讲七章静定桁架组合结构及对称性利用

结构力学

StructuralMechanics孟昭博聊城大学建筑工程学院7.5超静定桁架及组合结构以受轴力为主，因此计算位移系数时一般只计算轴力项。须注意：一般δii要考虑作为多余约束被切断杆的轴力项。一、超静定桁架超静定桁架中各杆的最后轴力则可按下式计算：llFPFP基本体系例1：求图示超静定桁架各杆轴力。各杆EA=常数。解：(1)基本体系(2)力法方程

11X1+

1P=0X1X1(3)系数与自由项的计算①计算计算②计算系数和自由项计算(4)求解力法方程(5)计算各杆轴力计算若选取图示基本结构，力法方程相同吗？X1X1

11X1+

1P=-llFP1X1=1X1=1111100011返回00000-FPFPFP0.604FP-0.854FP-0.396FP-0.396FP0.560FPFP-0.396FP二、超静定组合结构力法方程的系数和自由项表达式为：各杆内力的叠加公式为：用力法计算时，一般可将链杆作为多余约束切断而得到其静定的基本体系。计算系数和自由项时，对链杆应考虑轴向变形的影响；对梁式杆一般只考虑弯曲变形的影响，而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。

基本体系例2：计算图示超静定组合结构的内力。横梁I=1×10-4m4，链杆A=1×10-3m2，E=常数，q=10kN/m。解：(1)基本体系(2)力法方程

11X1+

1P=0(3)系数与自由项计算①计算计算②计算系数和自由项计算(4)求解力法方程(5)计算各杆内力计算4m2m4mAA2AIIqqX1并作出(6)讨论：链杆的支承对横梁的影响讨论q

X1=1-1111/2

X1=124m2m4mAA2AIIq00080&+50.2+50.2-44.99.815.4&&A→∞时20+55.9+55.9-501.5m11.3返回1.76m

横梁由于下部链杆的支承，弯矩大为减小。

随A

，

11

，X1

，梁的负弯矩值而正弯矩值

；

当A→∞时，X1→5ql/8，梁的M图与两跨连续梁M图相同。

当A→0时，X1→0，梁的M图与简支梁M图相同；

1、结构和荷载的对称性

力法简化分析的思路----使力法方程组降阶结构对称性的利用弹性中心法(1)结构的对称性对称结构应满足两个方面的条件：

结构的几何形状和支承情况对某一轴对称；

杆件截面尺寸和材料性质也对此轴对称。（刚度对称）EI1EI2EI2对称轴EI1EI1EI2EI2对称轴对称轴llEIEI对称轴7.6结构对称性的利用1、结构和荷载的对称性(2)荷载的对称性

对称荷载------绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点重合、等值、同向。FP1qFP2FP2

反对称荷载---绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载作用点重合、等值、反向。qFPFPq

任何荷载都可以分解为对称荷载与反对称荷载的组合。qFPFP/2q/2=q/2FP/2对称荷载+q/2q/2反对称荷载FP/2FP/2FP2FP12、结构对称性的利用(1)选取对称的基本结构(任意荷载，仅用于力法)

要点：选取对称的基本结构，使对称处对称多余未知力与反对称多余未知力之间的副系数等于零，从而使力法方程组降阶，以简化计算。

分析：FP2FP1X2X2X3X1

11X1+

12X2+

13X3+

1P=0

21X1+

22X2+

23X3+

2P=0

31X1+

32X2+

33X3+

3P=0X2=1X2=1X1=1X3=1(1)选取对称的基本结构(任意荷载，仅用于力法)

分析：

11X1+

12X2+

13X3+

1P=0

21X1+

22X2+

23X3+

2P=0

31X1+

32X2+

33X3+

3P=0X2=1X2=1X1=1X3=1

11X1+

12X2+

1P=0

21X1+

22X2+

2P=0

33X3+

3P=0力法方程组降阶

如果荷载对称，MP对称，

3P=0

如果荷载反对称，MP反对称，

1P=

2P=0

X3=0；

X1=X2=0。2、结构对称性的利用

对称结构在对称荷载作用下，内力和变形是对称的，因此在对称的基本体系中，反对称未知力等于零，只需计算对称未知力。

对称结构在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的，因此在对称的基本体系中，对称未知力等于零，只需计算反对称未知力。(1)选取对称的基本结构(任意荷载，仅用于力法)ll/2l/2lFPFPX1X2X1'X2'X1'X2'在一般荷载作用下，若基本结构对称处多余未知力既非对称也非反对称，可将其进行分解为对称和反对称的两组广义未知力，从而使力法方程组解偶为两组，一组只包含对称未知力，另一组只包含反对称未知力。

11X1+

12X2+

1P=0

21X1+

22X2+

2P=02、结构对称性的利用(2)取半边结构计算(对称或反对称荷载，适用各种计算方法)①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形和位移是对称的。EIEIEIFPFPC位于对称轴上的截面的位移

CH=0，

C=0；FPFPFNCFNCFQCMC内力FQC=0。FPFPCFPCFPFPCMC=0

C0FPC奇数跨对称结构在对称荷载作用下半边结构取法：将对称轴上的截面设置成定向支座，铰结点设置成与对称轴垂直的支杆。2、结构对称性的利用(2)取半边结构计算(对称或反对称荷载，适用各种计算方法)①对称结构在对称荷载作用下，内力、变形和位移是对称的。EIEIEIFPFPC位于对称轴上的截面的位移

CH=0，

C=0；FPFPFNCFNCFQCMC内力FQC=0。FPFPCFPC

CV=0FPFPCFPFPCFPC

偶数跨对称结构在对称荷载作用下半边结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端，铰结点化成固定铰支座。

2、结构对称性的利用(2)取半边结构计算(对称或反对称荷载，适用各种计算方法)②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形和位移是反对称的。EIEIEIFPFPCA、位于对称轴上的截面的位移

CV=0；FPFPFNCFNCFQCMC内力MC=0、FNC=0。

奇数跨对称结构在反对荷载作用下半边结构取法：将对称轴上的截面设置成设置成一根与对称轴重合的支杆。FPFPCFPC2、结构对称性的利用(2)取半边结构计算(对称或反对称荷载，适用各种计算方法)②对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形和位移是反对称的。EIEIEIFPFPCA、位于对称轴上的截面的位移

CV=0；FPFPFNCFNCFQCMC内力MC=0、FNC=0。

偶数跨对称结构在反对称荷载作用下半边结构取法：将中柱刚度折半，结点形式不变。FPFPCEI分析FPCFPFPCEIFPC2、结构对称性的利用偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法FPFPCEIFPFPCEI/2EI/2FPFPEI/2EI/2

由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力FQC。这对剪力只能使对称轴两侧的两根立柱产生大小相等、性质相反的轴力，而原结构中间柱是这两根柱的叠加，故这对剪力对原结构的内力和变形无任何影响。FQCFQCFPEI/2半边结构返回◆无弯矩状态的判定

在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下，有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种：

(1)一对等值、反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。-FPM=0(2)一集中力沿一柱轴线作用，只有该柱有轴力。FPFPFP-FPM=0(3)无结点线位移的结构受结点集中力作用，只有轴力。FPM=0FPMP=0◆利用对称性进行结构计算要点(1)选取半边结构；(2)对半边结构进行计算，绘制弯矩图；(3)利用对称性或反对称性作原结构弯矩图；(4)一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载。例3：绘制图示结构的弯矩图。46kN/m6m6m2EI6mEIEIEIEI23kN/m6m6mEIEIEI103.519881135198103.58113581396207M图：kN·m例4：作出图示刚架的弯矩图。各杆EI=常数。l/2l/2l/2l/2l/2l/2FPFPFPFPl/2l/2FPFPl/2l/2FPl/2l/2FPl/8FPl/8FPl/4FPFPFPFPFPl/8FPl/8例5：绘制图示结构的弯矩图。解：(1)取1/4结构l/2l/2l/2FPEI=常数FPl/2l/2l/4l/2FP/2(2)计算1/4结构①基本体系FP/2FP/2X1FP/2基本体系1/4结构②力法方程

11X1+

1P=0③计算系数自由项X1=11FP/2FPl/4例5：绘制图示结构的弯矩图。解：(1)取1/4结构l/2l/2l/2FPEI=常数FPl/2l/2FP/2(2)计算1/4结构①基本体系FP/2②力法方程

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1P=0③计算系数自由项X1=11FP/2FPl/4④求解力法方程⑤作M图l/2l/2l/2FPl/6FPl/12M图(3)作原结构M图例6：作图示刚架在水平荷载作用下的弯矩图。解：(1)荷载分解为对称与反对称荷载lhEI1EI1EI2FPFP/2FP/2FP/2FP/2对称荷载反对称荷载(2)对称荷载作用下内力分析：-FP/2M=0(3)反对称荷载作用下内力分析：FP/2FP/2X1

11X1+

1P=0FP/2X1=1l/2l/2FPh/2例6：作图示刚架在水平荷载作用下的弯矩图。FP/2X1=1l/2l/2FPh/2k很小弱梁强柱→0k很大强梁弱柱→∞k=3荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关。内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大。例7：试利用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。aaaaFPFPEI=常数EAFP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2M=0FP/2FP/2对称荷载反对称荷载EA/200FP/2FP/2X1

11X1+

1P=0X1=1