复变函数与场论简明教程：级数

级数

4.1复数项级数4.2幂级数4.3泰勒级数4.4洛朗级数

4.1复数项级数

1.复数项级数为定义

设复数列{αn}={an+ibn},n=1,2,称为复数项级数;将

sn=α1+α1+…+αn

称为复数项级数的部分和。设{αn}(n=1,2,…)为复数列，其中αn=an+ibn,设α=a+ib为一确定复数。

若任意给定ε>0，存在一个与ε相关的正数N(ε)，使|αn－α|<ε在n>N时成立，那么称{αn}收敛于α，记作

定理一级数收敛的充要条件是级数

和都收敛。

这就是说，一个复数项级数的敛散性问题可完全归

结为两个实数项级数的敛散性问题，并且，由实数项级数

和收敛的必要条件

2.绝对收敛与条件收敛

定理二如果收敛，那么收敛，且具有不等式：

定理三绝对收敛的充要条件是级数

和绝对收敛。

［例］下列级数是否收敛？是否绝对收敛？解(1）因发散，

收敛，故原级数发散。

（2）因，由正级数的比值审敛法知

收敛，故原级数收敛，且为绝对收敛。（3）因收敛，也收敛，故原级数收敛。但因为条件收敛，所以原级数非绝对收敛。

（4）

4.2幂级数

1.复变函数项级数的定义

若级数中各项为复变函数，其中各项在区域D内有定义，则

f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…

称为复变函数项级数，记做，称sn(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)若对于D内某一点z0，极限

存在，称复变函数项级数在z0处收敛，

s(z0)称为它的和。若级数在D内处处收敛，则其和就是z的函数s(z)：

s(z)=f1(z)+f2(z)+…+fn(z)+…

s(z)称为的和函数。

2.幂级数及其收敛圆

若复变函数fn(z)=cn(z－a)n或fn(z)=cnzn，则得到函数项级数的特殊情况：（4.2.1）或（4.2.2）以上两式都称为幂级数。

定理一（阿贝尔Abel定理）如果级数

在z=z0(≠0)收敛，那么对满足|z|<|z0|的z，级数必绝对收

敛。如果在z=z0处级数发散，那么对满足|z|>|z0|的z，级数必发散。（1）仅在z=0处收敛；

（2）在整个z平面收敛；

（3）存在R>0，当|z|<R时收敛，当|z|>R时发散。

此时，称R为幂级数的收敛半径，|z|=R为收敛圆。在（1）、（2）两种情形中，也称的收敛半径为0和∞。

3.收敛半径的求法

定理二（比值法）如果，那么收敛半径。

定理三（根值法）如果，那么收敛半径。［例1］求下列幂级数的收敛半径。解(1）因为或（2），即R=1。用根值审敛法也得同样结果。

在收敛圆|z－1|=1上，当z=0时，原级数成为,它是交错级数，根据莱布尼茨准则，级数收敛；当z=2时，原级数成为，它是调和级数，所以发散。这个例子表明，在收敛圆周上既有级数收敛点，也有级数发散点。（3）因为，所以故收敛半径。

4.幂级数的运算和性质

性质1因为幂级数在它的收敛圆内不仅收敛而且绝对收敛，因此两个幂级数，R=R2在|z|=R=min{R1,R2}内不但可以做加法、减法，还可以做乘法运算，即及，至于除法，可利用待定系数与乘法进行计算。性质2

幂级数的和函数f(z)在收敛圆

|z－a|=R内解析；在收敛圆上至少有一个奇点。

性质3

f(z)在收敛圆内的导数，可通过将其幂级数逐项求导得到，即，|z－a|<R

性质4

f(z)在收敛圆内可逐项积分，即C：|z－a|=r<R或其中，C为收敛圆内连接a点与z点的任意一条曲线。［例2］把函数表示成形如

的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。

解本题的解题思路在于：首先要把函数作代数变形，使其分母中出现量z－a；再把它按照展开式为已知的函数的形式写成形式，其中;然后把展开式中的z换成g(z)。把函数写成如下的形式：当时，有从而得到设|b－a|=R，那么当|z－a|<R时，上式右端的级数收敛，且其和为。

4.3泰勒级数

1.泰勒展开定理

定理（泰勒展开定理）设f(z)在区域D内解析，z0为

D内的一点，d为z0到D边界上各点的最短距离，那么当

|z－z0|<d时，有

(4.3.1)

2.直接泰勒展开

利用泰勒展开定理，可以直接计算系数：从而把一些简单的初等函数展开成幂级数。［例1］求ez在z=0的泰勒展开式。

解由于故有［例2］求sinz与cosz在z=0的泰勒展开式。

解直接计算泰勒系数可得：

3.间接泰勒展开

［例3］把函数展开成z的幂级数。

解由于函数在单位圆周|z|=1上有一奇点z=

－1，而在|z|<1内处处解析，所以它在|z|<1内可展开成z的幂级数。把其中的z换成－z，得，|z|<1把上式两边逐项求导，即得所求的展开式:，|z|<1［例4］将ln(1+z)展开为z的幂级数。

解注意到ln(1+z)在|z|<1内解析，在z=－1处无意义，而在|z|<1内，又当|z|<1时，有但是，ln1=0，而由幂级数和函数的性质(3)知，当|z|<1时，有所以，在|z|<1内，［例5］将在z=0处展开成幂级数。

解因在|z|<1内解析，故展开后的幂级数在|z|<1内收敛。已经知道|z|<1|z|<1在|z|<1时，将两式相乘，得［例6］试将函数按z－1进行幂展开，并指明其收敛范围。

解

|z－1|<3

4.4洛朗级数

1.双边幂级数

首先让我们探讨具有下列形式的级数：（4.4.1）其中,z0及cn（n=0,±1,±2,…）都是常数。把级数式（4.4.1）分成两部分来考虑，即正幂项（包括常数项）部分：

(4.4.2)与负幂项部分：(4.4.3)级数式（4.4.3）是一个新型的级数。如果令ζ=(z－z0)－1，那么就得到(4.4.4)对变数ζ来说，级数式（4.4.4）是一个通常的幂级数。设它的收敛半径为R，那么当|ζ|<R时，级数收敛；当|ζ|>R时，级数发散。由于级数式（4.4.1）中的正幂项与负幂项分别在常数项c0的两边，各无尽头，因此没有首项。所以对它的敛散性作如下的规定：当且仅当级数式（4.4.2）与式（4.4.3）都

收敛时，级数式（4.4.1）才收敛，并把级数式（4.4.1）看做级数式（4.4.2）与式（4.4.3）的和。因此，当R1>R2时（见图4.1），级数式（4.4.2）与式（4.4.3）没有公共的收敛范围，所以，级数式（4.4.1）处处发散；当R1<R2时（见图4.2），级数式（4.4.2）与式（4.4.3）的公共收敛范围是圆环域R1<|z－z0|<R2。所以，

级数式（4.4.1）在此圆环域内收敛，在此圆环域外发散。在圆环域的边界|z－z0|=R1及|z－z0|=R2上可能有些点收敛，有些点发散。这就是说，级数式（4.4.1）的收敛域是圆环域：R1<|z－z0|<R2。在特殊情形，圆环域的内半径R1

可能等于零，外半径R2可能是无穷大。图4.1图4.2例如，级数(a与b为复常数)中的前面部分由负幂项组成的级数当，即|z|>|a|时收敛；后面部分由负幂项组成的级数当，即|z|<|b|时收敛。所以，在|a|<|b|的情形下，原级数中正、负幂项各自组成的级数的公共收敛范围为圆环域|a|<|z|<|b|，即原级数在此圆环域内收敛。在|a|>|b|的情形，原级数中的两个级数没有公共的收敛点，所以原级数处处发散。

2.洛朗定理

定理（洛朗定理）设f(z)在圆环域R1<|z－z0|<R2内处处解析，那么（4.4.5）其中,［例1］函数在圆环域：

(1）0<|z|<1；

(2）1<|z|<2；

(3）2<|z|<+∞。

内是处处解析的，试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数。

解先把f(z)用部分分式来表示：

(1）在0<|z|<1内，由于|z|<1，从而，所以有(4.4.7)(4.4.6)因此，我们有结果中不含有z的负幂项，原因在于在z=0处是解析的。（2）在1<|z|<2内，由于|z|>1，所以式（4.4.6）不

成立，但此时，因此把另行展开如下：(4.4.8)并由于此时|z|<2，从而，所以式（4.4.7）仍然有效。因此，我们有（3）在2<|z|<+∞内，由于|z|>2，所以式（4.4.7）

不成立，但此时，因此把另行展开如下：因此，我们有［例2］把函数在0<|z|<+∞内展开成洛朗级数。

解函数在0<|z|<+∞内是处处解析的。我们知道，ez在复平面内的展开式是：

而１／ｚ在内解析，所以把ez式中的z代换成

1／ｚ，两边同乘以z3，即得所求的洛朗展开式：

3.洛朗级数与泰勒级数的关系

当已知函数f(z)在点z0解析时，收敛圆环：R