1.4 向量的分解与坐标表示 2023-2024学年高中数学湘教版必修第二册

高中数学湘教版必修第二册第一章平面向量及其应用1.4向量的分解与坐标表示1.4.1向量分解及坐标表示教材要点要点一平面向量基本定理1．定理：设e1，e2是平面上两个________向量，则(1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即__________，其中x，y是实数．(2)实数x，y由___________唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′.2．基：我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标．不共线v＝xe1＋ye2v＝xe1＋ye2

要点二平面向量的正交分解与坐标表示1．把一个向量分解为两个________的向量，叫作把向量正交分解．2．平面上互相垂直的________向量组成的基称为标准正交基，记作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．3．若单位向量e1，e2的夹角为90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1与v的夹角为α，则v＝____________．状元随笔标准正交基是平面向量的一组特殊的基．互相垂直单位{i，j}(rcosα，rsinα)基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基．(

)(2)平面向量的基确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基唯一表示．(

)(3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．(

)(4)基向量可以是零向量．(

)×√××

答案：AC

答案：B

4．在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝________．(2，－3)解析：在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a＝2i－3j，则向量用坐标表示a＝(2，－3)．题型

1对平面向量基本定理的理解例1

(1)设e1，e2是同一平面内的两个向量，则有(

)A．e1，e2一定平行B．e1，e2的模相等C．对同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1，e2不共线，则对同一平面内的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)答案：D解析：D选项符合平面向量基本定理．故选D.(2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基，下列四组向量中能作为基的是(

)A．e2和e1＋e2

B．2e1－4e2和－e1＋2e2C．e1和e1－e2

D．e1＋2e2和2e1＋e2答案：ACD解析：e1、e2是平面内所有向量的一组基，e2和e1＋e2，显然不共线，可以作为基；e1和e1－e2，显然不共线，可以作为基；2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不可以作为基；因为e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共线，可以作为基．

答案：B

方法归纳用基表示向量的两种基本方法用基表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基表示向量的唯一性求解．

题型3平面向量的坐标表示例4

在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐标．

方法归纳始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定．一般可以借助三角函数的定义来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与x轴正方向的夹角．跟踪训练3

(1)如图，{e1，e2}是一组基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(

)A．(1，3)B．(3，1)C．(－1，－3)D．(－3，－1)答案：A解析：因为e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)．

答案：C易错辨析对基成立的条件理解有误例5

已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，则向量a与b共线的条件为(

)A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0

答案：D易错警示易错原因纠错心得忽略基的条件“两个向量不共线”导致错误．平面内任意一对不共线的向量都可以组成表示该平面内所有向量的一组基，一定要注意“不共线”这一条件，还要注意零向量不能作为基．高中数学湘教版必修第二册第一章平面向量及其应用1.4向量的分解与坐标表示1.4.2向量线性运算的坐标表示教材要点要点一平面向量加、减、数乘运算的坐标表示

文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________数乘一个实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以向量相应的坐标若a＝(x，y)，则λa＝__________向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)

要点二中点坐标公式已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为____________．要点三向量共线的坐标表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量a，b(b≠0)共线的充要条件是____________．

x1y2－x2y1＝0

基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(

)(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(

)(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．(

)(4)点的坐标与向量的坐标相同．(

)××√×2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于(

)A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)答案：B解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．

答案：B

(3，4)

方法归纳(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．

答案：B

(2)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于(

)A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)答案：D解析：因为向量4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．题型

2平面向量坐标运算的应用例2如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.

方法归纳建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示将几何问题转化为代数问题，可以很容易地解决一些平面几何问题．

方法归纳向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判断a与b是否平行．

答案：A

方法归纳根据向量共线的条件求参数问题的两种思路(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．

方法归纳利用向量解决三点共线问题的一般思路：(1)利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ；(2)利用向量运算的坐标表示得出两向量共线，再结合两向量过同一点，可得两向量所在的直线必重合，即三点共线．

易错警示易错原因纠错心得在将模的关系转换为向量之间的关系时，均需要从方向角度加以分析，若不能确定，则