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角的平分线性质的应用

不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1（对折）情境问题1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE

如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）已知：∠ＡＯＢ求作：∠ＡＯＢ的角平分线OC.OAB探究新知活动3角平分线的画法作法：ABCO活动31、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。3、作射线OC。所以射线OC即为所求.2、分别以M、N为圆心，大于MN

的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C。21NM探究角平分线的性质

(1)实验：在OC上任取一点P,过点P画出OA、OB的垂线，垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你能得出什么结论？活动4

(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.AODEBPC探究角平分线的性质证明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中

∠PDO=∠PEO∠1=∠2OP=OP∴

△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PEPAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE活动5(3)验证猜想角平分线上的点到角两边的距离相等。(4)得到角平分线的性质：活动5

利用此性质怎样书写推理过程?∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PEPAOBCED活动6

如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF实践应用(2)

分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！拓展已知:BD是∠ABC的平分线,AB=BC,P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD求证:PM=PNBDCAMNP回味无穷定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).用尺规作角的平分线.小结拓展OCB1A2PDE拓展1.如图，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OP⊥BC于P，则OM、ON、OP的大小关系是（）A.三者一定不相等B.三者不一定都相等C.三者都相等D.无法

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