【Syx】余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理 高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

1第六章《平面向量及其应用》人教A版2019必修第二册6.4.3第2课时正弦定理1.掌握正弦定理的概念与公式，理解正弦定理的推导过程，学会正弦定理在实际生活中的应用；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题，达到数学运算与逻辑推理核心素养水平一的要求.3.通过观察，讨论，概括总结等活动，提高推理论证、运算求解等能力，感受数形结合等数学思想，培养数学抽象，空间想象，数学运算等数学学科核心素养。学习目标小明的家坐落在河岸的一侧A处，河的对岸B处有一座电视塔，现在小明想测量他的家与电视塔的距离。但是他没有办法渡河，他的手边只有测角仪与皮尺，那么他有办法利用手边的工具测得A与B之间的距离么？问题1：（1）在测量之前应该借助什么图形来研究？

（2）在构造出的三角形中，哪些条件是已知条件？环节一：创设情境，引入课题探究

余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？

在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为∶在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题.

我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在Rt△ABC中（如图6.4-9），有环节二：观察分析，感知概念

对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究.

我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究．

在直角三角形中，有

向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？

由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.

下面先研究锐角三角形的情形.

如图6.4-10，在锐角三角形ABC中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.BAC环节三：抽象概括，形成概念

当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝角.

如图6.4-11，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.

如图，在△ABC中，有所以

同理可得正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即问题：正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？

正弦定理中有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）.

利用正弦定理，我们可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形.环节四：辨析理解，深化概念【解析】由三角形内角和定理可得，C=180°-(A+B)=120°

【例7】在△ABC中，已知A=15°，B=45°，

，解这个三角形．由正弦定理可得，环节五：课堂练习，巩固运用解“已知两角及和一边”的三角形（1）已知两角及其中一角的对边，如A，B，a.①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根据正弦定理

和

，分别求出边b，c.（2）已知两角及另外一角的对边，如A，B，c.①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根据正弦定理

和

，分别求出边a，b.分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理．为什么角C有两个值？已知三角形中的三个元素解三角形：（1）已知两边及其夹角（SAS）；（2）已知三条边（SSS）；（3）已知两边及一边对角（SSA）；（4）已知两角和一边；注：已知两边或三边的用余弦定理求解；

已知两角的用正弦定理求解.---

用余弦定理求解---

用余弦定理求解---

用正、余弦定理都可解---

用正弦定理求解AABBCCaabbABCabAB1B2CaabABCba=bsinAABCba<bsinA若A为锐角时:若A为直角或钝角时:考试中解答题不能直接用,需要给出证明ABCabcABCabcDABCabcD证法四：图形证明2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即

每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.环节六:归纳总结，反思提升3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.已知三角形中的三个元素解三角形：（1）已知两边及其夹角（SAS）；（2）已知三条边（SSS）；（3）已知两边及一边对角（SSA）