二次根式导学案-轻舟数学

二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：和二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质和。三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知，那么是的______;是的________,记为______,一定是_______数。（2）4的算术平方根为2，用式子表示为=__________；正数的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子的意义是。（二）自主学习(1)的平方根是；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式。如果用含h的式子表示t，则t=；(3)圆的面积为S，则圆的半径是；(4)正方形的面积为，则边长为。思考：，，,等式子的实际意义.说一说他们共同特征.定义:一般地我们把形如（）叫做二次根式，叫做_____________。。1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？，，，，，2、当为正数时指的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母必须满足,才有意义。3、根据算术平方根意义计算：(1)(2)（3）（4）根据计算结果，你能得出结论：，其中,4、由公式，我们可以得到公式=,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如()2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=()2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6

0.35(2)在实数范围内因式分解4a-11（三）合作探究例：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：由，得所以当时，在实数范围内有意义。练习：1、取何值时，下列各二次根式有意义？①②③2、（1）若有意义，则a的值为___________．（2）若 在实数范围内有意义，则为（）。A.正数B.负数C.非负数 D.非正数3、(1)在式子中，的取值范围是____________.(2)已知+＝0，则_____________.(3)已知,则=_____________。（四）达标测试(一)填空题：1、2、若，那么=，=。3、当x=时，代数式有最小值，其最小值是。4、在实数范围内因式分解：（1）()2=（x+）(y-)（2）()2=（X+）(X-)（二）选择题：1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（）A、B、C、D、2、二次根式中，字母a的取值范围是（）A、a＜lB、a≤1C、a≥1D、a＞12、已知则x的值为A、x>-3B、x<-3C、x=-3D、x的值不能确定3、下列计算中，不正确的是（）。A、3=B、0.5=C、D、二次根式(2)一、学习目标1、掌握二次根式的基本性质：2、能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点重点：二次根式的性质．难点：综合运用性质进行化简和计算。三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式有意义，则x。（3）在实数范围内因式分解：()2=（x+）(y-)（二）自主学习1、计算：观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当2、计算：观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当3、计算：当（三）合作交流1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：2、化简下列各式：（1）、（2）、（3）、（4）、=（）3、请大家思考、讨论二次根式的性质与有什么区别与联系。（四）巩固练习化简下列各式（1）(2)（3）（4）（x＜-2）注：利用可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。（五）达标测试：A组1、填空：（1）、-=_________.（2）、=（3）a、b、c为三角形的三条边，则________.2、已知2＜x＜3，化简：3已知0＜x＜1，化简：－4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．5、把的根号外的适当变形后移入根号内，得（）A、B、C、D、6、若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。课后记：达标测试：B组1、下列代数式中二次根式有总有意义的有（）⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，⑹（），⑺。A、3个B、4个C、5个D、6个2、如果是二次根式，那么应适合的条件是（）A、≥3B、≤3C、＞3D、＜33、化简：的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、5、使代数式8有意义的的范围是（）（A）（B）（C）（D）不存在6、若，则的值为：（）（A）0（B）1（C）-1（D）27、下列各式中一定成立的是（）A、B、C、D、9、如果一个三角形的三边长分别为1、k、3，化简结果是（）A、—5B、1C、13D、19二、填空1、二次根式有意义时的的范围是。2、若x、y都为实数，且，则=________。3、在直角坐标系内，点P（-2，）到原点的距离为=。aboc4、若实数a、baboc。5．若，则a的取值范围是6．若△ABC的三边长为a,b,c，其中a和b满足，则c的取值范围是7、实数在数轴上的位置如图示，化简|a-1|+。8．若，则的平方根为（）A．16B．±16C．±4D．±29、代数式的最大值是__________。10、若，则化简=__________。11、若代数式的值是常数2，则的取值范围是___________。12、求下列二次根式中字母x的取值范围：（1），（2），（3），（4）(5).二次根式的乘除法二次根式的乘法一、学习目标理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程（一）复习引入1．填空：（1）×=____，=____；×__（2）×=____，=___；×__（3）×=___，=___．×__（二）、探索新知1、学生交流活动总结规律．2、一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a≥0，b≥0反过来:=·（a≥0，b≥例1、计算（1）×（2）×（3）3×2（4）·例2、化简（1）（2）（3）（4）（5）巩固练习计算：①×②5×2③·（2）化简:;;;;（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8（四）展示反馈归纳1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。2、化简二次根式要求：1被开方数进行因数或因式分解。2分解后把能开尽方的开出来。（五）达标测试：1、选择题（1）等式成立的条件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1（2）下列各等式成立的是（）．A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20（3）二次根式的计算结果是（）A．2B．-2C．6D．122、化简：（1）；（2）；3、计算：（1）；（2）；4若，则=（）A．4B．2C．-2D．15下列各式的计算中，不正确的是（）A．=（-2）×（-4）=8B.C．D．2、计算：（1）6×（-2）；（2）；3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。(1)-3(2)课后记：二次根式的除法一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程（一）复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：（1）3×（-4）（2）3、填空：（1）=____，=____；规律：______；（2）=____，=____；______；（3）=____，=____；_______；（4）=____，=___．_______．一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）（二）、巩固练习1、计算：（1）（2）（3）（4）2、化简：（1）（2）（3）（4）注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。（三）拓展延伸阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。利用上述方法化简：(1)（２）(３)(４)（四）达标测试：A组1、选择题（1）计算的结果是（）．A．B．C．D．（2）化简的结果是（）A．-B．-C．-D．-2、计算：（1）（2）（3）（4）达标测试B组用两种方法计算：（1）（2）（3）（4）一选择1、计算：3÷eq\r(6)的结果是()A、eq\f(1,2)B、eq\f(\r(6),2)C、eq\f(\r(3),2)D、eq\r(2)2、化简的结果为（）(A)–1(B)(C)(D)3、若成立。则小消息的取值范围为：（）（A）x≥2（B）x≤3（C）2≤x≤3（D）2＜x＜34、下列说法正确的是()A、若,则a＜0B、若,则a＞0C、D、5的平方根是5、把代数式中的a－１移到根号内，那么这个代数式等于（）A．B．C．D．6．要使eq\r(2x＋1)·\r(2x－1)=成立，则x的取值范围是( )A．x≥eq\f(1,2) B．x≥－eq\f(1,2) C．－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2) D．任何实数7、已知xy＞0,化简二次根式的正确结果是()A.B.C.-D.-8、已知二次根式的值为3，那么x的值是（）A、3 B、9 C、-3 D、3或-39、若，，则两数的关系是（）A、B、C、互为相反数D、互为倒数二、填空1．化简：=2、若ab＜0,则化简的结果是_____________.3、若正三角形的边长为2eq\r(5)cm，则这个正三角形的面积是_______cm2。4、在平面直角坐标系中，点P（-，-1）到原点的距离是。4、若三角形的面积为6,一边长为,则这边上的高为__________.5、一个矩形的面积为,其中一边长为,则另一边长为__________;6、一个等腰三角形的周长为,腰长为,则底边的长度为___________.一张面积为7的正方形纸片的边长为__________要建造一个面积为的圆形形花坛,其半径是________三、解答题1、计算(1)(2);(3);(3).(4)、eq\r(50)×\r(8)－\f(\r(6)×\r(3),\r(2))(5) （6）（（7）2.解方程(1)=(2)3x－=3、已知，，求的值。检测：（1）（2）课后记：最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过程（一）复习回顾化简（1）=（2）=（3）=(4）=（5）=（二）自主学习观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、化简:(1)(2)(3)(4)（三）合作交流1、计算：2、比较下列数的大小（1）与（2）注：化简二次根式的方法有多种，常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。（四）拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式化成最简二次根式：，，同理可得：=，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（……+）（）的值．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．练习：+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．-的有理化因式是_______．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）（五）达标测试：1、选择题（1）如果（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不对（2）化简二次根式的结果是A、B、-C、D、-2、填空：（1）化简=_________．（x≥0）（2）已知，则的值等于__________.3、计算：（1）(2)4、计算：（a>0,b>0）5、若x、y为实数，且y=，求的值。课后记：二次根式的加减学案(1)学习目标：1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式2、理解和掌握二次根式加减的方法．3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．学习重难点:1、重点：二次根式化简为最简根式．2、难点：会判定是否是最简二次根式．学习过程一自主学习（一）、复习引入计算．（1）；（2）；（3）；（4）（二）、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）2+3=（2）2-3+5=（3）+2+3=（4）3-2+=由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同类项的意义相类似我们把与，、与这样的几个二次根式，称为同类二次根式）3+=3+2=53+=3+3=6二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．例1．计算（1）+（2）+例2．计算（1）3-9+3（2）（+）+（-）归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．二、巩固练习(1)(2)(3)（4）三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．四、课堂检测（一）、选择题1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（）．A．3个B．2个C．1个D．0个3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是()(A)和(B)和(C)和(D)和4．下列各式的计算中，成立的是()(A)(B)(C)(D)5．若则的值为()(A)2(B)－2(C)(D)二、填空题1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．3．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝______．4．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝______，b＝______．5．计算：（1）（2）三、综合提高题先化简，再求值．，其中x=，y=27．课后记：二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。二、重点：熟练进行二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程（一）复习回顾：1、填空（1）整式混合运算的顺序是：。（2）二次根式的乘除法法则是：。（3）二次根式的加减法法则是：。（4）写出已经学过的乘法公式：=1\*GB3①=2\*GB3②2、计算：（1）··（2）（3）（二）合作交流1、探究计算：（1）（）×（2）2、探究计算：（1）（2）（三）展示反馈计算：（1）（2）（3）（4）（-）（--）注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。（四）拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，下面我们观察：反之，∴∴=-1仿上例，求：（1）；（2）你会算吗？（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．（六）达标测试：A组1、计算：（1）（2）（3）（a>0,b>0）（4）2、已知，求的值。3、计算：（1）（2）4、比较 的大小5、已知x=，求代数式（x-2）-（x-2)(x+2)+2的值.6、已知a=+，b=-，求a-ab+b的值。7(1)eq\r(\f(1,3))＋\r(27)×\r(9) （2）(－）－(2＋）(2－）8、式子成立的条件是什么?9计算：(1)(2)10计算：(1)(2)11代数式中，x的取值范围是ABCD12下列各运算，正确的是（）A、B、CD、13如果是二次根式，化为最简二次根式是（）A、B、C、