科学验证：机械能守恒定律

科学验证：机械能守恒定律

机械能守恒定律

机械能守恒定律

1.机械能：运动的物体往往既有动能又有势能，物体的_______________（弹性势能）之和称为机械能。动能与重力势能2.推导：如图所示，如果物体只在重力作用下自由下落，重力做的功设为WG，由动能定理得WG= ①由重力做功和重力势能的变化关系可知WG=mg（h1-h2）=mgh1-mgh2=Ep1-Ep2 ②①②联立可得mgh1-mgh2=即由机械能的定义得Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。3.内容：在只有重力或弹力这类力做功的情况下，物体系统的动能与势能_________，机械能的总量_________。4.条件：只有_____对物体做功，机械能的大小与运动方向和轨迹的曲、直无关。相互转化保持不变重力5.表达式：（1）+mgh1=__________或Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。（2）mgh1-mgh2=，即ΔEp减=______。ΔEk增6.下列关于机械能的说法正确的是_____。①合力为零，物体的机械能一定守恒。②合力做功为零，物体的机械能一定守恒。③只有重力做功，物体的机械能一定守恒。④物体向上运动时，机械能也可能守恒。③④一、机械能及守恒定律的含义1.研究对象：（1）当只有重力做功时，可取一个物体（其实是物体与地球构成的系统）作为研究对象。（2）当物体之间的弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象（使这些弹力成为系统内力）。2.守恒条件：（1）从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量之间（如内能）转化，则系统机械能守恒。如果物体间发生相互碰撞，物体间发生相对运动且相互间有摩擦力存在，机械能一般不守恒。（2）从机械能的定义看动能与势能之和是否变化。如果一个物体沿斜面匀速（或减速）滑下，动能不变（或减小），势能减小，则机械能减小。一个物体沿水平方向匀速运动时机械能守恒，沿竖直方向匀速运动时机械能不守恒。（3）从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功。具体表现在：①只受重力（或系统内的弹力）。如做抛体运动的物体（不计阻力）。②还受其他力，但只有重力（或系统内的弹力）做功，如图甲、乙所示。③系统的内力做功，但是做功代数和为零，系统机械能守恒。如图丙中拉力对A、对B做功不为零，但代数和为零，AB系统机械能守恒。如图丁所示，A、B间及B与接触面之间均光滑，A自B的上端自由下滑时，B沿地面滑动，A、B之间的弹力做功，A或B的机械能均不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒。【思考·讨论】如图所示，在距地面h高处以初速度v0沿水平方向抛出一个物体，不计空气阻力，物体下落过程中经过a、b、c三点时具有的机械能相等吗？（物理观念）提示：物体在下落过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以在a、b、c三点具有的机械能相等。【典例示范】如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是（）

A.重物的机械能守恒B.重物的机械能增加C.重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D.重物与弹簧组成的系统机械能守恒【解题探究】（1）如何确定研究对象？提示：要明确是研究重物，还是研究重物与弹簧组成的系统。（2）如何判断机械能是否守恒？提示：若研究对象是重物，只有重力做功时机械能守恒；若研究对象是重物与弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功时机械能守恒。【解析】选D。重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A、B错误；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧所组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。【规律方法】判断机械能是否守恒的条件（1）合外力为零是物体处于平衡状态的条件。物体受到的合外力为零时，它一定处于匀速运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒。（2）只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件。只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒。【素养训练】1.下列说法正确的是（）A.机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用B.物体处于平衡状态时，机械能一定守恒C.物体所受合外力不为零时，其机械能可能守恒D.物体机械能的变化等于合外力对物体做的功【解析】选C。机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，其他外力做功为零即可，故A错；匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物体，其机械能一直增大，故B错；若物体做自由落体运动，只受重力作用，则机械能守恒，故C正确；若外力中仅有重力对物体做功，如在光滑斜面上下滑的物体，不会引起物体机械能的变化，据功能关系知D错。2.（多选）如图所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中（）

A.弹簧的弹性势能不断增大B.弹簧的弹性势能不断减小C.小球和弹簧组成的系统机械能不断减小D.小球和弹簧组成的系统机械能保持不变【解析】选A、D。从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确。【补偿训练】1.（多选）下列几种情况，系统的机械能守恒的是（）A.一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动（图甲）B.运动员在蹦床上越跳越高（图乙）C.图丙中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连，小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动（车轮与地面摩擦不计）D.图丙中如果小车振动，木块相对小车有滑动【解析】选A、C。弹丸只受重力与支持力，支持力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒，A正确；运动员做功，其机械能越来越大，则B错误；C选项中只有弹力做功，机械能守恒，则C正确；D选项中有滑动摩擦力做功，所以机械能不守恒，则D错误。2.如图所示，质量m=70kg的运动员以10m/s的速度，从高h=10m的滑雪场上A点沿斜坡自由滑下，一切阻力可忽略不计，以B点所在的水平面为参考平面，g取10m/s2，求：（1）运动员在A点时的机械能。（2）运动员到达最低点B时的速度大小。（3）若运动员继续沿斜坡向上运动，他能到达的最大高度。【解析】（1）EA=+mgh=10500J（2）由机械能守恒得：=+mgh所以vB=10m/s（3）由机械能守恒得：mgH=+mgh，得H=15m答案：（1）10500J（2）10m/s（3）15m二机械能守恒定律的应用1.对机械能守恒定律的理解：（1）机械能守恒定律的研究对象一定是系统。因为重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统。另外，动能表达式中的v也是相对于地面的速度。（2）“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。在重力或弹力做功的过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力或弹力做功”。（3）总的机械能保持不变，是指在动能和势能相互转化的整个过程中，任何时刻、任何位置的机械能的总量恒定不变。2.机械能守恒定律的不同表达式和特点：表达式特点Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末初状态的机械能等于末状态的机械能Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp动能（或势能）的增加量等于势能（或动能）的减少量EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB系统中，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量3.应用机械能守恒定律解题的一般步骤：（1）选取系统对象，确定研究过程。（2）进行受力分析，判断是否符合守恒条件。（3）选取零势能平面，确定初、末状态机械能。（4）运用守恒定律，列出方程求解。

【思考·讨论】情境：如图所示，两位小朋友在蹦床上玩得非常开心，试思考以下问题。讨论：（1）右边的男孩离开蹦床后飞向空中的过程中，机械能守恒吗？（物理观念）（2）左边的女孩若已落在蹦床上，使蹦床下陷，她的机械能守恒吗？（科学思维）提示：（1）守恒。男孩离开蹦床后只受重力作用，只有重力做功，故机械能守恒。（2）不守恒。因为女孩的动能减少，重力势能也减少，她的机械能在减少，故机械能不守恒。【典例示范】如图所示，物体A和B系在跨过定滑轮的细绳两端，物体A的质量mA=1.5kg，物体B的质量mB=1kg。开始时把A托起来，使B刚好与地面接触，此时物体A离地面高度为h=1m，放手让A从静止开始下落，g取10m/s2，求：

（1）当A着地时，A的速度多大？（2）物体A落地后，B还能上升多高？【解析】（1）系统重力势能的减少量为ΔEp=（mA-mB）gh，系统动能的增加量为ΔEk=（mA+mB）v2系统的机械能是守恒的，故（mA-mB）gh=（mA+mB）v2解得v=2m/s。（2）A落地后，B以2m/s的初速度竖直向上运动，它还能上升的最大高度为H，由机械能守恒得：mBgH=mBv2，解得H=0.2m。答案：（1）2m/s（2）0.2m【规律方法】用机械能守恒定律解题的技巧（1）参考平面的选取以解题方便为原则，一般以物体经过的最低点所在水平面为参考平面。（2）由参考平面和参考系确定初、末状态的机械能。【素养训练】1.如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：

（1）物体在A点时的速度大小。（2）物体离开C点后还能上升多高。【解析】（1）物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点。设物体在B处的速度为vB，则mg·3R+，得v0=。（2）设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB=，HB=4.5R所以离开C点后还能上升HC=HB-R=3.5R。答案：（1）

（2）3.5R2.如图所示，质量m=50kg的跳水运动员从距水面高h=10m的跳台上以v0=5m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，g取10m/s2。求：

（1）运动员在跳台上时具有的重力势能（以水面为零势能参考平面）。（2）运动员起跳时的动能。（3）运动员入水时的速度大小。【解析】（1）以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep=mgh=5000J。（2）运动员起跳时的速度为v0=5m/s，则运动员起跳时的动能为Ek==625J。（3）运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则mgh+即v=15m/s。答案：（1）5000J（2）625J（3）15m/s【补偿训练】1.如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。（1）求A物体将要落地时的速度为多大？（2）A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？【解析】（1）撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。设A物体将要落地时的速度大小为v，由机械能守恒定律得mgh-mghsinθ=（m+m）v2解得v=。（2）A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。设其到达的最高点离地高度为H，由机械能守恒定律得mv2=mg（H-hsinθ）解得H=。答案：

2.如图所示，在大型露天游乐场中翻滚过山车的质量为1t，从轨道一侧的顶点A处由静止释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶端D处，已知D与A在同一水平面上。A、B间的高度差为20m，圆环半径为5m，如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g取10m/s2。试求：（1）过山车通过B点时的动能。（2）过山车通过C点时的速度。（3）过山车通过D点时的机械能。（取过B点的水平面为零势能面）【解析】（1）过山车由A点运动到B点的过程中，由机械能守恒定律ΔEk增=ΔEp减可得过山车在B点时的动能。

-0=mghAB，EkB==mghAB=103×10×20J=2×105J。（2）同理可得，过山车从A点运动到C点时有-0=mghAC，解得vC==m/s=10m/s。（3）由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能就等于在A点时的机械能，取过B点的水平面为零势能面，则有ED=EA=mghAB=103×10×20J=2×105J。答案：（1）2×105J（2）10m/s（3）2×105J【拓展例题】考查内容：机械能守恒定律解决软绳类问题【典例】如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面（斜面体固定不动）。AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条长为L的均匀柔软链条开始时静止放在ABC面上，其一端D至B的距离为L-a。现自由释放链条，则：（1）链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由。（2）链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？【解析】（1）链条机械能守恒，因为斜面是光滑的，只有重力做功，符合机械能守恒的条件。（2）设链条质量为m，选AB所在平面为零势能面，由机械能守恒得：·（+a）·sinα=mv2解得：v=答案：（1）见解析（2）

【课堂回眸】验证机械能守恒定律【实验目的】

1.验证机械能守恒定律。2.进一步熟悉___________的使用。打点计时器【实验器材】铁架台、___________、_____电源、纸带、重物、天平、砝码、刻度尺、导线。打点计时器交流【实验原理与设计】1.实验原理：（1）在只有重力做功的自由落体运动中，物体的重力势能和动能互相转化，若物体初位置速度为v1，下落高度为h时对应速度为v2，则重力势能的减少量为____，动能的增加量为___________，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等，则说明_______________。mgh机械能保持不变（2）若计算出各点的物体动能和重力势能之和，比较它们的大小，亦可验证机械能是否守恒。2.实验设计——五个物理量的测量：（1）下落的高度（h）首先在纸带上选取参考点，然后用毫米刻度尺量出纸带上其他点相对该点的距离。（2）瞬时速度（v）由于物体所做的自由落体运动为匀变速直线运动，所以纸带上某点的瞬时速度，等于该段时间内中间时刻的平均速度。v=（3）物体质量（m）用_____测量。（4）物体在某一位置的动能（Ek）由物体的质量和在该点的瞬时速度求出Ek=______天平（5）物体在某一位置的重力势能（Ep）由物体的质量和在该点相对参考点的高度求出Ep=____mgh【实验过程】一、实验步骤1.按照如图所示实验装置安装实验器材。2.利用天平称出重物质量。3.将纸带的一端用夹子固定在重物上；另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落。更换纸带重复做3～5次实验。4.取下纸带并选其中一个点作为参考点，设打该点时重物的重力势能为零，计算打该点时重物的动能，它就是重物下落过程中动能与重力势能的总和。【思考·讨论】（1）如何选取重物？（物理观念）提示：重物应选用质量大、体积小、密度大的材料。（2）实验开始时，是先接通电源，还是松开纸带让重物下落？（科学思维）提示：应先接通电源，让打点计时器正常工作，后松开纸带让重物下落。二、数据收集与分析1.分别测量并计算纸带上其他各点对应的重物的动能和重力势能，并分别计算出动能与重力势能之和，将测量和计算的数据填入表格。点序号高度重力势能速度动能机械能2.实验结论：在只有重力做功的情况下，物体的机械能是守恒的。【思考·讨论】测某时刻的瞬时速度能否用vn=或vn=gt来计算？（科学思维）提示：某时刻的瞬时速度的计算应用vn=，不能用vn=或vn=gt来计算。【误差分析】1.在进行长度测量时，测量及读数不准造成误差。2.重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。3.由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生误差。类型一实验操作【典例1】如图为验证机械能守恒定律的实验装置示意图。现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平。回答下列问题：

（1）为完成此实验，除了所给的器材外，还需要的器材有________。（填入正确选项前的字母）

A.米尺 B.秒表C.4～6V的直流电源 D.4～6V的交流电源（2）下面列举了该实验的几个操作步骤：A.按照图示的装置安装器材B.将打点计时器接到电源的“直流输出”上C.用天平测出重锤的质量D.先接通电源，后释放纸带，打出一条纸带E.测量纸带上某些点间的距离F.根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。其中操作不当的步骤是________________。

（3）实验中误差产生的原因有_____________（写出两个原因）。

【解析】（1）为完成此实验，除了所给的器材外，测量需要米尺，电源需要4～6V的交流电源。（2）其中操作不当的步骤是将打点计时器接到电源的“直流输出”上，打点计时器需要交流电源。（3）纸带与打点计时器之间有摩擦以及空气阻力；用米尺测量纸带上点的位置时读数有误差；计算势能变化时，选取初、末两点距离过近；交流电源频率不稳定。答案：（1）A、D（2）B（3）见解析类型二数据处理【典例2】某实验小组“用落体法验证机械能守恒定律”，实验装置如图甲所示。实验中测出重物自由下落的高度h及对应的瞬时速度v，计算出重物减少的重力势能mgh和增加的动能mv2，然后进行比较，如果两者相等或近似相等，即可验证重物自由下落过程中机械能守恒。请根据实验原理和步骤完成下列问题：（1）关于上述实验，下列说法中正确的是______。

A.重物最好选择密度较小的木块B.重物的质量可以不测量C.实验中应先接通电源，后释放纸带D.可以利用公式v=来求解瞬时速度（2）如图乙是该实验小组得到的一条点迹清晰的纸带，纸带上的点O是起始点，选取纸带上连续的点A、B、C、D、E、F作为计数点，并测出各计数点到点O的距离依次为27.94cm、32.78cm、38.02cm、43.65cm、49.66cm、56.07cm。已知打点计时器所用的电源是50Hz的交流电，重物的质量为0.5kg，则从计时器打下点O到打下点D的过程中，重物减小的重力势能ΔEp=________J；重物增加的动能ΔEk=________J，两者不完全相等的原因可能是________________。

（重力加速度g取9.8m/s2，计算结果保留三位有效数字）（3）实验小组的同学又正确计算出图乙中打下计数点A、B、C、D、E、F各点的瞬时速度v，以各计数点到A点的距离h′为横轴，v2为纵轴作出图像，如图丙所示，根据作出的图线，能粗略验证自由下落的物体机械能守恒的依据是_____________________________。

【解析】（1）重物最好选择密度较大的铁块，故A错误。本题是以自由落体运动为例来验证机械能守恒定律，需要验证的方程是mgh=mv2