线性系统理论课程论文

线性系统理论课程论文目录一、报告目的(2)二、报告内容(2)1.系统稳定性的地位和作用概述(2)2.内部稳定与外部稳定(3)2.1知识结构(3)2.2内部稳定与外部稳定的关系：(3)3.李亚普诺夫稳定性定义(4)3.1几种稳定性的区别(4)3.2几种稳定性的关系(5)4.李亚普诺夫稳定性理论(6)4.1李亚普诺夫稳定性第一方法(6)4.2李亚普诺夫稳定性第二方法(6)4.3Lyapunov第二方法在线性时不变系统中的应用(7)三、总结(11)参考文献：(11)一、报告目的1、对已学过的知识有个更好的复习稳固的过程；2、加深对线性系统这门课的了解；3、对第五章的知识进行归纳整理；4、提高自己课程设计的写作水平。二、报告内容系统运动的稳定性通过这段时间对《线性系统理论》这本书的学习，和有关资料的查阅，让我了解到，在系统与控制科学领域内，线性系统是根本的研究对象，并在过去几十年中取得了很多结果和进展，已经形成和开展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理论的重要性首先在于它的根底性，其大量的概念、方法、原理和结论，对于系统与控制理论的许多学科分支，如最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等，都具有重要和根本的作用，成为学习和研究这些学科必不可少的根底知识。有鉴于此，国内外许多大学都毫无例外地把线性系统理论列为系统与控制科学方向的一门最为根底的课程。1.系统稳定性的地位和作用概述在控制系统的分析和设计中，系统的稳定性是首先要考虑的问题之一，因为它关系到系统是否能正常工作，它同系统的能空性和能观测性一样，也是系统的一种结构性质。所谓稳定性指在各种不利因素的影响下，系统能够保持预定工作状态能力的一种度量，稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在大多数情况下，稳定是系统能够正常运行的前提，如何根据动力学系统的构成分析系统的稳定性已经引起研究人员的普遍重视。在控制系统的稳定性研究中，李亚普诺夫方法得到广泛应用，该方法还在最优估计、最优控制、自适应滤波等领域占有重要地位。系统的运动稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性，我们先通过了解线性系统的外部稳定性和内部稳定性的定义，然后结合实例讨论李亚普诺夫稳定性的定义和一些定理以及用于分析线性和非线性系统的稳定性等方面内容。2.内部稳定与外部稳定2.1知识结构系统矩阵矩阵指数函数时不变系统状态转移矩阵时变系统内部稳定传递函数矩阵脉冲响应矩阵时不变系统脉冲响应矩阵时变系统外部稳定线性系统稳定性2.2内部稳定与外部稳定的关系：线性定常系统如果是内部稳定的，那么系统一定是外部稳定的；反之，却不成立，这是因为，根据线性系统的结构分解定理知，任一线性定常系统通过线性变换，总可以分解成四个子系统，即能控、能观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系统，不能控、不能观测子系统。系统的输入—输出特性仅能反映系统的能控能观测局部，系统的其余三个局部的运动状态并不能反映出来，外部稳定性仅意味着能控、能观测子系统是渐近稳定的，而其余子系统，假设不能控不能观测子系统是发散的，在外部稳定性中并不能表现出来。对于完全能控、完全能观测线性定常系统，内部稳定与外部稳定是等价的。[注]在讨论外部稳定时，是以系统的初始条件为零作为根本假设的，在这种假设下，系统的输入输出描述是唯一的。对连续时间线性系统，外部稳定可根据系统脉冲响应矩阵或传递函数矩阵进行判别。3.李亚普诺夫稳定性定义不稳定大范围渐近稳定一致渐近稳定渐近稳定一致稳定稳定稳定性定义LyapunovLyapunovLyapunovLyapunovLyapunovLyapunovLyapunov3.1几种稳定性的区别李亚普诺夫稳定性理论主要阐述了判断系统稳定性的两种方法。Lyapunov第一方法又称为Lyapunov直接法，属于小范围稳定性分析方法。Lyapunov第二方法属于直接根据系统结构判断系统稳定性的方法，该方法通过构造一个Lyapunov函数，〔Lyapunov函数在物理上是一种能量函数〕，根据该函数的性质判断控制系统的稳定性，又称为Lyapunov直接法。Lyapunov第二理论体系完整，推导证明严密，其研究对象包括任何复杂的系统，因此在控制理论的研究中得到了广泛的应用。从工程上来看，系统的Lyapunov稳定性是指，在系统的工作过程中，如果在受到长时间起作用的初始扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复的平衡状态的能力，这种稳性包括了一大类工程系统设计中出现的稳定性问题。在Lyapunov稳定性定义中，00>〕，〔tεδ是一个与0t、ε有关的实数。假设δ的取值与0t无关，那么称系统在平衡状态ex时Lyapunov一致稳定的。对于时变系统而言，一致稳定比稳定更有实际意义。一致稳定意味着，假设系统在一个初始时刻0t是Lyapunov意义下稳定的，那么系统在时间定义区间内任意初始时刻0t均为Lyapunov意义下稳定的。对于时不变系统而言，δ的取值与0t无关，因此时不变系统在稳定的平衡状态ex处一定是Lyapunov一致稳定的。系统在平衡状态ex附近的稳定范围：对于一般系统而言，可能存在有多个平衡状态点，因此由Lyapunov稳定的定义可知，系统在平衡状态点ex附近存在一个稳定范围。一般而言，给定解的偏差范围ε越小，容许的初始条件的取值范围δ也越小；反之，如果给定的ε较大，相应的δ的取值也可能较大。假设无论如何给定ε的值相应的δ的取值总不能超出某一个正数α，那么称α为系统在ex处的稳定范围。如果δ的取值可以任意大，即∞→α，那么称系统在ex处是大范围稳定的。Lyapunov渐近稳定比Lyapunov稳定具有更严格的要求，在工程上，常常要求系统是Lyapunov渐近稳定的，而把Lyapunov稳定与不稳定同样对待。如果系统),(tfxx=?在任意给定初始状态0x下的每一个解，当∞→t时都收敛于平衡状态ex，那么称系统在平衡状态ex是大范围渐近稳定的。实质上，大范围渐进稳定是把初始状态0x的取值范围扩展到了整个状态空间，对于状态空间中的所有点，如果从它们出发的所有轨迹都具有渐近稳定性，那么将系统的平衡状态称为是大范围渐近稳定的。显然，系统由各初始状态0x发出的都收敛于平衡状态ex，此时系统在整个状态空间中只能有唯一的一个平衡状态，这也是系统大范围渐近稳定的必要条件。对于线性时不变系统Axx=?，当系数矩阵A非奇异时，满足平衡点方程0Ax=的解只有唯一的零解，系统只有唯一的平衡状态0xe=，因此，假设线性时不变系统是渐近稳定的，那么一定是大范围渐近稳定的，这也验证了线性系统稳定性与初始条件无关的特性。对于非线性系统，稳定与初始条件密切相关，δ的取值总是有限的。对于多个平衡状态的情况更是如此，故通常只能在小范围内是渐近稳定的。3.2几种稳定性的关系由稳定性的定义易见，对于一个固定的平衡点而言，我们可以得到下面所示的蕴含关系：大范围一致渐近稳定一致渐近稳定一致稳定大范围渐近稳定渐近稳定稳定???????4.李亚普诺夫稳定性理论4.1李亚普诺夫稳定性第一方法Lyapunov第一方法是一种利用状态方程的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性时不变、时变以及非线性函数可以线性化的情况，可以描述如下。如果是非线性系统，那么首先将非线性自制系统运动方程在平衡状态ex的邻域展开泰勒级数，导出一次近似线性化系统；然后计算线性化方程的特征值，根据该特征值在复平面上的分布判断原非线性系统在邻域内的稳定性。假设线性化系统的特征值均具有负实部，那么非线性系统在邻域内稳定；假设线性化系统包含具有正实部的特征值，那么非线性系统在邻域内不稳定。假设线性化系统除负实部特征值外还包含具有零实部的特征值，那么非线性系统在平衡状态ex的邻域是否稳定需通过高次项分析进行判断。在讨论线性时不变系统的稳定性时，可以不必求出状态转移矩阵，而直接由系统矩阵A的特征值判断系统的稳定性；而对于线性时变系统，那么应用矩阵范数来判断。一般系统往往是非线性的，为了研究的方便，常常采用工作点邻域线性化的方法，即用一个近似的线性系统来代替原系统。Lyapunov第一方法使非线性系统的线性化研究方法有了坚实可靠的理论根底，从而使线性化研究方法在工程上变得切实可行。对于含有不光滑非线性函数的系统，由于不能通过求偏导进行线性化，因而不能应用Lyapunov第一方法，其稳定性问题需要应用Lyapunov第二方法进行研究。4.2李亚普诺夫稳定性第二方法Lyapunov第二方法通过构造一个具有广义能量属性的“能量函数”，并分析该函数导数的定好性来判断系统的稳定性。该能量函数与系统状态nxxx,,,21和时间t有关，称为李亚普诺夫函数，用),(tVx或者),,,,(21txxxVn来表示。在Lyapunov第二方法中，),(tVx和其对时间的导数dttdVtV),(),(xx=?的符号特征，提供了判断平衡状态稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准那么，而不必求出方程的解。Lyapunov第二方法概念直观，理论严禁，物理概念清晰，方法具有一般性，既适用于线性系统，也适用于非线性系统。应该指出的是，Lyapunov方法对系统稳定性的判别条件是充分的，而非必要的。这就是说，一个稳定的系统至少存在一个Lyapunov函数。对于一个特定系统而言，找不到该系统的Lyapunov函数也不能说该系统不稳定。因此，如何选取Lyapunov函数十分重要。基于以上知识，我们又得出一系列判断系统稳定性的一些判据，对于不同的系统有不同的判断方法。由Lyapunov第二方法的主要定理，对于连续时间线性系统的状态运动稳定性，有哪些判别方法，线性时不变系统与线性时变系统的稳定判据的不同之处，进而推得离散系统的一系列稳定性判据。Lyapunov第二方法在线性时不变系统中还有一些应用，如，对控制系统过渡过程时间的估计、估算系统的动态性能、校正线性时不变系统、求解参数最优化问题、平方积分值的计算等。4.3Lyapunov第二方法在线性时不变系统中的应用对渐近稳定的线性时不变系统，一个需要进一步研究的问题是，分析或估计系统自由运动即零输入响应趋向原点平衡状态的收敛性能。教材5.6节基于李亚普诺夫判据讨论了系统自由运动衰减性能的估计问题，特点是可在不必求解系统自由运动解即零输入响应解情形下直接估计运动过程的衰减性能。基于5.6节内容给出两个它的应用。1.控制系统过渡过程时间的估计考虑如下渐近稳定的连续时间线性时不变系统0,)0(,0≥==?txxAxx〔4.11〕设原点为唯一的平衡状态，且是渐近稳定的。由此可知，系统由任意初始状态0x出发，其自由运动轨迹随∞→t而趋于原点，假设把系统的李亚普诺夫函数)(xV看成是系统运动轨迹上动点到平衡状态0=ex之间的距离度量〔或者看成是一种能量度量〕，那么)(xV随时间衰减的速率)(xV?可看成是一种速度，因此可用于估计系统动点向平衡点收敛的速率。根据5.6节介绍的衰减系数的有关知识，给出下面一个例子。例设系统方程为????????????--=??????21211110xxxx，试求系统的李亚普诺夫函数，并估算系统从封闭曲线150)(=xV边界上的一点到封闭曲线06.0)(=xV内一点的响应时间上界。解设IQ=，由IPAPA-=+T求矩阵P，即--=--+--10011110111求得==121212322211211ppppP于是，李亚普诺夫函数为〕〔222121T22321)(xxxxV++==Pxxx。设IQ=，得011=-=---IPIQPλλ，求1-P的特征值相当于解0=-PIλ，即012121231=----λλλλ得到两个特征值553.0,447.121==λλ，即553.02min==λη。因此，148.1415006.0ln553.01),(),(ln100min0=-=-≤-tVtVttxxη此结果表示，系统从曲线150)(=xV上一点所发出的任意轨线，进入到被封闭曲线06.0)(=xV所包围的区域内，所需的响应时间不超过14.148个时间单位。此结果与所选的矩阵P和Q有关，如果选择到适宜的P和Q，还可能得到比14.148个单位更小的时间上界。如果认为min1η为李亚普诺夫函数的收敛时间常数，那么最大时间常数为81.11min=η。2.用Lyapunov第二方法求解参数最优化问题〔1〕最优控制问题最优的含义指在系统的运行过程中某一项性能指标最优，通常指使该项指标取得最小值，如控制过程的时间最短、耗能最少、控制误差最小等。最优控制问题即寻求一个适宜的控制规律，使被控系统按照一种最优的方式运行。性能指标不考虑在实际系统中的物理意义，最优控制中的性能指标通常用性能指标泛函J来表示，即=fttdttttLJ0]),(),([ux式中，L为与系统的状态、控制作用和时间有关的泛函，0t为初始时刻，ft为终止时刻。积分型指标用于表示从0t到ft期间所积累的误差或能量等。假设上述性能指标泛函可表示为二次型函数，那么称为二次型性能指标。作为最常用的一种平方积分指标，其一般形式为dtJ][0TT?∞+=RuuQxx式中，QxxT为状态的偏差项，RuuT为控制的能量项，Q与R为正定〔或半正定〕的实对称加权矩阵。参数最优化问题参数最优化问题实际上是确定系数参数最正确值的问题，即在系统的设计中，通过确定可调参数的值，使系统的性能指标到达极小。设系统方程为Axx=?，初始状态为)0(x。假设A的某个〔些〕参数为可调参数，那么确定这些可调参数，使得在从初始状态转移到平衡状态0x=e的过程中系统的性能指标∞=0TdtJQxx到达极小，这个问题就是一个参数最优化问题。〔2〕用Lyapunov函数求解参数最优化问题对于一大类控制问题，可以在李亚普诺夫函数与系统的广义二次型性能指标之间建立一种直接的关系式，从而可以求解出系统的最正确参数。设任意给定一个正定〔或半正定〕的实对称矩阵Q，由于系统在0x=e处是渐近稳定的，那么一定存在一个实对称正定矩阵P，满足条件QPAPA-=+T且有PxxxT)(=VQxxxT)(-=?V既然Q是任意给定的，不妨令其与二次型性能指标中的Q相等，那么)0()0()()(00)()(TT00TPxxPxxPxxxxQxx+∞∞-=∞-=∞-=-==??∞?∞VdtVdtJ上式，当0)(→∞x时，为)]0([)0()0(TxPxxVJ==这说明，二次型性能指标J与初始条件下的李亚普诺夫函数是等价的。显然，对上式求极小值，即可确定可调参数值，得到最优参数。问题求解的一般步骤如下：Step1将所求问题化为参数最优化问题，即建立系统的状态方程Axx=?，确定初始状态)0(x和加权矩阵Q，判定系统矩阵A是否为稳定矩阵〔特征值均为负值〕，指定可调参数),,2,1(niai=。Step2确定矩阵P，即QPAPA-=+T。Step3求二次型性能指标，即0()0(TPxx=J。Step4求J的最小值，即对每一个可调参数ia