专题2.9直线和圆的方程（六个混淆易错点）-2023-2024学年高二数学上学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（解析版）

专题2.9直线和圆的方程（六个混淆易错点）易错点1 忽视直线倾斜角的取值范围1．斜率为2的直线的倾斜角所在的范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据斜率与倾斜角的关系可得答案.【详解】∵，即，∴.故选：B.2．已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】设直线的倾斜角为，根据得到，根据夹角得到答案.【详解】，即，设直线的倾斜角为，，则，，夹角为，故或.故选：C.3．直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】由题意知,若a=0

,则倾斜角为,若,则,①当时，(当且仅当时，取“”)，②当时，(当且仅当时，取“”)，，故，综上，，故选：C.4．直线（为常数）的倾斜角的取值范围是．【答案】【分析】由已知可得直线的斜率，则其倾斜角满足，再结合正切函数的性质可求得结果.【详解】因为直线（为常数）的斜率为，所以直线的倾斜角满足，因为，所以或，即直线的倾斜角的取值范围是.故答案为：5．若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是.【答案】【分析】由，结合．即可得出的取值范围．【详解】因为，所以，因为所以故答案为：6．若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是．【答案】，【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率，解得．所以的取值范围是，．故答案为：，．7．已知直线与x轴交于点A点，与y轴交于点B．(1)若，求a的值；(2)求直线l的倾斜角的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据题意，由的值分析直线的倾斜角，即可得直线的斜率，分析可得或，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，直线的斜率，分类讨论的范围，分析可得倾斜角的范围，综合可得答案.【详解】（1）根据题意，直线，其斜率，在轴上的截距为，若，则，，则直线的倾斜角为，则有，变形可得，解可得：，若，则，，则直线的倾斜角为，则有，变形可得，解可得：，综上：或（2）根据题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为.当时，，直线的倾斜角为，此时直线与x轴没有交点，不符合题意；当时，，又由，当且仅当时等号成立，必有，则有，则；当时，，又由，当且仅当时等号成立，必有，则有，则；综上所述：故的取值范围为.易错点2 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在8．直线与直线平行，则（

）A．0 B．1 C． D．1或【答案】B【分析】由已知结合直线的一般式方程平行条件建立关于的方程，可求．【详解】解：因为直线与直线平行，所以，所以或，当时，直线与直线重合，舍去，故．故选：B．9．已知常数，直线：，：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.【详解】因为直线：，：，当时，解得，所以是的充分不必要条件.故选：A10．已知直线和直线，若，则【答案】－1【分析】根据两直线平行的条件求解．【详解】时，两直线显然不平行，因此，所以由得，解得，故答案为：．11．（多选）下列各组直线中与一定平行的是（

）A．经过点，经过点B．经过点，经过点C．的倾斜角为，经过点D．平行于轴，经过点【答案】AD【分析】由题意，先求出两直线的斜率，当斜率相等再看两直线是否重合，从而得出结论.【详解】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合，又，故，A选项正确；对于B．由题意知，所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误；对于C．由题意知，，所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误；对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以，D选项正确．故选：AD12．已知直线l1经过，直线l2经过点.(1)若l1∥l2，求的值；(2)若l1⊥l2，求的值.【答案】(1)＝1或＝6(2)＝3或＝－4【分析】（1）由两直线的斜率相等列方程可求出的值，（2）由k1k2＝－1，可求出的值.【详解】（1）由题知直线l2的斜率存在且，若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得，解得m＝1或m＝6，经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.（2）若l1⊥l2，当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1，即，解得m＝3或m＝－4，所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.13．（多选）已知直线，则（

）A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或C．若，则 D．若不经过第二象限，则【答案】ACD【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，直线的斜率，则有，即，解得或，当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；对C，若，当时，显然不合题意，则，则，即，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；故选：ACD.易错点3 写直线的截距式方程忽略截距为零的情况14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0.【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则，若，即直线过原点，设直线为，代入，即，解得，故直线方程为；若，设直线为，代入，即，解得，故直线方程为，即；综上所述：直线方程为或.故选：D.15．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数.【答案】1或2【分析】根据给定条件，求出横纵截距，列式计算作答.【详解】依题意，，因此直线在轴上的截距分别为，于是，即，解得或，所以实数或.故答案为：1或216．求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程．【答案】或【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点P的坐标代入即可得出．【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为，当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点代入可得：，解得，所以直线的方程为：，综上所述，所求直线方程为或.故答案为：或.17．经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程为．【答案】或【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.【详解】设直线l在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为．当时，直线l过点，又直线l过点，故直线l的斜率，故直线l的方程为，即；当时，直线l的方程为，即，∴直线l过点，∴，∴，∴直线l的方程为．综上可知，直线l的方程为或．故答案为：或.18．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为.【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0【分析】直线过原点有直线方程为2x－y＝0；直线不过原点时，设轴截距为，则轴截距为，根据截距式并结合所过的点求，写出方程.【详解】当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，设轴截距为，则轴截距为，可设直线方程为，将P(1,2)代入方程，可得，得直线方程为x－y＋1＝0.∴综上，直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.故答案为：2x－y＝0或x－y＋1＝0.19．已知直线l过点P(2，3)，根据下列条件分别求出直线l的方程:（1）直线l的倾斜角为120°；（2）在x轴、y轴上的截距之和等于0.【答案】（1）x+y-3-2=0；（2）3x-2y=0或x-y+1=0.【分析】（1）由倾斜角求出斜率，利用直线的点斜式方程即得解；（2）分经过原点时和不过原点两种情况讨论，分别设直线为，+=1(a≠0)，代入点坐标即得解【详解】（1）由直线l的倾斜角为120°，可得斜率k=tan120°=，由直线的点斜式方程可得，y-3=(x-2)，化简得直线l的方程为x+y-3-2=0.（2）当直线l经过原点时，在x轴、y轴上的截距之和等于0，符合题意，此时直线l的方程为y=x，即3x-2y=0；当直线l不过原点时，设直线l的方程为+=1(a≠0).因为P(2，3)在直线l上，所以+=1，解得a=，则直线l的方程为x-y+1=0.综上所述，直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.20．（多选）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，当截距不为0时，设直线方程为，可得，∴，所以直线方程为,故选：AC.易错点4 误解“截距”和“距离”的关系21．过两点，的直线在轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距.【详解】过两点，的直线的为，令，解得：，故选：A.22．直线在轴上的截距为．【答案】/【分析】求出直线与轴交点的横坐标即可.【详解】∵直线方程为，∴令，得，即直线与轴交于点，∴直线在轴的截距为.故答案为：.23．过点(5，0)，且在两坐标轴上的截距之差为2的直线方程是.【答案】=1或=1【分析】设直线的方程为，根据条件先求a,再列方程求解即可.【详解】设直线的方程为=1，点在直线上，∴.由得或，∴所求直线的方程为=1或=1.故答案为:或.24．经过点，的直线在轴上的截距为．【答案】27【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距.【详解】经过两点和的直线方程为，即，令，得.故答案为：27.25．直线在轴上的截距为．【答案】【分析】将直线方程化成截距式的标准形式即可得出结果.【详解】将直线方程化为，由直线的截距式方程可得此直线在y轴上的截距为．故答案为：26．已知的顶点，线段的中点为．(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)若边所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求边所在直线的方程．【答案】(1)5x－4y－9＝0．(2)或．【分析】(1)根据两点式方程写出直线方程;(2)先设截距式方程,再根据条件列式求解即可.【详解】（1）因为边上的中线就是，所以由两点式方程：，得：5x－4y－9＝0．（2）设直线的方程为，则有或，所以直线的方程为：或．易错点5 平行线间的距离公式使用不当27．已知直线与的距离为，则c的值为（

）A．9 B．11或 C． D．9或【答案】B【分析】化简直线方程，再利用平行间距离公式求解作答.【详解】直线，即，因为它与直线的距离为，所以，解得或，所以或.故选：B28．直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．24【答案】B【分析】利用两平行直线之间距离公式即可.【详解】两直线变形为与故选：B29．（多选）若两直线与互相平行，则（

）A．B．C．与之间的距离为D．与、距离相等的点的轨迹方程为【答案】ACD【分析】利用两条直线平行的充要条件判断A，B；利用两平行直线间的距离公式判断C；直接法求轨迹方程判断D.【详解】因为两直线与互相平行，所以，解得或，当时，，，此时两直线与互相平行满足题意；当时，，，此时两直线与重合，不合题意.综上有两直线与互相平行时，.故A正确，B错误；与的距离为，故C正确；设与、距离相等的点为，则，整理得，所以与、距离相等的点的轨迹方程为，故D正确.故选：ACD30．若两条平行直线与之间的距离是，则．【答案】3【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果.【详解】因为直线与平行，所以，解得且，所以直线为，直线化为，因为两平行线间的距离为，所以，得，因为所以，得，所以，故答案为：331．（1）直线与间的距离是．（2）已知直线与直线平行，则它们之间的距离为．【答案】【分析】空1：利用平行线距离公式直接计算即可；空2：根据平行得到关于的方程，解出其值，再利用平行线距离公式计算即可.【详解】（1）可化为，所以直线与之间的距离．（2）由两条直线平行可得，解得．则直线，即，由两条平行直线间的距离公式得．故答案为：；.易错点6 忽视方程表示圆的条件致误32．若点在圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程可以表示圆，则，得；由点在圆的外部可知：，得.故.故选：C33．已知圆：的一条切线过点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二元二次方程表示圆、点在圆外，列不等式来求得的取值范围.【详解】方程表示圆，则，，解得或.由于圆的一条切线过点，所以，所以的取值范围是.故选：D34．若圆：过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1【答案】C【分析】根据圆的一般方程的定义，结合过原点列方程即可求解.【详解】∵表示圆，∴∴.又圆过原点，∴，∴或（舍去）；.故选:C.35．若点在圆内，则实