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文档简介
复数与复变函数
1.1复数及其表示式1.2复数的运算1.3复平面上的区域1.4复变函数1.5复变函数的极限和连续性
1.1复数及其表示式
1.复数的概念
我们已经知道在实数范围内,方程x2=-1是无解的。由于解方程的需要,人们引进了一个虚数单位i(或j),并且规定i2=-1,从而得出i是方程x2=-1的一个根。
对于任意两个实数x和y,我们称z=x+iy(或写成z=x+yi形式)为复数,其中,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。当虚部为数字时,习惯上把虚数i放在数字后,如2+3i;当虚部为字母时,习惯上把虚数i放在字母前,
如a+ib。
当x=0,y≠0时,z=0+iy=iy,被称为纯虚数;
当y=0时,z=x+0i=x,我们把它看做是实数x。
2.复数的表示方式
由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)唯一确定,
如果在二维平面给定的直角坐标系上来描述复数,则全体复数集合与该平面上点的全体集合构成一一对应的关系,因此我们把复数z=x+iy用该平面上坐标为(x,y)的点来表示,这是复数的一个常用的几何表示式。不难看出,复数与复平面上的点是一一对应的,即每一个复数z=x+iy确定复平面上一个坐标为(x,y)的点,反之
亦然。这样一方面使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数的问题,另一方面也为复变函数应用于实际奠定了基础。在复平面上,复数z不止与点(x,y)一一对应,它还与从原点O指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示(见图1.1),即复数的向量表示方式。向量的长度称为复数z的模或绝对值,记作(1.1.1)图1.1显然,下列各式是成立的:
|x|≤|z|,|y|≤|z|,|z|≤|x|+|y|
当z≠0时,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边所确定的角θ称为z的辐角,记为Argz=θ。
这时,有(1.1.2)我们知道,对于任何一个不为零的复数来讲,有无穷多个辐角(见图1.2),即Argz是一个多值函数,并且辐角之间满足:如果θ1是其中的一个辐角,那么
Argz=θ1+2kπ(k为任意整数)(1.1.3)
上式给出了z的全部辐角之间的关系。在z(≠0)的辐角中,我们把满足-π<θ0≤π的θ0称为辐角Argz的主值,记作argz=θ0,即
Argz=argz+2kπ(k为任意整数)(1.1.4)
当z=0,即|z|=0时,其辐角是不确定的。图1.2辐角的主值argz(z≠0)可以由z在不同的象限由反正切
按下列关系来确定:
(1.1.5)[例1]求复数1+i与的辐角及其辐角主值。
解对于z=1+i,z在第一象限,辐角主值
,辐角
(k为任意整数)。对于,z在第三象限,辐角主值
辐角
(k为任意整数)。根据直角坐标与极坐标的转换关系式:x=rcosθ,
y=rsinθ,还可以把z表示成下面的形式:
z=r(cosθ+isinθ)(1.1.6)
上式称为复数的三角(极坐标)表示式。其中,r为z的模,θ为辐角Argz。将欧拉(Euler)公式eiθ=cosθ+isinθ代入复数的三
角表示式,我们又可以得到:
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。由于辐角的多值性,复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。复数的各种表示法可以互相转换,以适应在讨论不同问题时的需要。[例2]将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数表示式。
解先求出z的模r和辐角主值argz:
因为1+sin1>0;cos1>0,所以z在第一象限。于是z的三角表示式为z的指数表示式为一般我们把z化为三角或指数形式时θ用辐角主值代替即可。
1.2复数的运算
1.复数的四则运算
两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2的加、减法定义如下:
(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)
(1.2.1)
上式表明两个复数相加减是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减。显然,当z1与z2为实数(即当y1=y2=0)时,上式与实数的运算法则一致。设复数z1、z2分别用对应的向量OP1、OP2表示,则
复数的加减法与向量的加减法一致,于是在平面上以OP1、OP2为邻边的平行四边形的对角线OP就表示了复数z1+z2
(见图1.3),对角线P2P1就表示了复数z1-z2。图1.3由向量平行法则知,边|z1|、边|z2|和边|z1-z2|构成一个三角形,其中|z1-z2|表示向量P2P1的长,也就是复平面上点z1、z2之间的距离。事实上,
这正是平面上两点之间的距离公式。边|z1|、边|z2|和边|z1+z2|也构成一个三角形。
由几何知识解释知下面两个不等式成立:
|z1+z2|≤|z1|+|z2|,|z1-z2|≥||z1|-|z2||
两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2的乘法、除法定义如下:(1.2.2)同样可得其复数z1、z2的三角表示式或指数表示式的乘法与除法的表达式。
设有两个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+
isinθ2),那么(1.2.3)同样有(1.2.4)假设z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2,得到乘除的指数表达式为(1.2.5)即不难得到(1.2.6)(1.2.7)例如,设z1=-1,z2=i,则z1z2=-i,从而代入等式(1.2.7)中得要使上式成立,必须且只需k=m+n+1。只要m与n各取一确定的值,总可选取k的值使k=m+n+1,反之也一样。若取m=n=0,则取k=1;若取k=-1,则可取m=0,n=-2或m=-2,n=0。下面结合复数z的三角表示式或指数表示式来理解复数乘法与除法运算的几何意义。当利用向量来表示复数时,可以说表示乘积z1z2的向量是从表示z1的向量旋转一个角度Argz2,并伸缩r2=|z2|倍而得到的,如图1.4所示。图1.4[例1]设z1、z2为复平面上的任意两点,证明不等式:
|z1-z2|≥||z1|-|z2||
证明这个不等式的几何意义为以z1,z2,(z1-z2)为边
的三角形,一边的长度|z1-z2|不小于两边的长度之差的
绝对值(||z1|-|z2||),证明这个不等式可利用三角不等式|z1+z2|≤|z1|+|z2|。
因为
|z1|=|z1-z2+z2|≤|z1-z2|+|z2|
所以
|z1|-|z2|≤|z1-z2|
(1)
因为
|z2|=|z2-z1+z1|≤|z2-z1|+|z1|
所以
|z2|-|z1|≤|z2-z1|=|z1-z2|
(2)
由式(1)和式(2)得到
|z1-z2|≥||z1|-|z2||[例2]已知正三角形的两个顶点为z1=1+2i,z2=3+2i,求其第三个顶点。
解如图1.5所示,将向量z2-z1绕z1旋转
,即得另一个向量,其终点就是所求的第三顶点z3。(或图1.5与实数的情形一样,复数的四则运算也满足交换律、结合律和分配律:全体复数引进上述四则运算后称为复数域,通常用符号(C)表示。
2.复数的乘幂与方根
n个相同非零有穷复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn,即若z=reiθ,则
zn=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N)
特别地,当r=1时,即z=cosθ+isinθ,则得棣莫佛(DeMoivre)公式:
(cosθ+isinθ)n=(cosnθ+isinnθ)
(1.2.8)令z=reiθ=r(cosθ+isinθ),w=ρeiφ=ρ(cosφ+isinφ),根据棣莫弗公式(1.2.8)有
于是ρn=r,cosnφ=cosθ,sinnφ=sinθ,显然,后两式成立的充要条件是
nφ=θ+2kπ(k=0,±1,±2,…)
(1.2.9)由此有,,其中r1/n是算术根,所以(1.2.10)当k=0,1,2,…,n-1时,得到n个相异的根:当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现。例如,当k=n时,有特别地,当z=1时,若令则1的n次方根分别为1,ω,ω2,…,ωn-1。[例3]求的值。
解因为所以[例4]解方程(1+z)6=(1-z)6。
解显然方程的根z≠1,所以原方程可写成令,则w6=1。因为1=cos0+isin0,所以即这六个根是内接于中心在原点、半径为1的圆的正六边形的六个顶点(见图1.6)。图1.6由故原方程的根为z=itan,其中α=0,
3.共轭复数
一对共轭复数z与z在复平面内的位置是关于实轴x对称的(见图1.7),因而有|z|=|z|,如果z不在负实轴和原点上,则有argz=-argz。图1.7[例5]设z1=1+2i,z2=-3-4i,求,,解所以即[例6]设a,b为实数,b≠0,|a+ib|=1,则一定存
在实数c,使得
证明由b≠0易知a+ib≠1;又|a+ib|=1,即a2+b2=1,由此可知a≠1,并且为纯虚数,于是取[例7]设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2为两个任意复数,
证明(1)(2)证明(1)或
(2)我们可以用几何的方法得到三角不等式,现在用复数的运算来证明它。
因为两边开方,就得到所要证明的三角不等式。[例8]求证:三个复数z1,z2,z3成为等边三角形顶点的充要条件是它们适合等式。
证法1Δz1z2z3是等边三角形的充要条件为:向量z1z2绕z1旋转或-即得向量z1z3,也就是z3-z1=(z2-z1)或两边平方化简,可得
证法2
等式可写成若复数z1,z2,z3满足式(1),则有即式(3)两边取绝对值又可得反之,若Δz1z2z3为等边三角形,则且正负号取法相同,故最后我们举例简单说明复数的应用。具体讨论下面两个问题:如何用复数形式的方程来表示平面曲线F(x,y)=0;又怎样从复数形式的方程来确定该方程所表示的平面曲线。[例9]将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示。
解在平面几何中我们知道,通过点(x1,y1)与(x2,y2)
的直线可以用参数方程表示为
(-∞<t<+∞)事实上,设z=x+iy,则由共轭复数性质得将它们代入所给的直线方程ax+by=c,有化简得[例10]求下列方程所表示的图形:
(1)|z+2i|=2;
(2)|z-i|+|z+i|≤4;
(3)
解
(1)在几何上不难看出,方程|z+2i|=2表示所有与点-2i距离为2的点的轨迹,即中心为-2i、半径为2的圆(见图1.8(a))。图1.8
4.复球面与无穷远点
我们取一个与复平面相切于坐标原点O的球面。球面上的一点S与原点重合,过O作与复平面相垂直的直线,该直线与球面交于另一点N,S和N分别称为球面的南极和北极(见图1.9)。在复平面上任取一点z,则连接zN的直线必交球面上唯一的一点P;反之,若P为球面上任意一个异于N的点,则连接NP的直线必交复平面上唯一的一点z。图1.9复平面加上点∞后就称为扩充复平面,与之对应的是整个球面,称为复球面,复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来,这就是它比复平面优越的地方。换言之,扩充复平面的一个几何模型就是复球面。最后需要指出的是,扩充复平面上只有一个无穷远点,它与高等数学中的+∞、-∞的概念不同。∞不是一个符号,而是一个确定的复数,对∞来说,其实部、虚部与辐角均无意义,仅规定其模|∞|=+∞。就其运算,我们还规定,若a为有限复数,关于∞的四则运算为
加法:α+∞=∞+α=∞
减法:α-∞=∞-α=∞
乘法:α·∞=∞·α=∞(α≠0)
除法:(α≠0,但可为∞)。1.3复平面上的区域
1.复平面点集的相关概念
我们先假设z0是复平面上的一个点。
定义在复平面上以z0为心,以正数δ为半径的圆:
|z-z0|<δ
内部的点的集合称为点z0的δ邻域(见图1.10),而称由不等式0<|z-z0|<δ所确定的点集为z0的去心δ邻域。图1.10定义设G为一平面点集,z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,那么称z0
为G的内点。如果G内的每个点都是它的内点,那么称G为开集;若在点z0的任意一个邻域内,既有属于G的点,
也有不属于G的点,则称点z0为G的边界点;G的边界点的全体组成的集合P称为G的边界。区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的(见图1.11)。图1.11
定义设G为一平面点集,z0为G中任意一点,如果z0的邻域内的所有点都不属于G,则称z0为G的孤立点。
定义若点集G能完全包含在以原点为圆心,以某一个正数R为半径的圆域内部,则称G为有界集,否则称G为无界集。
定义在复平面上以原点为心,以某一个正数R为半
径的圆外部,称为无穷远点的一个邻域,记为|z|>R;不包括无穷远点自身在内,仅满足|z|>R的所有点的集合,称为无穷远点的去心邻域,它可表示为R<|z|<∞。
2.区域的概念
定义非空平面点集D称为一个区域,它必须满足下列两个条件:
(ⅰ)D是一个开集;
(ⅱ)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来。
由区域的定义知区域不包括界点,因而一般称区域为开区域。区域D及边界P所构成的点集称为闭区域,记作D。例如:
(1)z平面上以原点为中心,R为半径的圆(即圆形区域)表示为|z|<R;
(2)图1.12(a)所示的同心圆环(即圆环区域)表示为r<|z|<R;
(3)图1.12(b)所示的带形区域表示为y1<Im(z)<y2;(4)z平面上以实轴Im(z)=0为边界的两个无界区域是上半平面与下半平面,分别表示为Im(z)>0与Im(z)<0;z平面上以虚轴Re(z)=0为边界的两个无界区域是左半平面与右半平面,分别表示为Re(z)<0与Re(z)>0;(5)图1.12(c)所示的角形域表示为0<argz<φ。图1.12
3.若尔当(Jordan)曲线
定义若x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,那么,方程组
x=x(t),y=y(t)(a≤t≤b)
代表一条平面曲线,称为连续曲线。如果令
z(t)=x(t)+iy(t)
那么该曲线就可以用一个方程:
z=z(t)(a≤t≤b)来代表,这就是平面曲线的复数表示式。z(a)与z(b)分别
称为连续曲线C的起点与终点。对于满足a<t1<b,a≤t2≤b的t1与t2,当t1≠t2,而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C
的重点。没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线。如果简单曲线C的起点与终点重合,即z(a)=z(b),那么曲线C称为简单闭曲线。例如,圆周|z|=R是一条简单闭曲线,它把复平面分成两个没有公有点的区域|z|<R与|z|>R,前者是有界的,后者是无界的,并且它们都以|z|=R为边界。
定义设C:z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)是一条简单
(或简单闭)曲线,如果在区间a≤t≤b上x′(t)和y′(t)都是连
续的,且对于t的每一个值,有[x′(t)]2+[y′(t)]2≠0,
那么该曲线称为光滑曲线。由几段依次相接的光滑曲线所组
成的曲线称为逐段光滑曲线。
4.单连通域与多连通域
用简单闭曲线可以区别单连通区域与多连通区域。
定义如果区域D内的任何简单闭曲线所包围的部分仍然在区域D内,则称区域D为单连通区域;否则,称为多连通区域。例如,圆域|z|<R是一个单连通区域;圆环域0<|z|<R是一个多连通区域,因为0<|z|<R是|z|<R内挖去了圆心z=0,形成了所谓的“洞”,凡是有“洞”的区域都是多连通的。[例1]求满足关系式
的点z=r(cosθ+isinθ)的集合,若该集合为一区域,则是
有界的还是无界的,是单连通区域还是多连通区域?解设
z=x+iy=r(cosθ+isinθ)
则因为2cosθ<r<4cosθ,所以
2rcosθ<r2<4rcosθ,2x<x2+y2<4x
由x2+y2>2x得(x-1)2+y2>1,由x2+y2<4x得(x-2)2+y2<4。
从而所求点集为图1.13中的阴影部分:这是一个区域,是有界的,且为单连通的。图1.13[例2]试问满足条件Im(z)>1且|z|<2的点z组成的点集是否构成区域?是否为单连通的?是否为有界区域?
解令z=x+iy,Im(z)>1且|z|<2。即y>1,x2+y2<4如
图1.14中阴影部分所示,是有界的,且为单连通的。图1.141.4复变函数
1.复变函数的定义
定义设G是一个复数z的集合。如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,就有确定的复数w与之对应,那么则称在G上确定了一个复变数函数w,记作w=f(z)(z∈G)。G称为f(z)函数的定义域。如果z的一个值对应着w的一个值,那么我们称函数f(z)是单值的;如果z的一个值对应着w的两个或两个以上的值,那么我们称函数f(z)是多值的。对应于G中所有z的一切w值所成的集合E,称为函数值集合或值域。给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y,而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:
u=u(x,y),v=v(x,y)
它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。例如,考察函数w=z2,令z=x+iy,w=u+iv,那么
u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi
因而函数w=z2对应于两个二元实变函数:
u=x2-y2,v=2xy
2.映射的概念
如果G中的点z被映射w=f(z)映射成E中的点w,那么
点w=f(z)称为z的像点(或映像),而z称为w=f(z)的原像
(见图1.15)。图1.15例如,函数w=z所构成的映射,显然把z平面上的点z=x+iy映射成w平面上的点w=x-iy;z1=1+4i映射成w1=
1-4i;z2=1-3i映射成w2=1+3i,△ABC映成△A′B′C′;等等(见图1.16)。图1.16[例1]考察函数w=z2的映射性质。
(1)若设z=reiθ,
w=ρeiφ,则函数w=z2可表示为
,于是可得函数w=z2的如下映射性质:
①z平面上从原点出发的射线θ=θ0(-π<θ0≤π),
被映射成w平面上的射线φ=2θ0(-π<θ0≤π),如图
1.17(a)、(b)所示。
②z平面上的角形区域D={z∶0≤argz≤α},被映射成w平面上的角形区域G={w∶0≤argw≤2α},如图1.17(c)、(d)所示。图1.17(2)若设z=x+iy,w=u+iv,则函数w=z2可表示为
,因此可得如下性质:
①z平面上的两族分别以直线y=±x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2(如图1.18所示)。图1.18
②下面我们再进一步研究z平面上的两直线族x=c1,y=c2在函数w=z2映射下的图像。
当x=c1时,在z平面上表示为平行于虚轴的直线,在图1.19(a)中用实线表示,此直线在映射w=z2下变为(-∞<y<∞)消去y,得这是w平面上的一族抛物线,在图1.19(b)中用虚线表示。特别地,当c1=0时,直线方程为x=0,此直线在映射w=z2下变为
于是可知,映射w=z2将z平面上的虚轴x=0映射成w平面的负实轴。即图1.19与x=c1的讨论一样,在w=z2的映射下,直线y=c2(图
1.19(a)中的虚线)的像,是w平面上的一族抛物线即图1.19(b)中的实线;特别地,当c2=0时,直线方程为y=0,此时有即这是w平面上的原点和正实轴。[例2]对于映射w=z+1/z,求出圆周|z|=2的像。
解设z=x+iy,w=u+iv,则映射相当于即对于圆周|z|=2,其参数方程为代入式(1)可得其像的参数方程为这表示w平面上的椭圆
1.5复变函数的极限和连续性
1.函数的极限
定义设函数w=f(z)在z0的某个去心邻域0<|z-z0|
<ρ内有定义,若存在一复数A,使得对,
当0<|z-z0|<δ时,有|f(z)-A|<ε,则称A为f(z)当z趋向于
z0时的极限,记作或记作当z→z0时,f(z)→A(见图1.20)。图1.20
定理一设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
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