华中科技大学2021年《量子力学》期末复习题及答案

1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由以下诸式所描述：〔a〕、求归一化常数A,〔b〕、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？解：〔a〕由波函数的归一化条件于是：(b)2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。证：对于定态，可令可见无关。4、波长为1.0*10-12m的X射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式其中：可得：。〔a〕、假设电子、氢原子和铀原子的动能都等于100eV,试计算这些粒子的德布罗意波长。〔b〕、假设电子和中子的德布罗意波长都等于1,试求它们的速度和动能。解：由公式：可以计算各粒子的德布罗意波长。、电子：氢原子：铀原子：〔b〕、电子：可得中子：于是：1、指出以下算符哪个是厄米算符，说明其理由。，，解：不是，是，是，不是，是2、如果和都是厄米算符，但互不对易，试判断以下算符中哪些是厄米算符？〔1〕；〔2〕；〔3〕+；〔4〕；〔5〕〔+〕；〔6〕〔〕；〔7〕；〔8〕；〔9〕；〔10〕；解：〔1〕〔2〕不是。〔3〕是，〔4〕不是，〔5〕不是，〔6〕是，〔7〕是〔8〕是，〔9〕不是，〔10〕不是3、以下函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？①②③④⑤解：=2不是；=，是，本征值为1.=-，是，本征值为-1.=-，是，本征值为-1.〔〕=-(),是，本征值为-1.4、证明：[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0证明：[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=[Ô,ÛÊ-ÊÛ]+[Û,ÊÔ-ÔÊ]+[Ê,ÔÛ-ÛÔ]=[Ô,ÛÊ]-[Ô,ÊÛ]+[Û,ÊÔ]-[Û,ÔÊ]+[Ê,ÔÛ]-[Ê,ÛÔ]=ÔÛÊ-ÛÊÔ-ÔÊÛ+ÊÛÔ+ÛÊÔ-ÊÔÛ-ÛÔÊ+ÔÊÛ+ÊÔÛ-ÔÛÊ-ÊÛÔ+ÛÔÊ=06、设氢原子处在的态〔为第一玻尔轨道半径〕，求①的平均值；②势能的平均值。解：解：(1)7、设在的共同表象中算符的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。解：的久期方程为∴的本征值为的本征方程其中设为的本征函数共同表象中的矩阵当时，有∴由归一化条件取a1=1/对应于的本征值0。当时，有∴由归一化条件取a1=1/2∴归一化的对应于的本征值。当时，有所以由归一化条件取a1=1/2∴归一化的对应于的本征值由以上结果可知，从的共同表象变到表象的变换矩阵为∴对角化的矩阵为按照与上同样的方法可得的本征值为的归一化的本征函数为从的共同表象变到表象的变换矩阵为利用S可使对角化1.能量为100ev的自由电子的DeBroglie波长是A.1.2.B.1.5.C.2.1.D.2.5.3.Compton效应证实了A.电子具有波动性.B.光具有波动性.C.光具有粒子性.D.电子具有粒子性.4.Davisson和Germer的实验证实了A电子具有波动性.B.光具有波动性.C光具有粒子性.D.电子具有粒子性.5.设和分别表示粒子的两个可能运动状态，那么它们线性迭加的态的几率分布为A..B.+.C.+.D+.6.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.7.波函数、(为任意常数)，A.与描写粒子的状态不同.B.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:.C.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是.D.与描写粒子的状态相同.几率流密度矢量的表达式为A.B..C..D..9.以下哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.10.线性谐振子的能级为A..B..C..D..11.线性谐振子的能量本征方程是A..B..C..D..12.波函数和是平方可积函数,那么力学量算符为厄密算符的定义是A..B..C..D..13.和是厄密算符,那么A.必为厄密算符.B.必为厄密算符.C.必为厄密算符.D.必为厄密算符.14.算符和,那么A.和都是厄密算符.B.必是厄密算符.C.必是厄密算符.D.必是厄密算符.15.氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.16.对易关系等于A..B..C..D..17.对易关系等于A..B..C..D..18.对易关系等于A..B..C..D..19.对易关系等于A..B..C..D..20.算符和的对易关系为,那么、的测不准关系A..B..C.，D..21.,那么和的测不准关系是A..B..C..D..22.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是以本征值为对角元素的对角方阵.一个上三角方阵.C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.23.在表象中,其本征值是A..B.0.C..D..24.幺正矩阵的定义式为A..B..C..D..25.非简并定态微扰理论中第个能级的一级修正项为A..B..C..D..非简并定态微扰理论的适用条件A.B..C..D..27.Stern-Gerlach实验证实了A.电子具有波动性.B.光具有波动性.C.原子的能级是分立的.D.电子具有自旋