北师大版五年级上数学课外辅导讲义

./第一单元小数除法一个数除以小数一个数除以小数一个数除以小数

被除数的小数位数比除数少小数除法小数除以整数整数部分够商1,

整数部分不够商1,用0补有限小数循环小数<纯、混循环小数

不循环小数〔有限小数、无限小数小数分类无限小数四舍五入法〔按要求进一法

去尾法解决问题用连除的方法解决实际问题

"进一法"和"去尾法"在实际问题中的应用据实际情况求商的近似值求商的近似值小数除法混合运算：和整数除法混合运算顺序相同一、计算小数除法：1、小数除法的意义：小数除法的意义与整数除法的意义相同,是已知两个因数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。2、小数除以整数的计算方法：〔1按整数除法的方法去除；〔2商的小数点要和被除数的小数点对齐；〔3整数部分不够除,商0,点上小数点；〔4如果有余数,要添0再除。3、除数是小数的计算方法：〔1用商不变定律；〔2按整数除法的方法去除；〔3商的小数点要和被除数的小数点对齐；〔4整数部分不够除,商0,点上小数点；〔5如果有余数,要添0再除。[注意]人民币兑换：外币×汇率﹦人民币人民币÷汇率﹦外币。二、小数四则混合运算：计算小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。整数的运算定律在小数运算中仍然适用。例如乘法的结合律,交换律,分配律等等。三、求商的近似值：根据要求除到所需保留位数的后一位,再用"四舍五入"法求商的近似值；但有时要根据实际需要,用"进一法"或"去尾法"求商的近似值。四、循环小数：一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。循环节：循环小数中重复出现的数字。循环小数的一般写法：写两个循环节,点上省略号。简便写法:写一个循环节,在首位和末位点上循环点。有限小数：小数位数是有限的小数。小数纯循环小数〔如：循环小数无限小数：小数位数是无限的小数。混循环小数〔如：无限不循环小数五、被除数、除数、商的变化规律：被除数和除数同时扩大〔或缩小相同的倍数,商不变。除数不变,被除数扩大〔或缩小多少倍,商也扩大〔或缩小多少倍。被除数不变,除数扩大〔或缩小多少倍,商则缩小〔或扩大多少倍。六、小数除法中的比大小：当除数大于1时,商小于被除数。〔被除数≠0如：4.8÷1.1﹤4.8当除数小于1时,商大于被除数。〔被除数≠0如：4.8÷0.9﹥4.8当除数等于1时,商等于被除数。如：4.8÷1﹦4.8七、解决问题：根据实际情况取值,算式上用原数,答上最值；五步骤：审,找,列,算,答。做一套衣服用布2.4米,28米长的布最多能做多少套衣服?五〔1班有51人,秋游去划船,每条船只能坐4人,他们一共要租几条船？1、游艺会上有个节目是"吹气球"。买一包气球有200个,用去29.6元。平均每个气球多少元？〔四舍五入保留两位小数第一单元测试卷一、填空题。〔20分1、3.2965保留一位小数约是〔,保留三位小数约是〔,保留整数约是〔。2、在计算4.9÷〔8.2-4.7时,应先算〔法,再算〔法,计算结果是〔。3、6.4÷0.004的商的最高位是在〔位上。4、9.6654保留两位小数约等于<>,保留整数约等于<>。5、0.444…记作<>,2.13535…记作<>。6、计算小数除法时,商的小数点一定要与<>的小数点对齐。7、除数是一位小数的除法,计算时除数和被除数同时扩大<>倍。8、25÷36的商用循环小数的简写形式表示是〔,保留两位小数约是〔。9、在○里填上"＞"、"＜"、或"="2.4÷1.2○2.40.35÷0.99○0.350÷9.9○9.910、把一个数的小数点向右移动两位后,得到的数比原来大201,原来的数是〔。11、在5.454,5.,5.4,5.,5.这五个数中,最大的数是〔,最小的数是〔。12、在〔里填上适当的数。14.4÷0.45=<>÷452.58÷0.12=<>÷1222÷8.8=<>÷889.12÷0.08=<>÷8二、判断题。〔对的在括号里打"√",错的打"×"。〔10分1、在除数中,除不尽时商一定是循环小数。〔2、0.25÷0.12的商一定小于0.25。<>3、1÷7的商是循环小数。<>4、一个小数保留一位小数一定比保留两位小数小。<>5、1.47÷1.2的商是1.2,余数是3。〔三、选择题。〔把正确的答案的序号填在括号里。〔10分1、在除法算式中,0不能做〔。A、除数B、商C、被除数2、下列各数是循环小数的是〔A、0.151515B、0.1515……0.C、5115123、除数大于1时,商〔被除数。A、大于B、小于C、等于4、3.6与2.4的和除0.6,商是多少？列式正确的是〔。A、3.6+2.4÷0.6B、〔3.6+2.4÷0.6C、0.6÷〔3.6+2.45、下列算式中,与7.2÷0.36相等的式子是〔。A、720÷36B、72÷3.6C、7.2÷0.036四、计算题。34分1、口算。〔10分10÷4=12.9÷0.3=1.3÷0.13=0.6÷1.2=0.3÷2=0.32÷0.04=2.64÷1.1=3.6÷0.4=3.98÷1.0=1.98÷0.78=2、竖式计算。〔12分带*的要验算。70÷5.6=*42÷12=126.1÷50.44=15.12÷4.5=176.4÷0.63=*9.744÷4.8=3、脱式计算。〔12分0.2×0.6×0.5×4〔7.5－2.3×0.4÷0.013.64÷5.2×23.8178.8÷<26.4-5.6>五、应用题。〔1-3题每小题4分,4、5题每小题5分,共22分1、张阿姨做的一套童装用布2.2m,50m最多可以做多少套这样的童装？2、服装厂购买一批布,原来做一件婴儿衣服需要0.8米,可以做720个。后来改进技术每件节约用布0.2米,这批布现在可以做多少个？3、张华带了20元去超市买圆珠笔,毎枝笔2.5元,她一共可以买多少枝？4、小明的爸爸要去欧洲旅游,准备拿6000元人民币去换欧元。你知道这些钱大约可以换多少欧元吗？〔1欧元兑换人民币8.19元用一根铁丝正好折成一个长13.2cm,宽9.6cm的长方形,如果把这根铁丝拉直,再折成一个等边三角形,这个等边三角形的边长是多少厘米？第一单元：小数除法姓名：得分：一、填一填〔24分1、90分＝〔小时3小时39分＝〔小时2、0.12÷0.3=<>÷30.672÷0.28=<>÷<>3、7.0306306……用循环小数的简便记法写作〔,保留三位小数是〔。4、在圆圈里填上"＞"、"＜"或"＝"号。3÷5○0.63.78○3.78÷0.252.08÷1.6<>20.8÷165、牛奶5角一袋,1元5角可以买〔袋,买7袋需要〔元。6、一个正方形的周长是10分米,它的面积是〔平方分米。7、根据1.8÷0.9＝2,写出一道乘法算式和一道除法算式。乘法算式：〔,除法算式：〔。8、把6.35、6.35、6.305、6.3、6.3按照从小到大的顺序排列〔。9、4×〔＝134〔÷8＝10.410、一个三位小数精确到百分位取近似值是3.80,这个三位小数最小可能是〔,最大可能是〔。11、3.47÷0.62,商是5.5时,余数是<>。12、给算式8.08÷4+5×0.6添上小括号,使它们符合下面的运算顺序。①除→加→乘算式：〔；②加→除→乘算式：〔。二、选择题。〔把正确答案的序号填在括号里〔5分1、与4.83÷0.7的商相等的式子是〔。A．483÷7B．48.3÷7C．0.483÷72、两个数相除商是0.42,把被除数和除数同时扩大10倍,商是〔。A．0.42B．4.2C．423、2．345的小数部分第50位上的数字是〔。A．3B．4C．54、一根18米长的绳子,对折再对折后,每段长是〔。A．9米B．6米C．4.5米5、下面除法算式中,A表示大于0的数,商最大的算式是<>。〔1A÷1.5〔2A÷0.5〔3A÷0.9三、判断题。〔对的打上"√",错的打上"×"〔5分1、把一个小数精确到百分位,也就是保留两位小数。〔2、小数除以小数,商一定是小数。〔3、每套西服用布2.8米,30米布可以做11套这样的西服。〔4、一堆石子60吨,一辆卡车最多能装4.5吨,运完这堆石子需要13趟。〔5、两个数相除的商是7.2,如果被除数不变,除数扩大9倍,那么商是0.8。〔四、计算题：〔共36分1、直接写得数〔6分0．3＋0.25＝0.3－0.25＝0.3×0.25＝0.3÷0.25＝12．4÷0.4＝4.32×0.1＝8.2÷0.82＝7÷3.5＝1÷3＝2×〔＝0.4〔×1.6＝4.82－2÷4＝2、用竖式计。〔15分48．3÷0.358.64÷244.82×0.560.612÷1.80.574÷0.283、选择自己喜欢的方法,计算下面各题。〔15分12．5÷2.5÷0.42.6×1.9÷2.6×1.9<7．7+1．54>÷0．710.8÷［〔4.62－1.92×4］2.6×〔2.139÷9.3×6.2五、解决实际问题〔30分1、一辆汽车2.5小时行136.5千米,照这样计算,8小时可行多少千米？2、一只河马的体重是5.1吨,是一头水牛体重的15倍。这只河马比这头水牛重多少吨？3、妈妈在菜市场买了1.5千克带鱼,交给售货员11元钱后,找回0.95元。每千克带鱼多少元？4、一间教室长8.6米,宽4.5米,用每块0.2平方米的方砖铺地,需要多少块？5、两种规格的牙膏的售价情况如下：如果买3支小牙膏,售价是8.7元；如果买4支小牙膏,售价是10.8元。购买哪种牙膏比较合算？6、小红和小丽住在同一幢楼的同一个单元,小红家住在四楼,小丽家住在七楼,这一次她们俩以同样的速度回家,小红用了0.9分,小丽应该用多少秒？附加题：1、工程队修一条公路,原计划每天修路1.65千米,20天可以完成。实际只用了15天,实际平均每天多修路多少千米？〔10分2、甲、乙两人同时从两地相对出发,甲每分钟行60米,乙每分钟行80米,经过40分钟后,两人还相距360米。〔10分60×40表示：〔；80×40表示：〔；〔60＋80×40表示：〔；〔60＋80×40＋360表示：〔；第二单元、倍数与因数自然数、整数1、自然数的概念：用以计量事物的件数或表示事物次序的数.即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数.表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始〔包括0,一个接一个,组成一个无穷的集体.

2、整数的概念：像-2,-1,0,1,2这样的数称为整数.〔整数是表示物体个数的数,0表示有0个物体3、最小的自然数是〔,〔>最大的自然数。4、我们只在自然数的范围内研究因数和倍〔二因数、倍数如果a×b＝c〔a、b、c是非零自然数,那么a、b是c的因数,c是a、b的倍数。因数和倍数是相互依存的。例题：1、3×9=27,27是______和______倍数,______和______是27的因数2、如果a、b、c是三个不等于零的自然数,那么在a÷b=c中,〔和〔是〔的因数,〔是〔和〔的倍数。〔三因数、倍数的性质1、一个数的倍数的个数是无限的。一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。2、一个数的因数的个数是有限的。一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。〔四找因数的方法〔注意有序思考,以防遗漏列乘法算式：例120=1×120=2×60=3×40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12〔有序思考,以防遗漏列除法算式：用这个数除以非零自然数,商是整数而没有余数,除数和商都是这个数的因数。★一个数的因数的应用把４８块月饼装在盒子里,每个盒子装得同样多,有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果有４７块月饼呢？４８＝１×４８＝２×２４＝３×１６＝4×12=6×847=1×47答；48块月饼有10种装法。每盒1块需要48个盒子,每盒2块需要24个盒子,每盒3块需要16个盒子,每盒4块需要12个盒子,每盒6块需要8个盒子,每盒8块需要6个盒子,每盒12块需要4个盒子,每盒16块需要3个盒子,每盒24块需要2个盒子,每盒48块需要1个盒子。47块月饼有2种装法：每盒1块需要47个盒子,每盒47块需要1个盒子。练习：1、100以内16的倍数有〔,其中最小的倍数是〔。16的全部因数有〔,其中最小的因数是〔,最大的因数是〔。2、一个数既是16的倍数,又是16的因数,这个数是〔。16=〔×〔=〔×〔=〔×〔一个数最小的一个因数是______,最大的因数是______．最小的倍数是______,这个数的倍数的个数是无限的．48名学生排队,要求每行的人数相同,可以排成几行？有几种排法？〔每行最少2人〔五2.3.5倍数的特征2的倍数的特征：个位上的数字是0,2,4,6,8。5的倍数的特征：个位上的数字是0或5。3的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除。9的倍数的特征：各个数位上的数字之和能被9整除。练习：1、在下面的横线里填上一个适当的数字．〔1既是2的倍数,又是3的倍数．47______2〔2既有因数3,又有因数5．4______1______〔3既是2的倍数,又是5的倍数．529______〔4同时是2、3、5的倍数．7______〔5同时是3、5的倍数12______5〔6有因数2,同时又是3的倍数．3______8．2、判断对错〔1一个数既是2的倍数,又是5的倍数,这个数的个位一定是0．______．〔2在小于20的自然数中,既是2的倍数又是3的倍数的数有3个．______〔3一个三位数各个数位上的数字都相同,这个数一定是3的倍数．______．〔415的倍数一定也是3的倍数______〔53的倍数一定是奇数______3、用0、5、8、4组成三位数：〔1这个三位数有因数2：______〔2这个三位数有因数5：______〔3这个三位数有因数3：______〔4这个三位数既有因数2,又有因数5：______〔5这个三位数既有因数2,又有因数3：______〔6这个三位数既有因数2和5,又有因数3：______．4、既有因数2,又有因数3的最小数是〔；既有因数2,又有因数5的最小的数是〔,既有因数3,又有因数5的最小数是〔。5、商店运来45个柚子,如果每2个装一袋,能正好装完吗？如果每5个装一袋,能正好装完吗？如果每3个装一袋,能正好装完吗？为什么？〔六偶数：在自然数中,能被2整除的数,叫做偶数；奇数:不能被2整除的数是奇数。奇数偶数性质：偶数±偶数=偶数奇数±奇数=偶数偶数±奇数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数练习：1、选出两张数字卡片,按要求组成一个数．3045奇数：______〔2偶数：______〔35的倍数：______〔43的倍数：______〔5既是2的倍数,又是3的倍数：______〔6同时是2、3、5的倍数：______．2、判断对错〔1圆圆说："所有的自然数不是奇数就是偶数．"______．〔2一个自然数不是奇数就是偶数,所以所有的偶数都是合数,所有的奇数都是质数．______．〔3两个奇数的积可能是奇数,也可能是偶数．______．〔41既是奇数也是质数．______写出相邻的三个奇数写出相邻的三个偶数〔1有5个连续自然数之和是135,这5个连续自然数是______．〔2有5个连续奇数之和是135,这5个连续奇数是______．晚上,小明正开着灯在吃晚饭,顽皮的弟弟按了15下开关,这时灯是______着的,如果再按50下,这时灯是______着的．〔填"开"或"关"把一张卡片正面朝上放在桌上,翻动20次仍正面朝上．______．<七>质数、合数1、一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数。2、一个数除了1和它本身外还有别的因数,这个数叫作合数。3、判断一个数是质数还是合数,主要看这个数的因数的个数。只有两个因数的数是质数；有两个以上因数的数是合数。4、1既不是质数也不是合数。最小的质数是〔,最小的合数是〔。例题：1、20以内的全部质数有〔最小的自然数是〔,最小的奇数是〔,最小的偶数是〔,既是偶数又是质数的数是〔,最小的质数是〔,最小的合数是〔,〔既不是质数也不是合数。在括号里填上合适的质数8=〔+〔24=〔+〔20=〔+〔28=〔+〔4、分一分在17、22、29、7、37、87、93、96、41、58、61、14、57、19中奇数：______偶数：______质数：______合数：______．5、王老师的QQ号码是一个六位数．第一位数：既是偶数又是质数．第二位数：是最小的自然数．第三位数：是4的倍数,又是4的因数．第四位数：既是2的倍数又是3的倍数．第五位数：是奇数又是合数．第六位数：既是质数,又是奇数,并且是12的因数．你知道王老师的QQ号码是多少吗？第二单元测试题班别：姓名：口算〔10分=1\*GB3①2.5×4÷2.5×4=2\*GB3②1.6÷2.5÷4=3\*GB3③3.5÷0.7=4\*GB3④4.2+6.8=5\*GB3⑤1.8÷0.9=6\*GB3⑥10×4.9=7\*GB3⑦1.02÷0.51=8\*GB3⑧7.5÷2.5=9\*GB3⑨12.5×80=10\*GB3⑩二、填空〔28分,每空1分1、在1、-5、1.3、2、8、13、、-2这些数中,自然数有〔,整数有〔,质数有〔,合数有〔,奇数有〔,偶数有〔。2、9是27的〔,又是3的〔。3、一个数既是42的因数,又是3的倍数,这个数可以是〔。4、15的最小因数是〔,最大因数是〔。5．在1~20的质数中,〔是偶数,〔是奇数。6．要使四位数105□,能同时是2和3倍数,□里应填数字〔。7．在435后面写出三个连续的偶数是〔,〔,〔。8．24所有的因数有〔,在这些因数中：奇数有〔,合数有〔,质数有〔,偶数有〔。9．在自然数1～20中,哪些数符合下列条件：〔1既是奇数又是合数〔。〔2既是偶数又是质数〔。10．两个都是质数的连续自然数是〔和〔。11．一个两位质数,如果调换个位和十位的数字,还是一个质数,这个数是〔。12．电灯开始是灭的,按1次开关灯亮,按2次开关灯灭……。按26次开关灯是〔。三、判断题〔16分1、所有的质数都是奇数。〔2、最小的质数是1,最小的合数是4。〔3、相邻的两个自然数,一个是奇数,一个是偶数。〔4、一个数的倍数一定比这个数的因数大。〔5、同时是2和5的倍数的数个位上一定是0。〔6、因为6÷12=0.5,所以6是0.5的倍数。〔7、一个数最大的因数和最小的倍数相等。〔8、一个自然数不是质数就是合数。〔四、选择题<10分>1．如果a表示自然数,那么偶数可以表示为〔。A．a+2B．2aC．a-1D．2a-12．用0,3,5,7四个数字,组成最小的奇数是〔。A．7035B．3057C．3570D．30753．m是合数,m有〔个因数。A．2B．3C．至少3D．无数4．一个两位数,个位上的数既是奇数又是合数,十位上的数既是偶数又是质数,这个数是〔。A．24B．42C．29D．925．最小的质数与最小的合数的积是〔。A．2B．4C．6D．86．24的因数有〔个。A．8B．7C．6D．57．正方形的边长是质数,它的面积一定是〔。A．奇数B．偶数C．合数D．质数8．已知两个质数的积是21,这两个质数的和是〔。A．9B．10C．11D．129．一个两位数是5的倍数,两个数位上数字和是6,这样的两位数共有〔个。A．1B．2C．3D．410．要在43□2中的□里填上一个数字,使这个四位数能被3整除,有〔种填法。A．1B．2C．3D．4五、基本技能〔20分〔一上边哪些数是下边哪些数的倍数？用线连一连。〔8分36124572345722523612457234572252854619171311〔二把下列数按要求填入圈内〔6分1835684056259510026192041085的倍数2的倍数〔三用质数填空〔6分18=〔

×〔

×〔30=〔

×〔

×〔20=〔+〔25=〔+〔+〔24=〔+〔21=<>+<>六、实际应用〔16分〔3题6点,其余题5分1．王老师把五年一班的学生分成小组来植树,按4人一组,6人一组,都能正好分完,五年一班有多少人？〔班级人数在40～50之间2．已知两个质数的和是43,这两个质数的积是多少？3．从3、6、9、0这四个数中,任意选出三个数字按要求组成三位数。〔1是2的倍数。〔写出3个〔2是3的倍数。〔写出3个〔3是5的倍数。〔写出3个最大公约数与最小公倍数〔一一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。例如：12的约数有：1,2,3,4,6,12;18的约数有：1,2,3,6,9,18。自然数的最大公约数通常用符号〔表示,例如,12和18的公约数有：1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数,记作<12,18>=6。〔8,12=4,〔6,9,15=3。2.公倍数和最小公倍数③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12,24,36,48,60,72,84,…18的倍数有：18,36,54,72,90,…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示,例如12和18的公倍数有：36,72,….其中36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36。[8,12]=24,[6,9,15]=90。3.互质数如果两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：必须每次都用个数的公约数去除；一直除到个数的商互质〔但不一定两两互质；个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。求个数的最小公倍数：必须先用〔如果有个数的公约数去除,除到个数没有除去1以外的公约数后,在用个数的公约数去除,除到个数没有除1以外的公约数后,再用个数的公约数去除,如此继续下去,为保证这一条,每次所用的除数均可选质数；只要有两个数〔被除数能被同一数整除,就要继续除,一定要除到个数的商两两互质为止；个数的最小公倍数即为短除式中,所有除数和最后两两互质的商的乘积。例1用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。是144,180,240的最大公约数。所以〔144,180,240=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5〔元。例2用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少？分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48,450-414=36,498-414=84。所求数是〔48,36,84=12。例3现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件"它们的和是1111"入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。例4在一个30×24的方格纸上画一条对角线〔见下页上图,这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点〔横线与竖线的交叉点？分析与解：〔30,24=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由〔30÷6×〔24÷6=5×4〔个小方格组成。在6×6的简化图中,对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线,所以经过5个格点〔见左下图。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经过任何格点〔见右下图。所以,对角线共经过格点〔30,24-1=5〔个。例5甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒,因为要在起点相会,即三人都要走整圈数,所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。所求时间为[60,75,90]=900〔秒=15〔分。例6爷爷对小明说："我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。"你知道爷爷和小明现在的年龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化,但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍,说明他们的年龄差是6的倍数；同理,他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。由此推知,他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。[6,5,4,3,2]=60,爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况,爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在小明的年龄=60÷〔7-1=10〔岁,爷爷的年龄=10×7=70〔岁。二、随堂练习二、随堂练习最大公约数与最小公倍数〔二摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法可知,〔18,12=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么〔18,12×[18,12]=〔2×3×〔2×3×3×2=〔2×3×3×〔2×3×2=18×12。也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积。当把18,12换成其它自然数时,依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积。即,〔a,b×[a,b]=a×b。例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。解：由上面的结论,另一个自然数是〔6×72÷18=24。例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为："两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。"改变以后的两个数的乘积是1×30=30,和是11。30=1×30=2×15=3×10=5×6,由上式知,两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是7×5=35和7×6=42。例3已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。分析与解：因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。再由[a,b,c]=120知,a只能是60或120。[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15。因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为："a是60或120,〔a,b=12,[a,b]=120,求a,b。"当a=60时,b=〔a,b×[a,b]÷a=12×120÷60=24；当a=120时,b=〔a,b×[a,b]÷a=12×120÷120=12。所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。要将它们全部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数,那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题,可以将重量分别乘以某个数,将分数化为整数,求出数值后,再除以这个数。为此,先求几个分母的最小公倍数,[6,4,9]=36,三种溶液的重量都乘以36后,变为150,135和80,〔150,135,80=5。上式说明,若三种溶液分别重150,135,80千克,则每瓶最多装5千克。可实际重量是150,135,80的1/36,所以每瓶最多装在例4中,出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此,我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数〔含整数都是某个分数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个分数的最大公约数。由例4的解答,得到求一组分数的最大公约数的方法：〔1先将各个分数化为假分数；〔2求出各个分数的分母的最小公倍数a；〔3求出各个分数的分子的最大公约数b；〔4即为所求。例5求,,的最大公约数。类似地,我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数〔或整数同时是若干个分数〔含整数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个分数的最小公倍数。求一组分数的最小公倍数的方法：〔1先将各个分数化为假分数；〔2求出各个分数的分子的最小公倍数a；〔3求出各个分数的分母的最大公约数b；一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？同理,黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼掉进陷井时跳了311/2÷63/10=5〔次。黄鼠狼先掉进陷井,它掉进陷井时,狐狸跳了专题练习1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2.两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数：部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？于同一处只有一次,求圆形绿地的周长。随堂练习解答随堂练习解答专题练习解答1.72×120=〔7,120×［72,120］=24×360。2.12,72与24,36两组。提示：72÷12=6=1×6=2×3,所以有两组：①12×1=12,12×6=72；②12×2=24,12×3=36。5.等于。6.151瓶。7.120米。最大公约数与最小公倍数〔三[知识导引]一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数<在正整数范围内整数a能被整数b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。最大公约数:如果一个数既是数a的约数,又是数b的约数,称为[a,b]的约数。几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。1.求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。例如：,,所以；②短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘。例如：,所以；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止。那么,最后一个除数就是所求的最大公约数<如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的>。例如,求600和1515的最大公约数：；；；；；所以1515和600的最大公约数是15。2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；②几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以。3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求。二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m,能被n整除〔n/m,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除,我们就说15是3的倍数,也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。1.求最小公倍数的方法①分解质因数法求最小公倍数例如：,,所以；②短除法求最小公倍数例如：,所以；③公式法：2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。③两个数具有倍数关系,则它们的最大公约数是其中较小的数,最小公倍数是较大的数。3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公约数；即为所求。例如：注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数,最小公倍数可以是整数。例如：三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1.两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。如果为、的最大公约数,且,,那么互质,所以、的最小公倍数为,所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①,即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是、、、及最小公倍数的约数。2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积,即。3.对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为：①奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数,例如：,210就是567的最小公倍数。②偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍,例如：,而6,7,8的最小公倍数为③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。[例题解析][A组——基础夯实]例1两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少？解：由ab=[a,b]×〔a,b可得：另一个数为,252×4÷28=36答：另一个数是36。例2求437与323最大公约数是多少？解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5,那么〔437,323=19答：437与323的最大公约数是19。例3已知两个数的最大公约数是20,最小公倍数560,符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？解：由题意可得：560÷20=28=1×28=4×7,显然4与7之间差最小,20×7=140,20×4=80答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。例4有336个苹果,252个桔子,210个梨,用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中,三样水果各多少？解：最多可以分成〔份每份中有苹果336÷42=8〔个每份中有桔子252÷42=6〔个每份中有梨210÷42=5〔个答：最多可以分成42份,每份中有苹果8个,有桔子6个,有梨5个。[B组——能力提升]例1已知两个自然数的差为2,它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142,求这两个自然数。解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1,一个为2〔1当两个数互质时,1×〔1+142=1×143=11×13；〔2当两个自然数最大公约数为2时,2×〔142+2=2×144=16×18,所以这两个自然数是11和13或者16和18。答：略。例2已知两个自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求这两个自然数。例3把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块,而没有剩余,问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块,还不能有剩余,这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求的是最大的正方形纸块,所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数,1米3分米5厘米＝135厘米,1米5厘米＝105厘米,正方形的边长为,长方形纸块的面积为<平方厘米>,正方形纸块的面积为<平方厘米>,共可裁成正方形纸块〔块。答：正方形的边长是15厘米,一共可以裁成63块。例4两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差。解：设这两个自然数为：,其中与互质,则有,,所以a=9,b=1或a=7,b=3,所以这两个两个自然数为5×9=45,5×1=5或5×7=35,5×3=15。它们的差分别是：45－5＝40,35－15＝20答：所求这两个数的差是40或者20。例5大雪后的一天,小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和步行方向完全相同,小明每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两人脚印有重合的,所以各走完一圈后,雪地上留下60个脚印,求圆形花圃的周长。解：两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的,是两人步长的最小公倍数,为厘米,在216厘米里,两人留下的脚印数分别是：<个>,<个>,由于两人有1个脚印重合,所以实际上只有<个>脚印。,即走完全程共重合10次,因此,花圃周长为：<厘米>答：花圃周长是2160厘米。[习题精选][A组——基础夯实]1.①用短除法求120、48和56的最小公倍数；②用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。2.已知a=44,b=12,c=82,求〔a,b,c和[a,b,c]3.两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是504,如果其中一个数是42,那么另一个数是。4.8路车每隔8分钟发一次车,12路每隔6分钟发一次车,在某一时刻这两路车同时从一个车站发车,至少再过________分钟这两路车才又同时发车。5.甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是________。6.四个连续自然数的和等于54,那么这四个连续自然数的最小公倍数是。7.一个房间长450厘米,宽330厘米。现计划用方砖铺地,需要用边长最大为________厘米的方砖块<整块>,才能正好把房间地面铺满。8.教师节那天,某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨,用来慰问退休的教职工,问用这些果品,最多可以分成________份同样的礼物<同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等>。在每份礼物中,苹果有________个,桔子有________个,鸭梨有________个。9.三个质数的和是62,这三个质数的积是________。10.一包糖,平均分给2人,3人,4人,或5人,正好都余一块,这包糖至少有________块。[B组——能力提升]1.有三根绳子,第一根长12米,第二根长18米,第三根长24米,现在要把它们剪成同样长的小段,每段最长________米。2.有一批树苗,9棵一捆多7棵,10棵一捆多8棵,12棵一捆多10棵,这批树苗在150－200之间。共有________棵树苗。3.同学们训练广播操,每行8人、10人、15人,都能正好排成整行,并且没有多余的学生,至少有________人参加了广播操训练。4.已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,这两个数为_____________。5.已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,这两个数的和是__________。6.一个长方形的周长是40厘米,它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成,它的面积最大是___________,最小是___________。7.幼儿园一个班节约图书,如借35本,平均发给每个小朋友后还差1本；如借56本,平均分发给每个小朋友；如借69本,平均分发给每个小朋友后则差3本,问这个班的小朋友最多有________人。8.一个数分别被2、4、5除都余1,这个数在100-130之间,这个数是_________。专项练习题一.填空题。1.a和b都是自然数,如果a,a和b的最大公约数是〔b,最小公倍数是〔a。2.甲?,乙?,甲和乙的最大公约数是〔2×〔3＝〔6,甲和乙的最小2??352??37公倍数是〔2×〔3×〔5×〔7＝〔210。3.所有自然数的公约数为〔1。4.如果m和n是互质数,那么它们的最大公约数是〔1,最小公倍数是〔mn。5.在4、9、10和16这四个数中,〔4和〔9是互质数,〔9和〔10是互质数,〔9和〔16是互质数。6.用一个数去除15和30,正好都能整除,这个数最大是〔15。*7.两个连续自然数的和是21,这两个数的最大公约数是〔1,最小公倍数是〔110。*8.两个相邻奇数的和是16,它们的最大公约数是〔1,最小公倍数是〔63。*9.某数除以3、5、7时都余1,这个数最小是〔106。10.根据下面的要求写出互质的两个数。〔1两个质数〔2和〔3。〔2连续两个自然数〔4和〔5。〔31和任何自然数〔1和〔9。〔4两个合数〔9和〔16。〔5奇数和奇数〔15和〔7。〔6奇数和偶数〔7和〔4。二.判断题。1.互质的两个数必定都是质数。〔×2.两个不同的奇数一定是互质数。〔×3.最小的质数是所有偶数的最大公约数。〔√4.有公约数1的两个数,一定是互质数。〔×b?m5.a是质数,b也是质数,a?,m一定是质数。〔×三.直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。26和13〔13、265和9〔1、45四.求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。〔三个数的只求最小公倍数45和6036和6027和7276和80最大公约数15,最小公倍数180。最大公约数是12,最小公倍数180。最大公约数是9,最小公倍数216。最大公约数是4,最小公倍数1520。一．选择题〔共12小题1．要使3□15能被3整除,□里最小能填〔A．9 B．6 C．0 D．32．一张长24厘米,宽18厘米的长方形纸,要分成大小相等的小正方形,且没有剩余．最少可以分成〔A．12个 B．15个 C．9个 D．6个3．a的最小倍数等于b的最大因数,a和b比较〔A．a大于b B．a等于b C．a小于b D．不确定4．A=5B〔A、B都是非零的自然数下列说法不正确的是〔A．A和B的最大公约数是A B．A和B的最小公倍数是AC．A能被B整除,A含有约数5 5．某校五年级〔共3个班的学生排队,每排3人、5人或7人,最后一排都只有2人．这个学校五年级至少有〔名学生．A．90 B．107 C．105 D．2106．A=23×32×52,A有很多约数,其中最大的两位约数是〔A．90 B．93 C．95 D．997．两个数的〔的个数是无限的．A．公约数 B．公倍数 C．最小公倍数 D．最大公约数8．在下面各组数中,既是2的倍数,又是3的倍数的数是〔A．14,80 B．72,10 C．6,909．如果a是b的因数,那么a和b的最小公倍数是多少？〔A．a B．b C．a×b10．一个数最大的因数和最小的倍数的积是49,这个数是〔A．1 B．7 C．4911．教室里有同学不到40人．把这些同学平均分成三组或四组,正好分完．教室里最多有〔人．A．30 B．24 C．36 D．4012．自然数a=2×3×5,a的全部约数多少有〔个,正确的是．A．3个 B．4个 C．6个 D．8个二．填空题〔共8小题13．已知三个数的和是50,第二个数比第一个数少16,第一个数比第三个数多18,则第一个数与第二个数的最大公因数是这三个数的最小公倍数是．14．如果甲数=2×2×3×5,乙数=2×3×5×7,那么甲、乙数的最大公因数是,最小公倍数是．15．36和20的最大公因数是,最小公倍数是．16．两个数的最大公因数是8,最小公倍数是48,其中一个数16,另一个数是．17．如果A=2×2×3,B=3×5×m,A、B两数的最大公因数是6,那么m是,A、B两数的最小公倍数是．18．已知a=2×2×3×5,b=2×3×7,则a,b最大公约数是,最小公倍数是．19．一个三位数,既是5的倍数又是2的倍数．这个数最高位上数字是最小的合数,十位上数字是9的最小倍数．这个三位数是．20．育才小学六〔1班同学做广播操,体育委员在前面领操,其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行,这个班至少有学生人．三．解答题〔共7小题21．如图,A圈内是42的约数,B圈内是56的约数,C圈内是63的约数,请在图中适当的位置上填上符合要求的数．为了筹备毕业典礼座谈会,六〔1班的同学全部行动起来了．全班的同学布置教室,的同学采购物品,其余的准备汇报的节目．六〔1班最少有多少人？23．早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车,1路车每隔8分钟发一辆车,2路车每隔12分钟发一辆车,这两路车几时几分第二次同时发车？〔先填表再回答1路公交车5时40分5时48分2路公交车5时40分一次会餐共有三种饮料．餐后统计,三种饮料共用了65瓶,平均每两个人饮用一瓶A饮料,每三个人饮用一瓶B饮料,每四人饮用一瓶C饮料．问参加会餐的人数是多少人？25．有两根木条,一根长18分米,另一根长12分米．要把它们截成同样长的小段〔每段为整分米长,而且没有剩余,每小段木条最长多少分米？一共可以截成多少段？今年3月12日,五年级有一部分学生参加了植树活动,人数在30和50人之间,如果分4人一组,6人一组或者8人一组,都恰好分完．五年级参加植树的学生有多少人？把一张长120厘米,宽80厘米的长方形纸裁成相同大小的正方形〔纸无剩余,正方形的边长最大是多少厘米,至少能裁成多少张？一．选择题〔共12小题1．要使3□15能被3整除,□里最小能填〔A．9 B．6 C．0 D．3[分析]能被3整除的数的特征：各个数位上的和是3的倍数,这个数就能被3整除,据此先把四位数3□15的千位、十位、个位上的数加起来,然后分析再加上几是3的倍数,找出最小的一个,据此分析选择．[解答]解：四位数3□15的千位、十位、个位上的数加起来是：3+1+5=9,9是3的倍数,所以,□里应填0、3、6、9,其中0是最小的．故选：C．[点评]本题主要考查能被3整除的数的特征,注意掌握特征；各个数位上的和是3的倍数．2．一张长24厘米,宽18厘米的长方形纸,要分成大小相等的小正方形,且没有剩余．最少可以分成〔A．12个 B．15个 C．9个 D．6个[分析]要分成大小相等的小正方形,且没有剩余,就是小正方形的边长是24和18的公因数,要求分的最少就是求24和18的最大公因数为小正方形的边长,然后用长方形纸的长和宽分别除以小正方形的边长,就是长方形纸的长边最少可以分几个,宽边最少可以分几个,最后把它们乘起来即可．[解答]解：24=2×2×2×3,18=2×3×3,所以24和18的最大公因数是；2×3=6,即小正方形的边长是6厘米,长方形纸的长边可以分；24÷6=4〔个,宽边可以分：18÷6=3〔个,一共可以分成：4×3=12〔个；故选：A．[点评]本题关键是理解：要分成大小相等的小正方形,且没有剩余,就是小正方形的边长是24和18的公因数．3．a的最小倍数等于b的最大因数,a和b比较〔A．a大于b B．a等于b C．a小于b D．不确定[分析]首先根据因数和倍数的含义,可得一个数的最小倍数和一个数的最大因数都等于它本身,所以a的最小倍数等于a,b的最大因数等于b；然后根据a的最小倍数等于b的最大因数,可得a=b,据此判断即可．[解答]解：a的最小倍数等于a,b的最大因数等于b；因为a的最小倍数等于b的最大因数,所以a=b．故选：B．[点评]此题主要考查了因数、倍数的含义和判断,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：一个数的最小倍数和一个数的最大因数都等于它本身．4．A=5B〔A、B都是非零的自然数下列说法不正确的是〔A．A和B的最大公约数是A B．A和B的最小公倍数是AC．A能被B整除,A含有约数5 [分析]A=5B〔A、B都是非零的自然数,说明A是B的整数倍,求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系,最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数；由此解答问题即可．[解答]解：由题意得,A=5B〔A、B都是非零的自然数,可知A是B的倍数,所以：A和B的最大公约数是B；A和B的最小公倍数是A；A能被B整除,A含有约数5．只有A说法不正确．故选：A．[点评]此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系,最大公约数为较小的数；最小公倍数为较大的数．5．某校五年级〔共3个班的学生排队,每排3人、5人或7人,最后一排都只有2人．这个学校五年级至少有〔名学生．A．90 B．107 C．105 D．210[分析]由每排3人、5人或7人,最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数,求至少就是、5、7的最小公倍数加2,据此解答．[解答]解；：3、5、7两两互质,它们最小公倍数等于它们的乘积；3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105；105+2=107〔名；答：所以这个学校五年级至少有107名学生．故选：B．[点评]解答本题关键是由每排3人、5人或7人,最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数．6．A=23×32×52,A有很多约数,其中最大的两位约数是〔A．90 B．93 C．95 D．99[分析]先把A计算出来,A=23×32×52=1800,再用1800分别除以90,93、95、99,如果没有余数就是1800的因数．[解答]解：A=23×32×52=1800,1800÷90=20,90是1800的因数,1800÷93=19…33,93不是1800的因数,1800÷95=18…90,95不是1800的因数,1800÷99=18…18,99不是1800的因数,故选：A．[点评]考查了求一个数的因数的方法,可以用筛除法解答．7．两个数的〔的个数是无限的．A．公约数 B．公倍数 C．最小公倍数 D．最大公约数[分析]两个数的公因数是两个数公有的因数,公因数的个数是有限的,公因数中最大的一个就是这两个数的最大公因数；两个数的公倍数是两个数公有的倍数,公倍数的个数是无限的,公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数；据此解答．[解答]解：由分析可得：两个数的公倍数的个数是无限的．故选：B．[点评]本题主要考查公因数、公倍数、最小公倍数及最大公因数的意义．8．在下面各组数中,既是2的倍数,又是3的倍数的数是〔A．14,80 B．72,10 C．6,90[分析]根据2、3的倍数的特征,个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数,这个数一定是3的倍数；既是2的倍数又是3的倍数的特征是：个位上必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数．据此解答．[解答]解：A中14和80都是2的倍数,不是3的倍数．B中10是2的倍数,不是3的倍数,72是2的倍数,也是3的倍数．C中6和90既是2的倍数又是3的倍数．故选：C．[点评]此题考查的目的是理解掌握2、3的倍数的特征．9．如果a是b的因数,那么a和b的最小公倍数是多少？〔A．a B．b C．a×b[分析]求两数的最小公倍数,要看两个数之间的关系：两个数互质,则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系,则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的,最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．[解答]解：因为a是b的因数所以b是a的倍数,属于倍数关系,b＞a所以a和b最小公倍数是b．故选：B．[点评]此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系,则最小公倍数为较大的数．10．一个数最大的因数和最小的倍数的积是49,这个数是〔A．1 B．7 C．49[分析]根据：一个数的最大因数和最小倍数是它本身,计算出这个数．[解答]解：因为一个数的最大因数和最小倍数是它本身,一个数的最大因数和最小倍数的积是49,这个数是7．故选：B．[点评]此题主要考查一个数的最大因数和最小倍数是它本身．11．教室里有同学不到40人．把这些同学平均分成三组或四组,正好分完．教室里最多有〔人．A．30 B．24 C．36 D．40[分析]即求3和4的公倍数,先求出3和4的最小公倍数,然后找出40以内的3和4的最大的公倍数,即可．[解答]解：3和4的最小公倍数是12,40以内的3和4的公倍数有：12,24,36,最大为36；即教室里最多有36人；故选：C．[点评]此题考查的是求两个数的最小公倍数是方法；互质数的两个数,它们的最小公倍数是这两个数的乘积．12．自然数a=2×3×5,a的全部约数多少有〔个,正确的是．A．3个 B．4个 C．6个 D．8个[分析]根据自然数a=2×3×5,可知a=30,那么30共有〔1、2、3、5、6、10、15、308个约数,进而解答即可．[解答]解：a=2×3×5=30,30有1、2、3、5、6、10、15、30共8个约数,故选：D．[点评]解答此题,应根据已知的条件,求出这个自然数,利用找一个数的因数的方法解答即可．二．填空题〔共8小题13．已知三个数的和是50,第二个数比第一个数少16,第一个数比第三个数多18,则第一个数与第二个数的最大公因数是4这三个数的最小公倍数是420．[分析]假设第一个数是x,则第二个数是x﹣16,第三个数是x﹣18,则x+〔x﹣16+〔x﹣18=50,解方程的x=28,x﹣16=12,x﹣18=10,根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积28和12的最大公因数,根据最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解28、12和10的最小公倍数,即可得解．[解答]解：假设第一个数是x,则第二个数是x﹣16,第三个数是x﹣18,则：x+〔x﹣16+〔x﹣18=503x﹣34=503x=50+34x=84÷3x=28x﹣16=12x﹣18=1028=2×2×712=2×2×310=2×5所以第一个数与第二个数的最大公因数是2×2=4；这三个数的最小公倍数是2×2×7×3×5=420故答案为：4,420．[点评]首先利用解方程的方法求出这三个数是解决此题的关键．14．如果甲数=2×2×3×5,乙数=2×3×5×7,那么甲、乙数的最大公因数是30,最小公倍数是420．[分析]两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积,最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积,由此解决问题即可．[解答]解：已知甲数=2×2×3×5,乙数=2×3×5×7,甲、乙两数的最大公因数是：2×3×5=30,最小公倍数是2×3×5×7×2=420．故答案为：30,420．[点评]此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数,两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．15．36和20的最大公因数是4,最小公倍数是180．[分析]求最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积,最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积；由此解决问题即可．[解答]解：36=3×3×2×2,20=2×2×5,所以36和20的最大公因数是2×2=4,最小公倍数是2×3×3×2×5=180；故答案为：4,180．[点评]考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法．16．两个数的最大公因数是8,最小公倍数是48,其中一个数16,另一个数是24．[分析]求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积,最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积,此题是求最大公因数和最小公倍数的逆运算,首先用48除以16得到另一个数的独有因数,然后用最大公因数8乘另一个数的独有因数,即可得解．[解答]解：48÷16=3,8×3=24；答：两个数的最大公因数是8,最小公倍数是48,其中一个数16,另一个数是24．故答案为：24．[点评]已知两个数的最大公因数和最小公倍数,又知道其中一个数,求另一个数,可以先求出这个数的独有因数,用两个数的最小公倍数÷已知的一个数,然后独有因数乘最大公因数,即为所要求的另一个数．17．如果A=2×2×3,B=3×5×m,A、B两数的最大公因数是6,那么m是2,A、B两数的最小公倍数是60．[分析]根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积,AB的最大公因数是6,可知m=6÷3=2,然后根据最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．[解答]解：如果A=2×2×3,B=3×5×m,A、B两数的最大公因数是6=2×3,那么m是2,A、B两数的最小公倍数是2×3×2×5=60；故答案为：2,60．[点评]考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．18．已知a=2×2×3×5,b=2×3×7,则a,b最大公约数是6,最小公倍数是420．[分析]求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积,最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积,即可得解．[解答]解：a=2×2×3×5,b=2×3×7,所以a,b最大公约数是2×3=6,最小公倍数是2×3×2×5×7=420；故答案为：6,420．[点评]考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．19．一个三位数,既是5的倍数又是2的倍数．这个数最高位上数字是最小的合数,十位上数字是9的最小倍数．这个三位数是490．[分析]既是5的倍数又是2的倍数,说明个位数是0,最小的合数是4,所以百位数字是4,十位上数字是9的最小倍数,即十位上数字是9,由此得出答案．[解答]解：因为既是5的倍数又是2的倍数,说明个位数是0,最小的合数是4,所以百位数字是4,十位上数字是9的最小倍数,即十位上数字是9,所以这个三位数是490；故答案为：490．[点评]本题考查的知识点为：合数与质数的定义；2与5的倍数的特征．20．育才小学六〔1班同学做广播操,体育委员在前面领操,其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行,这个班至少有学生49人．[分析]要求这个班至少有学生多少人,即求12与16的最小公倍数再加1即可,根据求两个数的最小公倍数的方法：把12和16进行分解质因数,这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积,由此解决问题即可．[解答]解：12=2×2×3,16=2×2×2×2,则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3=48,48+1=49〔人；答：这班至少有学生49人；故答案为：49．[点评]此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．三．解答题〔共7小题21．如图,A圈内是42的约数,B圈内是56的约数,C圈内是63的约数,请在图中适当的位置上填上符合要求的数．[分析]把42、56和63分解质因数,然后分别写出它们的因数：42=2×3×7,42的因数有1、2、3、7、6、14、21、42；56=2×2×2×7,56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56；63=3×3×7,63的因数有1、3、7、9、21、63；据此得解．[解答]解：如图,．[点评]考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．22．为了筹备毕业典礼座谈会,六〔1