概率论与数理统计课件：随机变量及其分布

随机变量及其分布2.1随机变量2.2随机变量的分布函数2.3离散型随机变量及其分布律2.4连续型随机变量及其概率密度2.5随机变量函数及其分布习题２

2.1随机变量

在随机试验中，人们发现随机试验的结果有的可以用数来表示，此时样本空间Ω

的元素就是一个数，但有的则不然。当样本空间Ω的元素不是一个数时，人们对于Ω

就难以描述和研究。现在需要讨论如何引入一个法则，将随机试验的每一个结果，即Ω

的每个元素ω

与实数x

对应起来，从而产生了随机变量的概念。

例2－1在掷一枚硬币三次，观察出现正面和反面情况的随机试验中，其样本空间为

以X记三次得到正面的总数，则对于样本空间Ω={ω}中的每一个样本点ω，

X都有一个数与之对应，因而X

是定义在样本空间

Ω上的一个单值实值函数，它的定义域是样本空间，值域是实数集合{0，

1，

2，

3}。使用函数记号，

X

可写成

一般地，有以下定义。

定义设Ω={ω

}是随机试验的样本空间，称定义在样本空间Ω上的单值实值函数X

=X(ω)为随机变量。

随机变量的取值随试验结果而定，而试验中各个结果的出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率。在例2－1中，

X

取值1，记为{X=1}，对应于样本点的集合A={HTT，

THT，

TTH}，这是一个事件，当且仅当事件A发生时有{X=1}，称概率P(A)=P({HTT，

THT，

TTH})为{X=1}的概率，即P(X=1)=P(A)=3/8，以后就把{X=1}与事件A={HTT，

THT，

TTH}等同起来。类似地，有{X≤1}={HTT，THT，

TTH，

TTT}，{X≥2}={HHH，

HHT，

HTH，

THH}。

一般地，

∀L⊂R，则{X∈L}表示事件{ωX(ω)∈L}，即样本空间中满足X(ω)∈

L的所有样本点ω组成的事件。

特别地，

∀x∈R，取L=(-∞，

x]，则{X∈L}={X≤x}是随机事件，从而就有概率P(X≤x)，于是就得到一个定义在R上的函数，记为F(x)=P

(X≤x)，

x

∈R。这个函数无论是在理论上，还是在应用上都有着重要的意义，它就是下面要介绍的随机变量的分布函数。

2.2随机变量的分布函数

定义设X

是一个随机变量，称函数为随机变量X的分布函数。

分布函数是一个普通的函数，通过它我们可以利用数学分析的方法来研究随机变量，进而可以利用微积分来计算随机事件的概率。

从几何上来看，如果把X

看成数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x

)在x

处的函数值就表示X

落在区间(-∞

，

x]上(即随机点落在点x

的左边)的概率。

定理设随机变量X的分布函数为F

(x)，则∀x1

<x2

，有

证明由于{x1<X≤x2}={X≤x2

}-{X≤x1

}，且{X≤x1

}⊂{X≤x2

}，因此

例2－2一个靶子是半径为R的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并且射击均能中靶，以X

表示弹着点与靶心的距离，试求随机变量X

的分布函数。

解当x<0时，事件{X≤x}是不可能事件，则

当0≤x<R时，由题设知P(0≤X≤x)=k·πx2

，其中k

为比例系数，但由于1=P(0≤X≤R)=k·πR2

，因此

从而

当x≥R时，事件{X≤x}是必然事件，则

即随机变量X

的分布函数为

其图像是一条连续的曲线，如图2－1所示。图2－1

随机变量的分布函数具有以下性质。

F(-∞)=0，

F(+∞)=1在几何上可以作如下解释：当X所落的区间(-∞，

x]的端点x沿数轴无限向左移动，即x→-∞时，则“随机点落在x

的左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于零，即

F(-∞)=0；当区间端点x沿数轴无限向右移动，即x→+∞时，则“随机点落在x

的左边”这一事件趋于必然事件，从而其概率趋于1，

即F

(+∞)=1。

性质2F

(x

)是单调不减函数，即当x1<x2时，

F(x1)≤F(x2

)。

证明由于当x1<x2

时，{X≤x1

}⊂{X≤x2

}，因此P(X≤x1)≤P(X≤x2

)，从而F

(x1

)≤F(x

2)

性质3F(x)是右连续的，即F(x+0)=F(x

)，

x∈R

。

需要指出的是，如果函数F

(x

)满足上述性质1、性质2及性质3，那么F(x)一定是某个随机变量的分布函数。

例2－3设随机变量X的分布函数为F

(x

)=A+Barctanx，求常数A

与B

。

解

由

例2－4设F1

(x

)与F2(x)分别为随机变量X1

和X2

的分布函数，且F(x)=aF1(x)-bF2

(x)是某随机变量的分布函数，其中a、b为常数，且a+b=1/5，求a

与b

的值。

解由F(+∞)=1，

F1

(+∞)=1，

F2

(+∞)=1，得a-b=1。又由于a+b=15，故

例2－5设随机变量X的分布函数为

F(x)=

求

解由F

(x

)的右连续性知由此可得A=1。因此

2.3离散型随机变量及其分布律

我们知道随机变量可能的取值是实数，有些随机变量可能的取值可以一个一个地列举出来。例如，在掷一枚硬币三次的随机试验中，以X

记三次得到正面的总数，则X就是这样的一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3。像这样的随机变量在实际问题中大量存在，它就是下面要讨论的离散型随机变量。

1.离散型随机变量的定义

定义1设X是随机变量，如果其可能的取值为有限个或可列无限多个，则称X

为离散型随机变量。

容易知道，要掌握一个离散型随机变量X

的统计规律，必须且只需知道X

所有可能的取值以及取每一个值的概率。

2.离散型随机变量的分布律

定义2(离散型随机变量的分布律)设X

是离散型随机变量，其可能的取值为x1，x2，…，

xi

，…，称

为X

的分布律，或表示为

例2－6设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯禁止汽车通行的概率均为p。以X

表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求X

的分布律。

解

X

可能的取值为0、1、2、3、4，且

即X

的分布律为

若取p=0.5，则X

的分布律为

例2－7设连续进行两次独立的射击，每次射击击中目标的概率为0.4，以X

表示击中目标的次数，求X

的分布律。

解

X

可能的取值为0、1、2，且

即X

的分布律为

例2－8袋中有5只球，其中3只红球、2只白球。从中任取2只，设X表示其中的红球数，试求X的分布律。

解X可能的取值为0、1、2，且

即X的分布律为

3.离散型随机变量分布律的性质

性质1pi

≥0(i=1，

2，…)。

性质2

证明由于

且

因此

需要指出的是，如果有一列数满足上述性质1与性质2，那么这一列数一定是某个离散型随机变量的分布律。

例2－9

设离散型随机变量X的分布律为

解

例2－10设离散型随机变量X

的分布律为

求X

的分布函数F

(x

)及概率

解

由于X

仅在

x=-1，

2，

3三点处概率不等于零，而F

(x

)的值是X≤x的累积概率值，由概率的有限可加性知，它即为小于或等于x的那些xi处的概率pi

之和，因此当x<-1时，

当x≥3时，

即X

的分布函数为

图2－2

4.离散型随机变量分布函数

设离散型随机变量X

的分布律为

由概率的可列可加性得X的分布函数为

即

其中和式是对于所有满足xi≤x的i

求和的。分布函数F(

x)在xi(i=1，

2，…)处有跳跃，跳跃值为pi=P(X=xi)。

顺便指出，由上述求分布函数的方法及所得到的结果知，如果已知离散型随机变量X的分布函数，也可以反过来求离散型随机变量X的分布律，其方法是:X可能的取值便是分布函数F(x)的间断点(分界点)xi(i=1，

2，…)，从而X的分布律为

例2－11设离散型随机变量X的分布函数为

试求随机变量X的分布律。

解由于分布函数F(x

)的分界点为-1、2、3，因此随机变量X可能的取值为-1、2、3，且

即X的分布律为

这个结果正好是例2－10中随机变量X的分布律，这是因为这里题设给出的分布函数就是例2－10得到的X的分布函数，从而该例也就印证了已知离散型随机变量的分布函数求其分布律的方法。

5.几种重要的离散型随机变量

1)0-1分布

定义3若离散型随机变量X

只可能的取0与1两个值，它的分布律为

则称X服从参数为

p的0-1分布或两点分布。

0-1分布的分布律也可写成

对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个样本点，即

Ω={ω1

，

ω2

}，总可以在Ω

上定义一个服从0-1分布的随机变量

来描述这个随机试验的结果。例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，射击一次是否击中，掷一枚硬币是否出现正面等都可以用服从0-1分布的随机变量来描述。

设随机变量X服从参数为p的0-1分布，则X

的分布函数为

2)Bernoulli(伯努利)试验与二项分布

在讨论概率的统计定义时，曾经指出在相同的条件下进行大量的重复观察或试验，随机现象的统计规律就可以呈现出来。事实上，对某一试验独立重复地进行，也是一种得到

广泛应用的随机试验。

定义4若n次重复试验满足:

(1)每次试验条件相同;

(2)每次试验的结果都与其他各次试验的结果互不影响，即各次试验是相互独立的，则称此试验为n次独立重复试验。

例2－13设袋中装有6只球，其中4只红球、2只白球。现从袋中连续取球n次，每次取1只，观察取出球的颜色，再将取出的球放回袋中，则每次取1只球就是一次试验。由于每次取球的条件相同，并且一次取出的1只球是红球还是白球与其余次取球的结果是互不影响的，即各次取球是独立试验，故这样从袋中取球的试验就是一个n次独立重复

试验。

从例2－13我们发现:该n次独立重复试验每次试验的结果只有两个，即红球及白球，这样的n次独立重复试验是一种很重要的数学模型，有着极为广泛的应用。一般地，有以下定义。

定义5若n次独立重复试验每次试验的结果只有两个，即A及A，则称之为n重Bernoulli试验。

例2－14在n重Bernoulli试验中，设B表示事件“事件A恰好发生k次”，且P(A)=p，求P(B)。

解

由于各次试验是相互独立的，因此事件A在指定的k(0≤k≤n)次试验中发生，在其他n-k次试验中不发生(如A在前k次试验中发生，而在后n-k次试验中不发生)

的概率为

这种方式是事件B的一种情况，而这种指定的方式共有Ckn

种，并且是两两互不相容的，故所求的概率为

以X

表示n

重Bernoulli

试验中事件A

发生的次数，则X

就是一个随机变量，其可能的取值为0，

1，

2，…，

n，并且

显然

即)形成一离散型随机变量的分布律，由于刚好是二项式(p+q)n

的展开式中出现pk

的那一项，便得到二项分布的随机变量。

定义6若离散型随机变量X的分布律为

则称X

服从参数为n、p的二项分布，记为X~B

(n

，

p)。

特别地，当n=1时，二项分布变为

这时的分布成为参数为p的0-1分布，

可以记为X~B(1，

p)。

例2－15在某车间里有12台同类型的机器，每台机器由于工艺上的原因，时常需要停机，设各台机器停机与否相互独立，且每台机器在任一时刻处于停机状态的概率为1/3，求在任一指定时刻这个车间里有2台机器处于停机状态的概率。

解

把在指定时刻对一台机器的观察看成一个试验，则对这12台机器进行的观察就是12次试验。由于各台机器的类型及使用情况都相同，且它们停机与否相互独立，故这12次试验为12重Bernoulli试验。设X表示在指定时刻12台机器中处于停机状态的台数，则(2.3.5)式得

例2－16设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，求事件A至少发生一次的概率及事件A至多发生一次的概率。

解设X

表示n

次试验中事件A发生的次数，则X~B(

n，

p)，由(2.3.5)式得

例2－18某人进行400次独立的射击，每次射击的命中率为0.02，求至少命中目标2次的概率。

解将一次射击看成一次试验，则400次独立的射击为400重Bernoulli试验，设X表示命中目标的次数，则X~B(400，0.02)，由(2.3.5)式得

这个结果有实际意义。一方面，虽然每次射击的命中率很小，只有0.02，但是如果射击400次，则命中目标至少2次是几乎可以肯定的。这一事实说明，一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小，但只要试验次数很多，而且试验是独立地进行的，那么这一事件的发生几乎是肯定的。这也告诉人们绝不能轻视小概率事件。另一方面，如果射手在400次射击中，命中目标的次数不到2次，则由于概率P(X<2)≈0.003很小，根据实际推断原理，我们将怀疑“每次射击的命中率为0.02”这一假设，即认为该射手射击的命中率达不到0.02。

这个例子也反映出一个问题:当n

充分大、p充分小时，计算Cknpkqn

-k是比较麻烦的，那么如何计算Cknpkqn-k，从而得到所求事件的概率呢?为了解决这个问题，引入如下Poisson(泊松)定理。

定理1(Poisson

定理)设λ>0是一个常数，

n

是任意的正整数，np=λ，则对任一固定的非负整数k，有

例2－19计算机硬件公司制造某种型号的微型芯片，其次品率为0.1%，各芯片是否成为次品相互独立，求在1000只芯片中至少有2只次品的概率。

解

设X表示1000只芯片中的次品数，则X~B(1000，0.001)，从而λ=np=1000×0.001=1，由(2.3.6)式得

显然利用(2.3.6)式计算很方便。一般地，当n

≥20，

p≤0.05时，用(2.3.6)式近似计算所得到的近似值效果较佳。

我们考虑Poisson定理中的一组值：

所以可以是某一离散型随机变量的分布律。

3)Poisson分布

定义7若离散型随机变量X的分布律为

则称X服从参数为λ的Poisson分布，记为X~P(λ)。

Poisson分布是一种应用非常广泛的概率分布，它的应用例子很丰富。例如，一批产品中出现的次品数，单位时间内商店售出的某种特殊商品的件数，一本书一页中的印刷错误数，某地区某段时间内交通事故次数等都服从Poisson分布。

例2－20某电话机交换台每分钟收到用户的呼叫次数X服从参数为4的Poisson分布。试求:

(1)某一分钟恰有8次呼叫的概率;

(2)某一分钟的呼叫次数大于3的概率。

解

由于X~P(4)，因此X的分布律为

(1)所求的概率为

(2)所求的概率为

例2－21某人家中在长为t(单位:小时)的时段内有电话打进的次数X服从参数为2t的Poisson分布。试求:

(1)若此人外出计划用时10分钟，则其间有一次电话打进的概率;

(2)若此人希望外出时没有电话打进的概率至少为0.5，则其外出应控制最长时间是多少?

解由于X~P(2t)，因此X

的分布律为

从而t取决于如下条件:

所以此人的外出时间应控制小于20.796分钟。

4)几何分布

定义8若离散型随机变量X的分布律为

则称X服从参数为p的几何分布。

例2－22某射手对一目标连续地进行独立射击，命中率为p，射击直到命中目标为止，则射击的次数X就是一个服从参数为p的几何分布随机变量，其分布律为(2.3.8)式。

例2－23袋中有5只球，其中3只红球、2只白球，从中任取2只。若取出的2只球是2只红球，则认为试验成功;否则认为试验失败，将取出的球放回袋中，重新抽取，直到试验成功为止。试求试验次数X的分布律。

解由于一次试验成功的概率因此X服从参数为的几何分布，从而X的分布律为

5)超几何分布

定义9设有N件产品，其中有M件次品，从中任取n件，则取出的次品数X的分布律为

称X服从参数为N、M、n的超几何分布。

例2－24盒中有12只乒乓球，其中有2只是新的、10只是用过的。从盒中任取3只球，求取出的3只球中新球数X的分布律。

解

由题设知，

X服从参数为N=12、M=2、n=3的超几何分布，故由(2.3.9)式知，X的分布律为

即

超几何分布与二项分布有下列关系。

2.4连续型随机变量及其概率密度

离散型随机变量可能的取值是有限个或可列无限多个，它的概率分布可以用分布律来刻画，如果随机变量可能的取值充满某个区间，那么它的概率分布需要如何来刻画呢?

1.连续型随机变量的定义

例2－25在区间[0，

a]上任意投掷一个质点，以X表示该质点的坐标。设质点落在[0，

a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X

的分布函数。

解

当x<0时，事件{X≤x}是不可能事件，则

当x≥a时，事件{X≤x}是必然事件，则

即随机变量X的分布函数为

容易看到，本例的随机变量X

的取值充满区间[0，

a]，其分布函数F(x)对于任意的x可以表示成

其中

这就是说，

F

(x

)恰好是非负可积函数f(x)在区间(-∞，

x]上的积分，对于这类随机变量有以下的一般定义。

定义1设

X是随机变量，其分布函数为F

(x)，如果存在非负可积函数f(x

)，使得

则称X

为连续型随机变量，称f

(x)为X

的概率密度函数，简称概率密度。

如果说离散型随机变量的概率分布是用其分布律来刻画的，那么连续型随机变量的概率分布就是用它的概率密度来刻画的。

需要指出的是，如果函数

f(x)满足上述性质1与性质2，那么f(x)一定是某个连续型随机变量的概率密度。

定理1设连续型随机变量X的概率密度为f(x

)，分布函数为F(x

)，则F(x)在(-∞，

+∞)上连续。

证明由微积分学基本定理即可得证。

定理2设X为连续型随机变量，则随机变量X取任一实数值a的概率均为零，即P(X=a)=0。

证明设X的分布函数为F

(x)，

Δx>0，则由{X=a}⊂{a-Δx<X≤a}得

在上述不等式中令Δx→0，由定理1得

据此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间，从而

由于事件{X=a}并非不可能事件，但却有P(X=a)=0，因此我们得到结论：不可能事件的概率是零，但概率是零的事件未必是不可能事件。

例2－26设连续型随机变量X的概率密度为

试求：(1)常数C

；(2)X的分布函数F(x

)；(3)P(X

>1)。

解

例2－27设连续型随机变量X的概率密度为

试求:(1)常数k;(2)X的分布函数F(x);

从而X的分布函数为

即

例2－28设连续型随机变量X的概率密度为

求：(1)常数c

例2－29设连续型随机变量X的分布函数为

求：(1)常数A、B、C；

(2)X

的概率密度f(x)；

(3)P(-2<X<1)。

解

(1)由F

(-∞)=0、F(+∞)=1，得C=0，

A=1。又由于X

是连续型随机变量，故F

(x)是连续函数，从而F(x)在x=0处连续，于是由F(0-0)=F(0+0)得B=-1。

例2－30某种型号器件的寿命(单位:小时)的概率密度为

现有一大批这种器件(设各器件损坏与否相互独立)，从中任取5只，求其中至少有2只寿命大于1500小时的概率。

解设X表示器件的寿命，

A={X>1500}，则

设Y表示任取的5只器件中寿命大于1500小时的只数，则Y~B，

，从而所求的概率为

3.几种重要的连续型随机变量

1)均匀分布

定义2若连续型随机变量X的概率密度为

则称X

在区间(a，

b)上服从均匀分布，记为X~U(a，

b)。

设X在区间(a，

b)上服从均匀分布，由(2.4.1)式，得X的分布函数为

概率密度f

(x)及分布函数F(x)的图像分别如图2－3和图2－4所示。图2－3图2－4

例2－31若随机变量ξ在区间(0，

5)上服从均匀分布，求方程4x2+4ξx+ξ+2=0有实根的概率。

解

由于随机变量ξ

在区间(0，

5)上服从均匀分布，因此ξ

的概率密度为

P(“方程4x2

+4ξx+ξ+2=0有实根”)

例2－32设离散型随机变量X的分布律为

在给定X=i

(i=1，

2)的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(0，

i)，求Y

的分布函数F(y)。

即Y的分布函数为

例2－33某人上班，自家里去办公室要经过一交通信号灯，这一信号灯有80%时间亮红灯，这时此人就在信号灯旁等待直至绿灯亮，等待时间(单位:秒)在区间[0，

30]上服从均匀分布。以X表示此人的等待时间，求X的分布函数。

解设A表示事件“信号灯亮绿灯”，

X的分布函数为F(x)，由全概率公式及题设得当x<0时，事件{X≤x}是不可能事件，则

即X

的分布函数为

结合几何概率，容易得到：

定理3设随机变量X~U[a，

b]，则X

在[a，

b]的任一子区间上取值的概率等价于以a、b为端点的直线线段上的几何概率。

例2－34设随机变量X~U[-2，

3]，试求

解由于以-2、3为端点的直线线段长为5，以-1、0为端点的直线线段是以-2、3为端点的直线线段的一部分，且长为1，因此

同理可得

2)正态分布

定义3若连续型随机变量X的概率密度为

其中μ、σ(σ>0)为常数，则称X

服从参数为μ、σ2

的正态分布或Gauss(高斯)分布，记为X~N(μ，σ2

)。

f(x)的图像如图2－5所示，它关于x=μ对称，在x=μ处取得最大值f

(μ

)=。若改变μ(固定σ)值，它将沿x

轴平移，但其形状不变，如图26所示，称μ为位

置参数;若改变σ(固定μ)值，它的扁尖程度将改变，当σ

越大时图形变得越扁，当

σ越小时图形变得越尖，如图2－7所示，当σ变小时X

落在μ

附近的概率越大。图2－5图2－6图2－7图2－8

例2－35若随机变量X~N(μ，σ2

)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为1/2，求参数μ

。

解

由于P(“方程y2

+4y+X=0无实根”)=P(16-4X<0)=P(X>4)，因此

故μ=4。

图2－9图2－10

由于标准正态分布在工程技术中有着重要的应用，因此人们为了使用方便，通过计算Φ

(x)的值，编制了Φ(x)的函数表(见附表1)，供实践中查用。这样，就解决了标准正态分布的问题，但在实际工作中，人们也会经常遇到一般的正态分布X~N(μ，σ2)，要解决一般正态分布的问题，自然需要知道其分布函数，那么如何得到F

(x

)的值呢?这时可以运用如下定理。

因此

证明由定理5，得

例2－36设随机变量X~N(10，

0.022)，已知Φ(2.5)=0.9938，求X在区间(9.95，10.05)内的概率。

指数分布有着重要的应用，常被用来描述寿命类随机变量的分布。如电子元件的寿命、生物的寿命、电话的通话时间、随机服务系统的服务时间等都可以认为服从指数分布。

定理7指数分布具有无记忆性，即设X~E(λ)，则∀s，

t>0，

P(X>s+tX>s)=P(X>t)。

即

例2－40设X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计)，

X的分布函数为

例2－41

设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的指数分布，且P(X≤1)=1/2。求:(1)参数λ;(2)P(X>2X>1)。

例2－42假设一大型设备在任何长为t的时间(单位:小时)内发生故障的次数N(t)服从参数为λt的Poisson分布。

(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;

(2)求在设备无故障工作8小时的情形下，再无故障工作8小时的概率。

解(1)先求T的分布函数为FT

(t)。

当t<0时，事件{T≤t}是不可能事件，则

当t≥0时，．

即T服从参数为λ的指数分布。

(2)方法一：所求概率为

方法二：由指数分布的无记忆性可得，所求的概率为

例2－43假设一设备开机后无故障工作的时间X(单位:小时)服从参数λ=1/5的指数分布。设备定时开机，出现故障时自动关闭，而在无故障的情况下工作2小时便关机。

试求设备每次开动无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。

解由于X服从参数λ=1/5的指数分布，因此X的概率密度为为

2.5随机变量函数及其分布

1.随机变量函数的定义实际中，常常会遇到某些随机变量函数的问题。例如，某圆盘的半径R是随机变量，它的分布是已知的，但实际中关心的是该圆盘的面积A=πR2

，即随机变量R的函数A。一般地，有下面的定义。

定义

设X

是随机变量，

y=g(x)为已知的连续函数，则称Y=g(X)为随机变量X的函数，简称随机变量函数。

显然，随机变量函数仍是随机变量。

2.离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量X的分布律为

或

则Y=g(X)也是离散型随机变量，

Y

可能的取值为g(

xi

)(i=1，

2，…)，其分布律为

在具体写Y的表格形式的分布律时，可按如下方法进行:

(1)若g(xi)(i=1，

2，…)互不相同，可将g(xi)按照从小到大的顺序重新排序，对

应的概率不变，则Y的分布律为

(2)若g(xi)(i=1，

2，…)中有相同的，则应把那些相同的分别合并，并把对应的概率相加，再重新排序，即可得到Y的分布律。

例2－44设离散型随机变量X

的分布律为

求:(1)随机变量Y=X-1的分布律;

(2)随机变量Y=-X+1的分布律;

(3)随机变量Y=X2

的分布律。

解

(1)Y

可能的取值为-2、-1、0，则

即Y的分布律为

(2)Y可能的取值为0、1、2，则

(3)Y可能的取值为0、1，则

即Y

的分布律为

3.连续型随机变量函数的分布

设X是连续型随机变量，其概率密度为

fX(x)，如果Y=g(X)仍是连续型随机变量，那么怎样确定Y

的概率密度呢?下面通过一些例子给出一般的方法。

例2－45设连续型随机变量X的概率密度为

求随机变量Y=2X+1的概率密度。

解设Y

的分布函数为FY(y)，则

从而Y的概率密度为

从而Y

的概率密度为

此时称Y

服从自由度为1的χ2

分布。

一般地，当y=g(x

)是严格单调可微函数时，有下述定理。

定理设随机变量X

的概率密度为fX

(x

)，

y=g(x)严格单调可微，则Y

的概率密度为

其中：

x=h(y)是y=g(x)的反函数；I是使得fX

(h(y))>0，

h(y)和h'(y)有意义的y的集合。

证明当y=g(x

)为严格单调递增可微函数时，其反函数x=h(y)存在，且严格单调递增，从而h'(y

)>0。设Y

的分布函数为FY

(y

)，则

从而Y的概率密度为

当y=g(x)为严格单调递减可微函数时，其反函数x=h(y)存在，且严格单调递减，从而h'(y

)<0。设Y的分布函数为FY

(y

)，则

从而Y的概率密度为

综上可知，当

y=g(x)严格单调可微时，

Y

的概率密度为

需要指出的是，定理给出的公式(称为公式法)只适合于y=g(x)为严格单调可微的情况。当y=g(x)非严格单调可微时，可以先求出Y

的分布函数FY

(y)，然后对FY

(y)求导，得到Y

的概率密度FY

(y)，这种方法称为分布函数法。

例2－47设连续型随机变量X的概率密度为

例2－48设随机变量X~N(μ，σ2

)，求随机变量Y=

aX+b(a≠0)的概率密度。

解

方法一(分布函数法):由于随机变量X~N(μ，

σ

2

)，因此X的概率密度为

设Y

的分布函数为FY(y

)，则当a>0时，

从而Y的概率密度为

当a<0时，

从而Y的概率密度为

故Y的概率密度为

例2－51设连续型随机变量X的概率密度为

习题2

4.掷两颗骰子，则两颗骰子出现最大点数X的分布律为

。

5.设随机变量X服从参数为p的0-1分布，且P(X=1)=αP(X=0)，其中α>0为常数，则X的分布函数为。

6.设某批电子元件的正品率为4/5，现对这批元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试，则测试次数X的分布律为。

7.设离散型随机变量X的分布律为

8.某人用一台机器接连独立地制造了3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为

以X表示3个零件中合格品的个数，则P(X=2)=

。

9.某射手有3发子弹，射击一次命中目标的概率为2/3。如果命中目标就停止射击，否则一直独立射击到子弹用尽，则耗用子弹数ξ

的分布律为。

15.设连续型随机变量X的概率密度为

16.某公共汽车站从上午7:00起，每15分钟来一辆公共汽车，即7:00、7:15、7:30、7:45等时刻有公共汽车达到该站。设某乘客到达该站的时间在7:00到7:30之间服从均匀分布，则此乘客等候少于5