状态即可，两种状态用高、低电平来区分（常用1和0表示）。数字电路研究的主要内容和方法:主要内容：电路中输入信号状态与输出信号状态之间的关系，即逻辑关系。主要方法：逻辑分析、逻辑设计。主要工具：逻辑代数。71.1.2数制和码制一、数制多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。常用：二进制、十进制、十六进制等。1.十进制

以十为基数的计数体制，每一位有0~9十个数码，逢十进一。如:(58.6)10(26.85)D2.二进制

以二为基数的计数体制，每一位有0、1两个数码，逢二进一。如:(101.11)2(11.01)B3.十六进制以十六为基数的计数体制，每一位有0~9、A、B、C、D、E、F十六个数码，逢十六进一。如:(6F.3D)16(A.BC)H8

二、数制转换二、十六----十转换：

写出按权展开式然后相加即可如:(101.01)

2=1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

=(5.25)10(2A.73)16=2×161+A×160+7×16-1+3×16-2=(42.4960937)10十----二转换：

首先把十进制数分为整数部分和小数部分整数部分的转换：除以2取余数，得数按倒序排列；小数部分的转换：乘以2取整数，得数按正序排列。9如：将十进制19.25转换为二进制

(19.25)10=(10011.01)2

219……余数=10.25*2

29……余数=1

24……余数=00.50整数部分=0

22……余数=0

0.50*2

21……余数=101.00整数部分=1103.二---十六转换：

4位二进制数对应1位十六进制数。如：(1011110.1011001)2=(01011110.10110010)2=(5E.B2)164.十六---二转换：

1位十六进制数对应4位二进制数。如:

(8FA.C6)16=(100011111010.11000110)2=(100011111010.1100011)2

5.十---十六转换：

整数部分的转换：除以16取余数，得数按倒序排列；小数部分的转换：乘以16取整数，得数按正序排列。11三、码制：

不同的数码不仅可以表示数量的不同大小，而且还能用来表示不同的事物。在后一种情况下，这些数码已经没有表示数量大小的含义，只是表示不同事物的代号---这些数码称为代码。例如：学生学号、房间门牌号、运动员编号等等，这些代码没有表示数量大小的含义，只是为了区分不同的事物。码制：为了便于记忆和处理，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则叫做码制。若用二进制代码表示N个事物，则应选取的二进制代码的位数n应满足2n≥N。如N=10，则应取n≥4。12

BCD代码：（二---十进制代码）

用4位二进制代码表示1位十进制数时，有多种不同的码制，通常将这些代码称为二---十进制代码，简称BCD(BinaryCodedDecimal)代码。其中最常用的是8421BCD代码。另外还有余3码、2421码、5211码、循环码、余3循环码等等。见表1.1.1(P6)。13编码种类十进制数8421码余3码2421码5211码循环码格雷码余3循环码0000000110000000000000010100010100000100010001011020010010100100100001101113001101100011010100100101401000111010001110110010050101100010111000011111006011010011100100101011101701111010110111000100111181000101111101101110011109100111001111111111011010权842124215211表1.1.1几种常见的BCD代码14注意：8421BCD代码与二进制数的不同。例如：(19.25)10=(10011.01)2

=(00011001.00100101)8421BCD1.1.3算术运算和逻辑运算

在数字电路中，1位二进制数码0和1不仅可以表示数量的大小，而且可以表示不同的逻辑状态。算术运算：当各个数码表示不同的数量大小时，它们之间可以进行的数值运算（加、减、乘、除等）；逻辑运算：当数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行运算。15

1.2逻辑代数中的三种基本运算

逻辑代数中的基本运算有与、或、非三种。决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生，这种逻辑关系叫逻辑与（逻辑相乘）决定事物结果的各个条件中，只要有任何一个满足，结果就会发生，这种逻辑关系叫逻辑或（逻辑相加）条件具备了，结果就不发生；条件不具备时，结果就发生，这种逻辑关系叫逻辑非（逻辑求反）16ABYABYAYR(a)(b)(c)开关闭合为条件具备，灯亮为结果发生(a)开关A、B都闭合灯才亮；(b)开关A、B有一个闭合灯就亮；(c)开关A闭合灯不亮，A断开灯才亮。所以：(a)、(b)、(c)分别符合与、或、非逻辑关系。17条件满足用1表示，条件不满足用0表示；结果发生用1表示，结果不发生用0表示，则可以列出用0、1表示的与、或、非逻辑关系的图表，叫逻辑真值表，简称真值表。与逻辑关系或逻辑关系非逻辑关系ABY00011011ABY00011011AY01与、或、非的运算符号：100011100118

把实现与逻辑运算的电路叫做与门，实现或逻辑运算的电路叫做或门，实现非逻辑运算的电路叫做非门。与、或、非逻辑运算还可以用图形符号来表示。&YBA1YAOYBA≥1

实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂的多，不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。最常见的复合逻辑运算有：与非、或非、与或非、异或、同或等等。图形符号：

与：或：非：19它们的图形符号、真值表、运算符号：与非：&BA1YO&YBAOABY000110111YOBA≥1YBA≥1OABY00011011或非：0111000120与或非：＆○≥1ABCDYABCDY0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111ABCDY11**0**110111111111000000021YBA=YBA=1异或：当A、B不同时，输出Y=1。同或：当A、B相同时，输出Y=1。ABY00011011ABY00011011可见，异或和同或互为反运算。0010011122注意：非门只有一个输入端；异或、同或都是只有两个输入端；与、或、与非、或非、与或非都可以有多个输入端。&YBACABCY00000010010001101000101011001111例如，三个输入端的与门：[返回]231.3逻辑代数的基本公式和常用公式1.3.1基本公式基础：常量:0、1

变量：A、B、C……取值只有0、1两种。与：或：非：24表1.3.1逻辑代数的基本公式。(P12)序号公式序号公式11121231341451561671781891025证明：公式8变量取值等号左等号右AB00011011变量取值等号左等号右AB00011011公式18011111100000001126公式17变量取值等号左等号右ABC000000010001000011111001110111110111111127也可以用已知的公式来证明等式成立如公式17也可以用公式证明：28

另外，还有几个常用公式，这些公式是利用基本公式导出的，记住它们对函数的化简和证明是很有好处的。1.3.2若干常用公式一、（19）证明：两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项多余。二、（20）证明：29

两个乘积项相加时，若其中一项取反后是另一项的因子，则该因子多余。三、（21）证明：两个乘积项相加时，若它们分别包含B和

两个因子而其它因子相同，则两项可以合并，并消去B

和两个因子四、（22）证明：30

两个乘积项分别包含和两个因子，而其余因子组成第三个乘积项或者是第三个乘积项的因子，则第三个乘积项可消去。从以上证明可以看到，这些常用公式都是利用基本公式导出的。当然还可以推导出更多的常用公式。只要是证明了的等式都可以当作公式使用。推广式：证明：31[返回]总结：321.4逻辑代数的基本定理1.4.1

代入定理定义：在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式带入式中所有A的位置，则等式仍然成立。作用：公式推广。例1:33例2:注意：在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守与普通代数一样的运算规则，即先算括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。为了简化书写，乘法运算的“·”可以省略，对一个乘积项或逻辑式求反时，乘积项或逻辑式外面的括号也可以省略。34定义：对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y的反函数。这个规律叫做反演定理。作用：可以方便的求出一个已知逻辑式的反逻辑式。注意：1、仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。

2、不属于单个变量上的反号应保持不变。公式8、18只是反演定理的特例。1.4.2反演定理35例1：例2：361.4.3对偶定理定义：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对偶式：对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，则得到的结果就是Y的对偶式Y'。即：若Y1=Y2，则Y1'=Y2

'Y”=Y------若Y1'=Y2'，则Y1=Y2作用：1、公式推广。2、逻辑式证明。注意：1、仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。

2、不属于单个变量上的反号应保持不变。37例：即已知公式7成立，则可推导出公式17成立。如果仔细分析一下表1.3.1就能够发现，其中的公式（1）～（8）和公式（11）～（18）皆互为对偶式。因此，只要证明公式（1）～（8）成立，则公式（11）～（18）也成立，无需另作证明。[返回]已知Y1=Y2，则Y1´=Y2´381.5

逻辑函数及其表示方法1.5.1逻辑函数从上面讲过的各种逻辑关系中可以看到，如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，那么，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定，因此，输出与输入之间是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数，写作：

Y=F(A，B，C，……)

由于逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1两种状态，所以我们讨论的是二值逻辑函数。

任何一件具体的因果关系都可以用一个逻辑函数描述。39例：举重裁判电路对一个举重裁判电路，有一名主裁判和两名副裁判，规定必须有一名主裁判和任一名副裁判同时认定运动员动作合格，试举才成功，即灯亮。主裁判掌握开关A，两名副裁判分别掌握开关B和C，裁判认为动作合格才按下开关。以1表示开关按下状态，0表示没有按下；Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮，则Y是A、B、C的逻辑函数，即：Y=F(A,B,C)ABCY401.5.2逻辑函数的表示方法常用的逻辑函数表示方法有真值表、逻辑表达式、逻辑图和卡诺图等，这一节只介绍前三种。ABCY000001010011100101110111一.真值表将输入变量所有取值下对应的输出函数值找出来，列成表格，即得真值表。n个变量可以有2n个输入状态。（一般按二进制递增的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态）如上例：1110000041Y=A•(B+C)&YA≥1BC二.逻辑表达式：把输入与输出的逻辑关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑表达式。三.逻辑图：将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，即画出能表示函数关系的逻辑图。既然同一个逻辑函数可以用三种不同的方法描述，那么，这三种方法之间必能互相转换。42四、各种表示方法间的互相转换1、从逻辑函数式写出真值表：将输入变量的所有取值组合逐一代入逻辑式求出函数值，列成表，即得真值表。ABCY00000101001110010111011111100000例1：例2：ABCY0000010100111001011101111111110043例题：

三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试写出该逻辑函数的真值表。解：

第一步：设置自变量和因变量。

第二步：状态赋值。对于自变量A、B、C设：同意为“1”，不同意为“0”。对于因变量Y设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。

第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表。ABCY00000101001110010111011100010111442、从真值表写出逻辑函数式：ABCY00000010010001101000101111011111把真值表中使函数值为1的输入变量取值组合对应的乘积项加起来，即得Y的逻辑函数式。45ABCY00000010010001111000101111011110ABCY0000001101010110100110101100111146从真值表写出逻辑函数式：ABCY00000010010001101000101111011111把真值表中使函数值为0的输入变量取值组合对应的乘积项加起来，即得的逻辑函数式。473、由函数表达式画出其相应的逻辑图。例1

画出下列函数的逻辑图：解：可用两个非门、两个与门和一个或门组成。4、由逻辑图写出其相应的函数表达式。写出如图所示逻辑图的函数表达式。解：可由输入至输出逐步写出逻辑表达式：ABABBCAC48从逻辑式画出逻辑图：（P20）已知逻辑式画出对应的逻辑图&1AOY≥1≥1O&1BO1CO491.5.3

逻辑函数的两种标准形式两种基本形式：“最小项之和”表达式与“最大项之积”表达式，也叫“积之和”表达式与“和之积”表达式。一、最小项和最大项1、最小项在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量形式在m中出现,且仅出现一次，则称m为该组变量的最小项。ABCY0000001001000110100010111101111150ABC三变量的最小项（23=8，有8个最小项）m010000000m101000000m300010000m400001000m500000100m600000010m700000001m200100000m0m1m2m3m4m5m6m7同理，ABCD四变量的16个最小项记作m0

～m15。51最小项的性质：①在输入变量的任何一取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。②全体最小项之和为1。③任意两个最小项的乘积为0。④具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。相邻性：若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例：和，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。522、最大项：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量的和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。ABC三变量的最大项同样有8个（23=8）对比可知：最大项和最小项存在如下关系：53最大项性质：①在输入变量的任何取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值是0。②全体最大项之积为0。③任意两个最大项之和为1。④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。利用基本公式可把任一逻辑函数式展开为最小项之和的形式。这种形式在逻辑函数的图形化简法中以及计算机辅助分析和设计中得到广泛应用。二、逻辑函数的最小项之和形式：54逻辑函数的最小项之和形式：例1：例2：55三、逻辑函数的最大项之积形式：已知逻辑函数为Y=∑mi，可将它化成编号为i以外的最大项之积。解：例：将逻辑函数化为最大项乘积的形式。又由56最小项与最大项之间的关系：2.一个n变量函数，当用积之和的标准型表示时，最小项的下标号正好不是用和之积标准型表示时的最大项的下标号，反之亦然，而且最小项与最大项的下标号的个数总和为2n。例：Y=m(0,1,3,6)可转换为：Y=M(2,4,5,7)1.

例：Y=m1+m3+m6+m73.某函数Y若用P项最小项之和表示，则该函数的反函数可用P项最大项之积表示，而P项最大项及最小项的标号完全一致。[返回]或571.6逻辑函数的公式化简法1.6.1逻辑函数的最简形式同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑函数。逻辑函数的八种表达式：“与－或非”式：例“或非－或非”式：例“与非－与非”式：例“或与”式：例“与或”式：例58“或－与非”式：例最常用的为“与或”、“或与”两种逻辑表达式最简“与或”式的标准：１.含的“与”项最少；２.各与项中含的变量数最少。最简“或与”式的标准：１.含的“或”项最少；２.各或项中含的变量数最少。以后主要讨论“与或”式的化简。求出了最简与或表达式，可很容易得求出其他形式的最简式。例如：“与非－与”式：例“或非－或”式：例59例１.试将“与或”函数式化为“与非－与非”式。解：例２.试将“与或”函数式化为“与或非”式。∴只要将“与或”式两次求反，就转换为“与非－与非”式。解：利用反演定理，得601.6.2常用的化简方法用基本公式和常用公式消去多余的逻辑变量和多余的与项和或项。或例：1.并项法：运用公式：消去B和两个因子。或612.吸收法：利用公式：消去AB项。例：623.消项法：利用公式：消去BC项或包含BC的项（BCD、BCDEF等等）。63利用公式：，消去因子。例:4.消因子法：64①利用配项：例:

②利用配项：例:5.配项法：65化简时应灵活、交替地综合运用以上方法，才能得到最后的化简结果。例：66

逻辑函数表示方法有真值表、逻辑表达式、逻辑图和卡诺图。1.7.1逻辑函数的卡诺图表示：一.表示最小项的卡诺图:

任一逻辑函数均可写成最小项之和形式：1.7逻辑函数的卡诺图化简法也可以用真值表来表示：ABCY00000011010001111001101111001110也可以用卡诺图表示67一.表示最小项的卡诺图:卡诺图：将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。逻辑函数的卡诺图是一个特定的方格图。图中的每一个小方格代表了逻辑函数的一个最小项，且任意两个相邻小方格所代表的最小项只有一个变量不同。①二变量卡诺图ABY00011011BA0101m0m1m2m3m0m1m2m368②三变量卡诺图：ABCABCY000001010011100101110111逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。0001111001真值表卡诺图m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m3m2m4m5m7m669有时为了方便，用二进制对应的十进制数（最小项的编号）表示单元格的编号。

ABC编号

00000011010201131004101511061117ABC0001111001逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。70010001012311671045

CAB000111100026411375

ABCY=F(A,B,C)000111100013214576

BACY=F(C,B,A)另外几种表示方法71ABCDm00000000110010200113010040101501106011171000810019101010101111110012110113111014111115③四变量卡诺图：0001111000011110CDAB013245761213151489111072四变量卡诺图单元格的编号:ABCD0001111000011110Y=F(A,B,C,D)00011110000412801151391137151110261410ABCD73五变量卡诺图及单元格的编号:

CDEAB0000010110101101111011000001326754018911101415131211242527263031292810161719182223212074二、用卡诺图表示逻辑函数：真值表

卡诺图二变量真值表ABY001011101110二变量卡诺图0111AB1010输出变量Y的值750100011110

ABC00000111三变量真值表三变量卡诺图ABCY000000100100011010001011110111110100011110

ABC0000011176四变量真值表ABCDY00000000110010000110010010101001101011101000110011101011011111000110101110011111四变量卡诺图0001111000011110CDAB010010101111000177逻辑代数式→卡诺图AB01010111ABABAB0100011110

ABC00000111一般与或表达式可直接填写卡诺图78

总结：用卡诺图表示逻辑函数：①可由真值表直接填入卡诺图。②对任何一个最小项逻辑函数表达式，可将其所具有的最小项在卡诺图中相应的方格中填1得到该函数的卡诺图。③一般与或表达式可直接填写卡诺图。例：0001111000011110CDAB111111110000000079卡诺图→逻辑代数式000111100010111010

BCA

BCA000111100000011111化简问题801.7.2用卡诺图化简逻辑函数在卡诺图中，凡几何相邻的小方格（紧邻的小方格或与轴线对称的小方格）都具有逻辑相邻性，它们之间只有一个变量不同，可圈在一起，利用进行合并。000111100001010010

BCA一、合并最小项的规则①两个相邻的小方格可以合并成一个乘积项，且消去一个变量：810001111001111111

BCA000111100010111111111101CDAB注意：一行的两头或一列的两头也是相邻的。82000111100111111111

BCA②4（22）个相邻的小方格可合并为一个乘积项，且消去2个变量。000111100011101111111111110111CDAB注意：行的两头或列的两头也是相邻的；四个角也是相邻的。83000111100111111111

BCA

③

8（23）个相邻的小方格可合并为一个乘积项，且消去3个变量。0001111000111101111111111011CDAB2n个相邻小方格可合并为一个乘积项，且消去n个变量.84注意：相邻单元的个数必须是2n个，并组成矩形时，才可以合并。ABCD0001111000011110ABCD000111100001111085二、卡诺图化简法的步骤：①将逻辑表达式转换成与或式，填入卡诺图。②找出可以合并的最小项。③选择乘积项，得到最简与或表达式。选择乘积项（画圈）的原则：1、应把卡诺图中所有的1圈完;2、圈的个数应最少;3、圈越大越好;4、每个圈中必须包含一个新的最小项，否则得到的乘积项是多余的。86ABC010001111011111例1：用卡诺图化简法将下式化简为最简与或表达式：11ABC01000111101111化简结果不是唯一的。187例2：化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)A0001111000011110CDAB

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1188例3：化简ABCD0001111000011110ABCD0001111000011110[返回]891.8具有无关项的逻辑函数及其化简1.8.1、约束项，任意项和逻辑函数式中的无关项以上所讨论的逻辑函数，其函数值是完全确定的1或0，然而在分析某些具体的逻辑函数时，经常会遇到这样的情况：①由于外部条件的限制，输入变量的某些组合不会出现，即不允许出现或不可能出现；②电路输入变量的某些组合值对输出没有影响。第①种情况中，把对输入变量取值的限制称为约束，把这些组变量取值组合对应的最小项称为约束项。第②种情况中，把这些组变量取值组合对应的最小项称为任意项。90例如：A,B,C三个逻辑变量，A=1表示电动机正转，B=1表示它反转，C=1表示停止。ABCY000001010011100101110111约束项约束项的值为01.8.1、约束项，任意项和逻辑函数式中的无关项ABC只能取值001,010，100，而其余最小项则为约束项。91通常用约束条件来描述约束的具体内容，上例中约束条件可表示为：或写成：m0+m3+m5+m6+m7=0921.8.1、约束项，任意项和逻辑函数式中的无关项由于约束项的值始终等于0，所以既可以把约束项写进函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使任意项为1时，函数值是1还是0无所谓。因此，我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。约束项的表示方法：在函数式中用约束条件来表示；在真值表中用×（或ф）来表示；在卡诺图中用×（或ф）来表示；93如上例：m0+m3+m5+m6+m