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文档简介

几何法求最值问题圆锥曲线中的最值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型．解决最值问题的方法有几何法、考虑某些量的几何特征及意义、利用图形性质求解．例1已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值．分析：求的最大值与最小值,考虑用普通方法比较难解，则我们可作适当转化，利用椭圆第一定义，把转化为与另一焦点有关的线段，即,再结合平面内三点共线时有最值，而点在线段延长线的不同侧时，会使取得最大值或最小值．解：设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0），由椭圆的第一定义得：，则，可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为．故的最大值为，最小值为．例2P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是（－5，0）与（5，0），则这两点正好是两圆的圆心当且仅当点P与M、三点共线以及P与N,三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|≤（|PF1|+2）－（|PF2|－1）=故选D．求解策略：先将点到圆上点的距离转化为点到圆心的距离，再利用双曲线的第一定义．例3（1）设是上的一个动点，求点到的距离与p点到直线：的距离之和的最小值．分析:此题中的：刚好是抛物线的准线，而点在准线上，由抛物线第一定义可把到直线的距离转化为到焦点距离，即所求距离转化为,而刚好是三点距离之和，而在平面中，当三点共线即，，三点共线时它们所得距离之和最小．解：如图3，由抛物线第一定义得,在平面中，又，当，，三点共线时取等号，即所求最小值为．（2）设是上的一个动点，若有点，求的最小值．分析:此题是求“的最小值”问题，由抛物线的离心率，则可把转化为点到准线的距离，再结合几何知识从而问题得解．解：作抛物线的准线为,过点作准线的垂线交点为由抛物线定义得如图，当为过点的的垂线与抛物线的交点时取等号,即所求最小值为4．小结：根据圆锥曲线第一定义转化为三点共线问题，结合三角形中两边和大于第三边，两边之差小于第三边等结论可解决问题例4求椭圆上的点P到直线L：x－2y－12=0的最大距离和最小距离．解：（求切点）设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x，y)，由椭圆方程得此切线方程，∵，∴，即（1），又（2），解(1)(2)得切点的坐标为P（－2，3）P（2，－3）．设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，．（参数法）设椭圆上任意一点P(4cosθ，sinθ)，它到直线L的距离为，∴当时，；当时，．例5若求a+b的最小值.解：方法1：利用截距的几何意义，数形结合构建椭圆相切，借助判别式为0得．方法2：利用椭圆的参数方程，化归为三角最值问题，小结：注意参数方程的灵活运用，解题时恰当地引入参数，将复杂的代数运算转化为简单的三角运算，并提供进一步利用函数性质的

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