复变函数与场论简明教程：复数与复变函数

复数与复变函数

1.1复数及其表示式1.2复数的运算1.3复平面上的区域1.4复变函数1.5复变函数的极限和连续性

1.1复数及其表示式

1.复数的概念

我们已经知道在实数范围内，方程x2=－1是无解的。由于解方程的需要，人们引进了一个虚数单位i（或j），并且规定i2=－1，从而得出i是方程x2=－1的一个根。

对于任意两个实数x和y，我们称z=x+iy（或写成z=x+yi形式）为复数，其中，x，y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z)，y=Im(z)。当虚部为数字时，习惯上把虚数i放在数字后，如2+3i；当虚部为字母时，习惯上把虚数i放在字母前，

如a+ib。

当x=0，y≠0时，z=0+iy=iy，被称为纯虚数；

当y=0时，z=x+0i=x，我们把它看做是实数x。

2.复数的表示方式

由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)唯一确定，

如果在二维平面给定的直角坐标系上来描述复数，则全体复数集合与该平面上点的全体集合构成一一对应的关系，因此我们把复数z=x+iy用该平面上坐标为(x,y)的点来表示，这是复数的一个常用的几何表示式。不难看出，复数与复平面上的点是一一对应的，即每一个复数z=x+iy确定复平面上一个坐标为(x,y)的点，反之

亦然。这样一方面使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数的问题，另一方面也为复变函数应用于实际奠定了基础。在复平面上，复数z不止与点(x,y)一一对应，它还与从原点O指向点z=x+iy的平面向量一一对应，因此复数z也能用向量OP来表示（见图1.1），即复数的向量表示方式。向量的长度称为复数z的模或绝对值，记作(1.1.1)图1.1显然，下列各式是成立的：

|x|≤|z|，|y|≤|z|，|z|≤|x|+|y|

当z≠0时，以正实轴为始边，以表示z的向量OP为终边所确定的角θ称为z的辐角，记为Argz=θ。

这时，有（1.1.2）我们知道，对于任何一个不为零的复数来讲，有无穷多个辐角（见图1.2），即Argz是一个多值函数，并且辐角之间满足：如果θ1是其中的一个辐角，那么

Argz=θ1+2kπ（k为任意整数）（1.1.3）

上式给出了z的全部辐角之间的关系。在z(≠0)的辐角中，我们把满足－π<θ0≤π的θ0称为辐角Argz的主值，记作argz=θ0，即

Argz=argz+2kπ（k为任意整数）（1.1.4）

当z=0，即|z|=0时，其辐角是不确定的。图1.2辐角的主值argz(z≠0)可以由z在不同的象限由反正切

按下列关系来确定：

(1.1.5)［例1］求复数1+i与的辐角及其辐角主值。

解对于z=1+i，z在第一象限，辐角主值

，辐角

(k为任意整数)。对于，z在第三象限，辐角主值

辐角

(k为任意整数)。根据直角坐标与极坐标的转换关系式：x=rcosθ，

y=rsinθ，还可以把z表示成下面的形式：

z=r(cosθ+isinθ)（1.1.6）

上式称为复数的三角（极坐标）表示式。其中，r为z的模，θ为辐角Argz。将欧拉（Euler）公式eiθ=cosθ+isinθ代入复数的三

角表示式，我们又可以得到：

z=reiθ

(1.1.7)

这种表示形式称为复数的指数表示式。由于辐角的多值性，复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。复数的各种表示法可以互相转换，以适应在讨论不同问题时的需要。［例2］将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数表示式。

解先求出z的模r和辐角主值argz:

因为1+sin1>0；cos1>0,所以z在第一象限。于是z的三角表示式为z的指数表示式为一般我们把z化为三角或指数形式时θ用辐角主值代替即可。

1.2复数的运算

1.复数的四则运算

两个复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2的加、减法定义如下：

(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)

(1.2.1)

上式表明两个复数相加减是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。显然，当z1与z2为实数（即当y1=y2=0）时，上式与实数的运算法则一致。设复数z1、z2分别用对应的向量OP1、OP2表示，则

复数的加减法与向量的加减法一致，于是在平面上以OP1、OP2为邻边的平行四边形的对角线OP就表示了复数z1+z2

（见图1.3），对角线P2P1就表示了复数z1－z2。图1.3由向量平行法则知，边|z1|、边|z2|和边|z1－z2|构成一个三角形，其中|z1－z2|表示向量P2P1的长，也就是复平面上点z1、z2之间的距离。事实上，

这正是平面上两点之间的距离公式。边|z1|、边|z2|和边|z1+z2|也构成一个三角形。

由几何知识解释知下面两个不等式成立：

|z1+z2|≤|z1|+|z2|,|z1－z2|≥||z1|－|z2||

两个复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2的乘法、除法定义如下：(1.2.2)同样可得其复数z1、z2的三角表示式或指数表示式的乘法与除法的表达式。

设有两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+

isinθ2），那么(1.2.3)同样有(1.2.4)假设z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2,得到乘除的指数表达式为(1.2.5)即不难得到(1.2.6)(1.2.7)例如，设z1=－1，z2=i，则z1z2=－i，从而代入等式（1.2.7）中得要使上式成立，必须且只需k=m+n+1。只要m与n各取一确定的值，总可选取k的值使k=m+n+1，反之也一样。若取m=n=0，则取k=1；若取k=－1，则可取m=0，n=－2或m=－2，n=0。下面结合复数z的三角表示式或指数表示式来理解复数乘法与除法运算的几何意义。当利用向量来表示复数时，可以说表示乘积z1z2的向量是从表示z1的向量旋转一个角度Argz2，并伸缩r2=|z2|倍而得到的，如图1.4所示。图1.4［例1］设z1、z2为复平面上的任意两点，证明不等式:

|z1－z2|≥||z1|－|z2||

证明这个不等式的几何意义为以z1,z2,(z1－z2)为边

的三角形，一边的长度|z1－z2|不小于两边的长度之差的

绝对值(||z1|－|z2||)，证明这个不等式可利用三角不等式|z1+z2|≤|z1|+|z2|。

因为

|z1|=|z1－z2+z2|≤|z1－z2|+|z2|

所以

|z1|－|z2|≤|z1－z2|

(1)

因为

|z2|=|z2－z1+z1|≤|z2－z1|+|z1|

所以

|z2|－|z1|≤|z2－z1|=|z1－z2|

(2)

由式（1）和式（2）得到

|z1－z2|≥||z1|－|z2||［例2］已知正三角形的两个顶点为z1=1+2i，z2=3+2i，求其第三个顶点。

解如图1.5所示，将向量z2－z1绕z1旋转

，即得另一个向量，其终点就是所求的第三顶点z3。（或图1.5与实数的情形一样，复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律：全体复数引进上述四则运算后称为复数域，通常用符号（C）表示。

2.复数的乘幂与方根

n个相同非零有穷复数z的乘积称为z的n次幂，记作zn，即若z=reiθ，则

zn=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N)

特别地，当r=1时，即z=cosθ+isinθ，则得棣莫佛(DeMoivre)公式:

(cosθ+isinθ)n=(cosnθ+isinnθ)

(1.2.8)令z=reiθ=r(cosθ+isinθ)，w=ρeiφ=ρ(cosφ+isinφ)，根据棣莫弗公式（1.2.8）有

于是ρn=r，cosnφ=cosθ，sinnφ=sinθ，显然，后两式成立的充要条件是

nφ=θ+2kπ(k=0,±1,±2,…)

（1.2.9）由此有，，其中r1/n是算术根，所以(1.2.10)当k=0,1,2,…,n－1时，得到n个相异的根：当k以其他整数值代入时，这些根又重复出现。例如，当k=n时，有特别地，当z=1时，若令则1的n次方根分别为1,ω，ω2，…，ωn－1。［例3］求的值。

解因为所以［例4］解方程(1+z)6=(1－z)6。

解显然方程的根z≠1，所以原方程可写成令，则w6=1。因为1=cos0+isin0,所以即这六个根是内接于中心在原点、半径为1的圆的正六边形的六个顶点（见图1.6）。图1.6由故原方程的根为z=itan，其中α=0，

3.共轭复数

一对共轭复数z与z在复平面内的位置是关于实轴x对称的（见图1.7），因而有|z|=|z|，如果z不在负实轴和原点上，则有argz=－argz。图1.7［例5］设z1=1+2i，z2=－3－4i，求，，解所以即［例6］设a,b为实数，b≠0，|a+ib|=1，则一定存

在实数c，使得

证明由b≠0易知a+ib≠1；又|a+ib|=1，即a2+b2=1，由此可知a≠1，并且为纯虚数，于是取［例7］设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2为两个任意复数，

证明（1）（2）证明（1）或

(2）我们可以用几何的方法得到三角不等式，现在用复数的运算来证明它。

因为两边开方，就得到所要证明的三角不等式。［例8］求证：三个复数z1,z2,z3成为等边三角形顶点的充要条件是它们适合等式。

证法1Δz1z2z3是等边三角形的充要条件为：向量z1z2绕z1旋转或－即得向量z1z3,也就是z3－z1=(z2－z1)或两边平方化简，可得

证法2

等式可写成若复数z1,z2,z3满足式（1），则有即式（3）两边取绝对值又可得反之，若Δz1z2z3为等边三角形，则且正负号取法相同，故最后我们举例简单说明复数的应用。具体讨论下面两个问题：如何用复数形式的方程来表示平面曲线F(x,y)=0；又怎样从复数形式的方程来确定该方程所表示的平面曲线。［例9］将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示。

解在平面几何中我们知道，通过点(x1,y1)与(x2,y2)

的直线可以用参数方程表示为

（－∞<t<+∞）事实上，设z=x+iy，则由共轭复数性质得将它们代入所给的直线方程ax+by=c，有化简得［例10］求下列方程所表示的图形：

(1)|z+2i|=2；

(2）|z－i|+|z+i|≤4；

(3)

解

(1）在几何上不难看出，方程|z+2i|=2表示所有与点－2i距离为2的点的轨迹，即中心为－2i、半径为2的圆（见图1.8（a））。图1.8

4.复球面与无穷远点

我们取一个与复平面相切于坐标原点O的球面。球面上的一点S与原点重合，过O作与复平面相垂直的直线，该直线与球面交于另一点N，S和N分别称为球面的南极和北极（见图1.9）。在复平面上任取一点z，则连接zN的直线必交球面上唯一的一点P；反之，若P为球面上任意一个异于N的点，则连接NP的直线必交复平面上唯一的一点z。图1.9复平面加上点∞后就称为扩充复平面，与之对应的是整个球面，称为复球面，复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来，这就是它比复平面优越的地方。换言之，扩充复平面的一个几何模型就是复球面。最后需要指出的是，扩充复平面上只有一个无穷远点，它与高等数学中的+∞、－∞的概念不同。∞不是一个符号，而是一个确定的复数，对∞来说，其实部、虚部与辐角均无意义，仅规定其模|∞|=+∞。就其运算，我们还规定，若a为有限复数，关于∞的四则运算为

加法：α+∞=∞+α=∞

减法：α－∞=∞－α=∞

乘法：α·∞=∞·α=∞(α≠0)

除法：（α≠0，但可为∞）。1.3复平面上的区域

1.复平面点集的相关概念

我们先假设z0是复平面上的一个点。

定义在复平面上以z0为心，以正数δ为半径的圆:

|z－z0|<δ

内部的点的集合称为点z0的δ邻域（见图1.10），而称由不等式0<|z－z0|<δ所确定的点集为z0的去心δ邻域。图1.10定义设G为一平面点集，z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，那么称z0

为G的内点。如果G内的每个点都是它的内点，那么称G为开集；若在点z0的任意一个邻域内，既有属于G的点，

也有不属于G的点，则称点z0为G的边界点；G的边界点的全体组成的集合P称为G的边界。区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的（见图1.11）。图1.11

定义设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果z0的邻域内的所有点都不属于G，则称z0为G的孤立点。

定义若点集G能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域内部，则称G为有界集，否则称G为无界集。

定义在复平面上以原点为心，以某一个正数R为半

径的圆外部，称为无穷远点的一个邻域，记为|z|>R；不包括无穷远点自身在内，仅满足|z|>R的所有点的集合，称为无穷远点的去心邻域，它可表示为R<|z|<∞。

2.区域的概念

定义非空平面点集D称为一个区域，它必须满足下列两个条件：

(ⅰ）D是一个开集；

(ⅱ）D是连通的，就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来。

由区域的定义知区域不包括界点，因而一般称区域为开区域。区域D及边界P所构成的点集称为闭区域，记作Ｄ。例如：

（1）z平面上以原点为中心,R为半径的圆（即圆形区域）表示为|z|<R；

（2）图1.12(a)所示的同心圆环（即圆环区域）表示为r<|z|<R；

（3）图1.12(b)所示的带形区域表示为y1<Im(z)<y2；（4）z平面上以实轴Im（z）=0为边界的两个无界区域是上半平面与下半平面，分别表示为Im（z）>0与Im（z）<0；z平面上以虚轴Re（z）=0为边界的两个无界区域是左半平面与右半平面，分别表示为Re（z）<0与Re（z）>0；（5）图1.12(c)所示的角形域表示为0<argz<φ。图1.12

3.若尔当（Jordan）曲线

定义若x(t)和y(t)是两个连续的实变函数，那么，方程组

x=x(t)，y=y(t)(a≤t≤b)

代表一条平面曲线，称为连续曲线。如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

那么该曲线就可以用一个方程：

z=z(t)(a≤t≤b)来代表，这就是平面曲线的复数表示式。z(a)与z(b)分别

称为连续曲线C的起点与终点。对于满足a<t1<b，a≤t2≤b的t1与t2，当t1≠t2，而有z(t1)=z(t2)时，点z(t1)称为曲线C

的重点。没有重点的连续曲线C，称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线。如果简单曲线C的起点与终点重合，即z(a)=z(b)，那么曲线C称为简单闭曲线。例如，圆周|z|=R是一条简单闭曲线，它把复平面分成两个没有公有点的区域|z|<R与|z|>R，前者是有界的，后者是无界的，并且它们都以|z|=R为边界。

定义设C：z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)是一条简单

(或简单闭)曲线，如果在区间a≤t≤b上x′(t)和y′(t)都是连

续的，且对于t的每一个值，有［x′(t)］2+［y′(t)］2≠0，

那么该曲线称为光滑曲线。由几段依次相接的光滑曲线所组

成的曲线称为逐段光滑曲线。

4.单连通域与多连通域

用简单闭曲线可以区别单连通区域与多连通区域。

定义如果区域D内的任何简单闭曲线所包围的部分仍然在区域D内，则称区域D为单连通区域；否则，称为多连通区域。例如，圆域|z|<R是一个单连通区域；圆环域0<|z|<R是一个多连通区域，因为0<|z|<R是|z|<R内挖去了圆心z=0，形成了所谓的“洞”，凡是有“洞”的区域都是多连通的。［例1］求满足关系式

的点z=r(cosθ+isinθ)的集合，若该集合为一区域，则是

有界的还是无界的,是单连通区域还是多连通区域？解设

z=x+iy=r(cosθ+isinθ)

则因为2cosθ<r<4cosθ，所以

2rcosθ<r2<4rcosθ,2x<x2+y2<4x

由x2+y2>2x得(x－1)2+y2>1，由x2+y2<4x得(x－2)2+y2<4。

从而所求点集为图1.13中的阴影部分：这是一个区域，是有界的，且为单连通的。图1.13［例2］试问满足条件Im(z)>1且|z|<2的点z组成的点集是否构成区域？是否为单连通的？是否为有界区域？

解令z=x+iy，Im(z)>1且|z|<2。即y>1,x2+y2<4如

图1.14中阴影部分所示，是有界的，且为单连通的。图1.141.4复变函数

1.复变函数的定义

定义设G是一个复数z的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，就有确定的复数w与之对应，那么则称在G上确定了一个复变数函数w，记作w=f(z)(z∈G)。G称为f(z)函数的定义域。如果z的一个值对应着w的一个值，那么我们称函数f(z)是单值的；如果z的一个值对应着w的两个或两个以上的值，那么我们称函数f(z)是多值的。对应于G中所有z的一切w值所成的集合E，称为函数值集合或值域。给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y，而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v，所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式：

u=u(x,y)，v=v(x,y)

它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。例如，考察函数w=z2，令z=x+iy，w=u+iv，那么

u+iv=(x+iy)2=x2－y2+2xyi

因而函数w=z2对应于两个二元实变函数：

u=x2－y2，v=2xy

2.映射的概念

如果G中的点z被映射w=f(z)映射成E中的点w，那么

点w=f(z)称为z的像点（或映像），而z称为w=f(z)的原像

（见图1.15）。图1.15例如，函数w=ｚ所构成的映射，显然把z平面上的点z=x+iy映射成w平面上的点w=x－iy；z1=1+4i映射成w1=

1－4i；z2=1－3i映射成w2=1+3i，△ABC映成△A′B′C′;等等（见图1.16）。图1.16［例1］考察函数w=z2的映射性质。

（1）若设z=reiθ，

w=ρeiφ，则函数w=z2可表示为

，于是可得函数w=z2的如下映射性质：

①z平面上从原点出发的射线θ=θ0(－π<θ0≤π)，

被映射成w平面上的射线φ=2θ0(－π<θ0≤π),如图

1.17(a)、（b）所示。

②z平面上的角形区域D={z∶0≤argz≤α}，被映射成w平面上的角形区域G={w∶0≤argw≤2α}，如图1.17(c)、(d)所示。图1.17（2）若设z=x+iy，w=u+iv，则函数w=z2可表示为

，因此可得如下性质：

①z平面上的两族分别以直线y=±x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2－y2=c1，2xy=c2映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2(如图1.18所示）。图1.18

②下面我们再进一步研究z平面上的两直线族x=c1,y=c2在函数w=z2映射下的图像。

当x=c1时，在z平面上表示为平行于虚轴的直线，在图1.19(a)中用实线表示，此直线在映射w=z2下变为(－∞<y<∞)消去y,得这是w平面上的一族抛物线，在图1.19(b)中用虚线表示。特别地，当c1=0时，直线方程为x=0，此直线在映射w=z2下变为

于是可知，映射w=z2将z平面上的虚轴x=0映射成w平面的负实轴。即图1.19与x=c1的讨论一样，在w=z2的映射下，直线y=c2（图

1.19(a)中的虚线）的像，是w平面上的一族抛物线即图1.19(b)中的实线；特别地，当c2=0时，直线方程为y=0，此时有即这是w平面上的原点和正实轴。［例2］对于映射w=z+1／z，求出圆周|z|=2的像。

解设z=x+iy,w=u+iv,则映射相当于即对于圆周|z|=2，其参数方程为代入式（1）可得其像的参数方程为这表示w平面上的椭圆

1.5复变函数的极限和连续性

1.函数的极限

定义设函数w=f(z)在z0的某个去心邻域0<|z－z0|

<ρ内有定义，若存在一复数A，使得对，

当0<|z－z0|<δ时，有|f(z)－A|<ε，则称A为f(z)当z趋向于

z0时的极限，记作或记作当z→z0时，f(z)→A（见图1.20）。图1.20

定理一设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)