17.1 勾股定理 2023-2024学年人教版数学八年级下册

教案教学基本信息课题勾股定理（第一课时）学科数学学段：第三学段年级初二教材书名：义务教育教科书数学八年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年12月教学目标及教学重点、难点本节课回顾勾股定理的起源，探索发现勾股定理的结论，并探究分析勾股定理的证明思路，最终用多种解法证明勾股定理．教学目标是经历发现认识证明勾股定理的全过程，重点是其间蕴含的角与边的内在关系，难点是勾股定理的证明．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图提出问题1．引发思考三角形中，边和角之间是否存在一定联系？2．回顾旧知等腰三角形的学习，我们认识到：“等边对等角，等角对等边”的结论，边的属性会对角产生影响，反过来角的条件也会决定边的结论．这说明在等腰三角形中角和边之间存在关系．3．提出问题那么，如果研究的对象推广到直角三角形，有了直角，三角形的边之间是否会有关系呢？建立知识之间的联系，通过“温故”促进“知新”．研究直角三角形内部存在的边角关系是研究三角形的边角关系的必经之路．分析问题1．从图形的确定来分析在直角三角形中，如果两条边知道了，第三边还能变化吗？情况一SAS情况二HL两条边确定的直角三角形，形状和大小均确定，第三条边确定．2．举例分析举例一：我国古人称直角三角形中短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦，据《周髀算经》记载，在公元前1100年，古人就发现了勾三股四弦五的结论．意味着，直角三角形里勾三股四，弦就是5，不再有别的可能．三边之间有关系．举例二：另外，我们认识的第一个无理数根号2，就是在等腰直角三角形里诞生的，当直角边为1，等腰直角三角形的斜边就是根号2，说明斜边直角边之间有关系．从图形确定的角度分析直角必将导致三边关系回顾过去所学，翻开勾股定理的历史起源．探索结论abc34551213……探索规律作图、度量、列表、探索规律从一次探究到二次式的探究最后确定抽象概括2．从特殊到一般在等腰直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方！在一般的直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方．3．确定结论如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．体会探究一个正确的结论，所经历的一般研究过程．推理论证1．提出命题命题1，如果直角三角形的两条直角边长为a,b，斜边长为c，那么，a的平方加b的平方的和等于c的平方．2．分析思路3．证法赏析数形结合相关证法：几何变换（等积变换，全等变换）相关证法：体会命题证明的思路感受数形结合提升图形变换的能力归纳小结学习过程的回顾：提出问题——尝试探究——推理论证学习知识的小结：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．思想方法的小结：数形结合的方法．知识的内在关系小结：直角三角形边角之间存在关系；从角到边，是否可以拓展成从边到角？当角拓展成非直角，三边之间是否还有关系？梳理本节课所学内容，提炼本节课知识核心，给出继续研究的方向．布置作业1．设直角三角形两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．（1）已知a＝3，c＝4，求b；（2）已知c＝10，b＝9，求a．2．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积．巩固新知识教案教学基本信息课题勾股定理的逆定理（第二课时）学科数学学段：初中年级八年级教材书名：数学（八年级下册）出版社：人民教育出版社出版日期：2013年11月教学目标及教学重点、难点本课探究并证明勾股定理逆定理，体会从特殊到一般的方法，应用定理解决问题，提升数学抽象、直观想象、数学推理素养。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入回顾勾股定理—从边的数量关系的角度丰富了直角三角形的性质，提出问题—能不能从边的数量关系来判定直角三角形呢？究.古埃及人画直角的方法：把一根长绳打上距离相等的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角就是直角.这个方法意味着：如果三角形的三边长分别为，它们满足，那么这个三角形为直角三角形.问题：如果三角形的三边长分别为，它们满足，那么这个三角形是直角三角形吗？请你画一画，量一量得出答案.如果三角形的三边长分别为，它们满足，那么这个三角形是直角三角形吗？请你画一画，量一量得出答案.你能得到什么猜想？【命题】如果三角形的三边长分别满足，那么这个三角形为直角三角形.提出本节课的目标从数学史料到实际操作到提出猜想，让学生体会从特殊到一般的几何探索过程，提升数学抽象的素养。新课证明勾股定理的逆定理请大家自行分析命题的题设、结论，画出图形，写出已知和求证并证明.已知：的三边长分别满足.求证：是直角三角形.证明：画Rt,使，，.，.是直角三角形.归纳定理探讨新命题与勾股定理的关系命题和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.原命题：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别斜边长为，那么.逆命题：勾股定理逆定理如果三角形的三边长分别满足，那么这个三角形为直角三角形.（2）勾股定理逆定理的作用——判定直角三角形的一个依据.引导学生证明勾股定理的逆定理，体会从猜想到证明的认识几何图形的过程，提升直观想象和推理的素养.引导学生从文字语言、图形语言、符号语言去认识勾股定理.例题应用例1写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴内错角相等，两条直线平行；⑵对顶角相等.分析：将原命题的题设和结论互换得逆命题，同时注意语言的运用然后再判断是否成立即可。解：（1）原命题的题设：内错角相等，结论：两条直线平行.逆命题则为：两条直线平行，内错角相等.这是平行线的性质定理，显然成立.（2）原命题的题设：两个角是对顶角，结论：它们的绝对值相等.逆命题则为：如果两个实数绝对值相等，那么它们相等.这是错误的，因为两个实数绝对值相等，，那么它们相等或互为相反数，所以逆命题不成立.例2判断由下面三条线断组成的三角形是否是直角三角形？，，；，，分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是够等于最大边的平方.解：(1)，是直角三角形.，,是直角三角形.例3在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且.求证：分析：根据勾股定理的逆定理，判断,只要证即可.所以分别在直角中计算的长度即可.解：四边形ABCD是正方形，,.设，.,.E是BC的中点,.在Rt中，，,.例1设计意图：理解原命题与逆命题的关系.例2设计意图：会用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形；综合运用勾股定理及其逆定理解决问题,提升数学推理的素养.总结学到了哪些知识？（1）勾股定理的逆定理的做用判定直角三角形的一个依据（2）逆命题于原命题的什么关系？命题和结论正好相反，原命题成立，它的逆命题可能成立也可能不成立.学到了哪些知识？（1）如何得到勾股定理的特殊一般猜想证明（2）如何证明勾股定理的逆定理？构造直角三角形总结本节课所学知识，领悟数学方法.作业写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？⑴同旁内角互补，两条直线平行；⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。判断由下面线段组成的三角